福建省厦门双十中学2014届高三热身考数学（文）试卷
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合A?x?1?x?2,x?Z，集合B??0，2，4?，则A?B 等于 A．??1,0,1,2,4? B．??1,0,2,4? C．?0，2，4? D．?0，1，2，4?
??2．在?ABC中,\sinA?3?\是\?A?\ 的 23 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
?2x (x?0),3. 已知函数f(x)??若直线y?m与函数f(x)的图象有两个不同的交
?log2x (x?0),点，则实数m的取值范围是
A. m?R B. m?1 C. m?0 D. 0?m?1 4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是 A．3 B．4 C．6 D．8
第4题图
x2y25．已知双曲线C ：2-2=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
abx2y2x2y2x2y2x2y2A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 205208052080206．设(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，是变量x和y的n个样本点，直线l是
由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程(如图），以下结论中正确的是（ ）
A．x和y正相关
B．x和y的相关系数为直线l的斜率 C．x和y的相关系数在－1到0之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 7. 如图，BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且BF?2FA， 若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则FD?FE的值是（ ） A.?GBFAECD381 B. ? C. ? D. 不确定 4942428 B. C.5 D.6 558．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.
9．函数f(x)?Asin(?x??)（其中A?0,|?|?只需将f(x)的图像
?2）的图象如图所示，为了得到g(x)?sin2x的图像，则
??个长度单位 B．向右平移个长度单位
126??C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
12610．已知函数f?x??esinx?x，有如下四个结论：
A．向右平移
①是奇函数 ②是偶函数 ③在R上是增函数 ④在R上是减函数 其中正确的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
?x?y?1,?11．若x,y满足?x?y??1,且z?ax?2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是
?2x?y?2,?A．a???4,0? B． a??0,2? C．a?(?4,2) D。a???4,0???0,2?
12．已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的集合：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f(kx)＝
k2＋f(x)恒成立．现有两个函数：f?x??ax?b?a?0?，g?x??log2x，则函数f?x?、g?x?与集合M的关系为
A．f?x??M,g?x??M B．f?x??M,g?x??M C．f?x??M,g?x??M D．f?x??M,g?x??M
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
2?1?mi（m?R，i表示虚数单位），那么m? 1?i14. 在半径为1的圆内一条直径AB上任取一点M，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于3的概率
13．如果是 .
15．已知抛物线y2=2px(p＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y=2x,则抛物线的方程为
16．已知函数f(x)是定义域为R，且??x,y?R都有：f(x?y)?xf(y)?yf(x)，且f(2)?2，
f(2?n)n?N*?，求数列{an}的通项公式an? 若数列?an?满足an??n
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题12分）
某校高一新生1000人中，来自A, B，C，D，E五个不同的初中校，现从中随机抽取20人，对其所在初中校进行统计分析，得到频率分布表如下：
初
A B C D E
中校
000频
m n
.05 .15 .35 率
(Ⅰ)在抽取的20个同学中，来自E学校的为2人，求m，n的值；
（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，从来自C和E两学校的同学中任取2人，求抽取的2个人来自不同学校的概率．
18．（本小题满分12分） 已知等差数列{an}中，其前n项和Sn?n2?c（其中c为常数），
(1)求{an}的通项公式；
(2)设b1?1,?an?bn?是公比为a2等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn
19．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，若角?的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=22x(x≥0).
(1)求sin(2???6)的值；
(2)若点P，Q分别是角?始边、终边上的动点，且PQ=4，求△POQ面积最大时，点P，Q的坐标．
20．（本小题满分12分）
已知长方体ABCD?A1B1C1D1，其中AB?BC?2，过A1、C1、B三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的，且这个几何体的体积为
40. 3（1）求几何体ABCD?AC11D1的表面积；
（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直， 如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由.
21. （本小题满分12分）
13x2y2已知椭圆C:2?2?1( a?b?0)的离心率为,点(1,)在椭圆C上.
