整数速算巧算
知识框架
一、整数四则运算定律
（1） 加法交换律：a?b?b?a的等比数列求和 （2） 加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) （3） 乘法交换律：a?b?b?a （4） 乘法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)
（5） 乘法分配律：a?(b?c)?a?b?a?c；(b?c)?a?b?a?c?a （6） 减法的性质：a?b?c?a?(b?c) （7） 除法的性质：a?(b?c)?a?b?c；
（8） 除法的“左”分配律：(a?b)?c?a?c?b?c；(a?b)?c?a?c?b?c，这里尤其要注意，除法
是没有“右”分配律的，即c?(a?b)?c?a?c?b是不成立的！
备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．
二、加减法中的速算与巧算
速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：
（1） 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数
有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．
（2） 加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
（3） 数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加． （4） “基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注
意把多加的数减去，把少加的数加上）
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三、乘法凑整
思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：4?25?100，8?125?1000，5?20?100
12345679?9?111111111 （去8数，重点记忆） 7?11?13?1001（三个常用质数的乘积，重点记忆）
理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c
积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)
四、乘、除法混合运算的性质
（1） 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：
a?b?(a?n)?(b?n)?(a?m)?(b?m) m?0，n?0
（2） 在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a?b?c?a?c?b
（3） 在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．
例如：a?b?c?a?c?b?b?c?a
（4） 在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则
去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即
a?(b?c)?a?b?c a?(b?c)?a?b?c
②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即
a?(b?c)?a?b?c a?(b?c)?a?b?c
添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即
a?b?c?a?(b?c) a?b?c?a?(b?c)a?b?c