22ab(Ⅰ)求椭圆C的方程；
x2y2(Ⅱ) 若椭圆C的两条切线交于点M(4,t),其中t?R,切点分别是A、B,试利用结论:在椭圆2?2?1上
ab的点(x0,y0)处的椭圆切线方程是(Ⅲ)试探究
x0xy0y?2?1,证明直线AB恒过椭圆的右焦点F2； 2ab11的值是否恒为常数,若是,求出此常数；若不是,请说明理由. ?|AF2||BF2| 22．（本小题满分14分）
ax?b2gx?sinx?x ( ?是圆周率) . a,b?R（其中常数），??2x?1?（Ⅰ）当a?1时，若函数f?x?是奇函数，求f?x?的极值点；
已知函数f?x??（Ⅱ）求函数f?x?的单调递增区间；
???求函数g?x?在?0,a?上的最小值h?a?，并探索：是否存在满足条件的实数a，,??时，
2??使得对任意的x?R，f?x??h?a?恒成立．
（Ⅲ）当b?0,a??
福建省厦门双十中学2014届高三热身考数学（文）试卷
答案（2014.05.28）
一、
答案：AADDA CBCAB CB
1A【解析】由已知，A???1,0,1,2?，A?B???1,0,1,2,4?，选A 2A【解析】?ABC中，sinA?3D【解析】由图象可知
4D【解析】k?1,S?1,?S?1?3?4,k?2?S?4?2?32?22,k?3 ?S?22?3?33?103?100,k?4,?x?2k?8，选D
3??2???A??,?，故选A 2?33?x2y25A【解析】设双曲线C ：2-2=1的半焦距为c，则2c?10,c?5.
ab又
C 的渐近线为y??222bx，点P （2,1）在C 的渐近线上，得a?2b. ax2y2又c?a?b，?a?25,b?5，?C的方程为-=1.
2056C【解析】x和y的相关系数r???1,1?，负相关时为负，故选C 7B【解析】法一：向量分解法
FD?FE?FA?AD?FA?AE?FA?AD?FA?AD?FA?AD??法二： 特殊法：让DE与BC重合，则有FD?FE?????????228 9248??cos180??? 3398．C【解析】x+3y=5xy，
131311313x12y131??5， (3x?4y)?(?)?(?)???2?36??5.
55yx5yx55yxT7???7?7?3????,?T??,???2,x????时，?x???2?， 41234121229. A【解析】由已知，A?1,????3，?f?x??sin?2x??????? ，只需用x?代入可得g(x)?sin2x的图像，故选A
63????10. B【解析】定义域为R，f?0??1，故①错；f?????e，f????e?1，故②错； e 设u?x??sinx?x,?u??x??cosx?1?0，故u?x??sinx?x,在R上是减函数，
f?x??esinx?x在R上是减函数，故④正确，③错误，故选B
11. C【解析】画出区域图，可知当a?0时，z?2y，即y?1z，符合题意； 2
a1ax?z，斜率???1，即0?a?2时符合题意； 222a1a当a?0时，y??x?z，斜率??2，即?4?a?0时符合题意；
222 综上，a?(?4,2)
当a?0时，y??12. B【解析】（1）若f(x)＝ax＋b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有f(kx) ＝akx＋b＝
k＋f(x)，2即a(k－1)x＝
?k?1?0，k恒成立，得?无解，所以f(x)?M．
k?0，2?（2）log2(kx)＝二、填空题： 13.1【解析】
kk＋log2x，则log2k＝，k＝4，k＝2时等式恒成立，所以f(x)＝log2x∈M． 222?1?mi,?1?i?1?mi?m?1 1?i14.
113【解析】当截得的弦长等于3时，半弦长等于，因为半径为1，OM?，故符合条件的M应 222112?1 满足OM?，故P?22?122?p??81?x??y?2x15 y=x.【解析】因为一直角边的方程是y=2x,所以另一直角边的方程是y=-x.由?2，解得?2,
52?y?2px?y?p??2
1?
?x?0?x?8p?x?0p??y??x
2,解得?或?（舍去）， 由?,或?（舍去）,∴三角形的另两个顶点为?（8 p,-4p）. ?,p?和
y?0y??4py?02??????y2?2px
?
∴(?8p)2?(p?4p)2=213.解得p=,故所求抛物线的方程为y=x. 16．?p2452
851【解析】因为对任意x,y?R，f(x?y)?xf(y)?yf(x)成立，令x?y?1可得f?1??0， n21,y?2可得f?1??2f2 令x??1?1???f?2?，得?2?21?1?f????，
2?2??an?1?f2???n?1??n?11??f?2?n??2?n2????n?1?1?1f???f?2?n??1?2?n?nan?2?22 ?2n?1n?1得2?n?1?an?1??1n?1n?nan 得 ?n?1?2an?1?n2an?? 1n21 2nnn所以数列n2an是等差数列，公差为?1，首项为2a1??1，故n2an??n，得an???? 法二：求出f?11111?1??1?a??x?2,y?a??，得；令得 ，； ??f????12?2442242????令x?2,y?三.解答题
1113?1?，f????，a3??……归纳出an??n 8828?8?17【解析】：(1)由频率分布表得：0.05?m?0.15?0.35?n?1,?m?n?0.45 ----------------2分
n?由抽取的20人中，来自E学校恰有2个人，则(2)由(1)得来自C学校有3人，记作从
2?0.1,?m?0.45?0.1?0.3520--------------------5分
x1,x2,x3，来自E学校的有2个，记作y1,y2
x1,x2,x3,y1,y2中任取2个，有(x1,x2),(x1,x3),(x1,y1)(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2)
(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2)共10种 ------------------------------------------------------------------------8分
记事件A为“从
x1,x2,x3,y1,y2中任取2个人，来自不同学校”，则A包含的基本事件是
(x1,y1)(x1,y2)(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1)(x3,y2)共6个 ---------------------------------------------10分
P(A)?所求概率
63?105 ------------------------------------------------------------------------------------------12分
18．【解析】：(1) a1?S1?1?c, a2?S2?S1?3, a3?S3?S2?5-----------2分 因为等差数列{an}，所以2a2?a1?a3 得c?0-------------------------------------4分 ?a1?1d?2 an?2n?1 -----------------------------------6分
(2) a2?3 ，a1?b1?2 ?an?bn?2?3n?1 ------------------------------8分
?bn?2?3n?1?an-----------------------------------------------9分
21?3n?Sn???a1?a2???an??3n?n2?1-------------------12分
1?319. 【解析】：19：(1 )由射线l的方程为y?22x，可得sin????221,cos??，----------------------4分 33???267故sin(2??)?sin2?cos?cos2?sin??．-----------6分
666918(2) 设P?a,0?,Qb,22b?a?0,b?0?
在?POQ中， 因为PQ2??a?b??8b2?16，---------------------------------------------7分
2?? 即16?a?9b?2ab?6ab?2ab?4ab，所以ab≤4．--------------------------------8分 ∴S?POQ?2ab?42．当且仅当a?3b，即a?23,b?2223取得等号．--------------10分 3?2346???3,3?．--------------12分 ??所以?POQ面积最大时，点P,Q的坐标分别为P23,0,Q?20．【解析】：（1）
??VABCD?AC?VABCD?A1B1C1D1?VB?A1B1C1 11D1111040?2?2?AA1???2?2?AA1?AA1?,
3233?AA1?4.------------------------------------------------------3分
A1B?C1B?25,A1C1?22，设A1C1的中点H，
所以BH?32?S?A1C1B?6---------------------------5分
?表面积S?3?8?4?2?6?36----------------------6分
（2）在平面CC1D1D中作D1Q?C1D交CC1于Q，过Q作QP//CB交BC1于点P，则A1P?C1D.----------------------------------------7分因为A1D1?平面CC1D1D,C1D?平面CC1D1D,?C1D?A1D1，而
A1 D1
C1 Q P QP//CB,CB//A1D1,?QP//A1D1， 又A?平面A1PQCD1且D1Q?D1，,?CCD??平面APQC1D1D1A1P?平面A1PQC1,?A1P?C1D.…………………9分 ?D1C1Q∽
CQDC11Rt?C1CD,?1?11,?C1Q?1,又PQ//BC,?PQ?BC?.
CDC1C42四边形A1PQD1为直角梯形，且高129.……12分 D1Q?5,?A1P?(2?)2?5?22D A C
B
x2y2b23221【解析】： (Ⅰ)设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0) ，2?1?e?①
ab4a点(1,
319)在椭圆C上,2?2?1②, 2a4b22由①②得:a?4,b?3
x2y2?1， ……………… 4分 ?椭圆C的方程为?43(Ⅱ)设切点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),则切线方程分别为又两条切线交于点M(4,t),即x1?x1xy1yxxyy??1,2?2?1. 4343tty1?1,x2?y2?1 33即点A、B的坐标都适合方程x?ty?1,显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程， 3故直线AB恒过椭圆的右焦点F2. ……………… 8分 (Ⅲ)将直线AB的方程x??ty?1，代入椭圆方程,得 3tt2223(?y?1)?4y?12?0,即(?4)y2?2ty?9?0
33所以y1?y2?6t27yy??,……………… 10分 12t2?12t2?12221t2t2?92不妨设y1?0,y2?0,|AF2|?(x1?1)?y?(?1)y1?y1,
93t2?9同理|BF2|??y2
3(y2?y1)243y2?y1113113?? 所以==??(?)??222yy3|AF2||BF2|t?9y1y2t?9t?9y1y212所以
411的值恒为常数.----------------------------------12分 ?3|AF2||BF2|函数f?x?是奇函数，?对x?R，f??x???f?x?成立，
22【解析】：解：（Ⅰ）
得
?x?bx?b2b??,??0?b?0（利用奇函数，得f?0??b?0也给1分）-------1分 x2?1x2?1x2?1xx2?1?2x2?x2?1?f?x??2,得f??x???,--------------------------------------------------2分 2222x?1?x?1??x?1?从f??x??0得x2?1,?x??1
经检验x??1是函数f?x?的极值点. --------------------------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)
ax2?1?2x?ax?b??ax2?2bx?aax?bf?x??2，?f??x??， ?2222x?1x?1x?1??????22从f??x??0??ax?2bx?a?0，得ax?2bx?a?0
①a?0,b?0时，f?x??0，不存在单调递增区间；
②a?0,b?0时，<ⅰ>b?0时，x?0，单调递增区间为???,0?；-----------------------------------5分
<ⅱ>b?0时，x?0，单调递增区间为?0,???；-----------------------------------6分
?2b???b?a2?b2③a?0，方程ax?2bx?a?0的判别式??4b?4a?0，两根x? ?2aa??b?a2?b2?b?a2?b2?,单调递增区间为??---------------------------------------------------------7分
??aa??222???b?a2?b2???b?a2?b2④a?0时，单调递增区间为???,,???--------------------------8分 ?和?????aa????22???(Ⅲ)g??x??cosx?，当x??0,a?时，令g??x??0得cosx0?，其中x0??0,?
???2? 当x变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表：
x g??x? g?x? ?0,x0? ? x0 0 ?x0,a? ? ?函数g?x?在?0,a?上的最小值为g?0?与g?a?的较小者
???g?0??0,g?a??g???0,?h?a??g?a?
?2?2?h?a??sina?a--------------------------------------------------------------------------------------------------10分
?ax??函数f?x??2,??， ?x?R?是奇函数，且a???x?1?2?aaxaa ?x?0时，0?f?x??2??，当x?1时取得最大值
2x?1x?12x ?x?0时，f?0??0
?x?0时，f?x?????a?,0?， 2???函数f?x?的最小值为f?x?最小??a，----------------------------------------------------------------------12分 2要使对任意x?R，f?x??h?a?恒成立，则f?x?最小?h?a? ??a22a????sina?a， 即不等式a??sina?0在a??,??上有解， 2??2?2?a??符合上述不等式，
?存在满足条件的实数a，使对任意x?R，f?x??h?a?恒成立，---------------------------------------14分
a（附：求f?x?最小??的方法二如下）
2ax?ax2?a????0?x??1 当b?0,a??,??时，?f?x??2,?f??x??22x?1?2??x?1?当x变化时，f'(x)与f(x)的变化情况如下表：
x g??x? g?x? 又
???,?1? ? ?1 ??1,1? ? a 2a 2 1 ?1,??? ? a 2 0 极小值?0 极大值x?0时，f?x??0 ?f?x?最小??
福建省厦门双十中学2014届高三热身考数学（文）试卷
(说明：大题的答案必须写在虚线内，否则无效；必须用黑色签字笔书写)
一、 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题： 13 14. 15. 16.
17.
18.
班级 姓名 班级座号 考场 考场座号
19、
20、 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21、
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
22、
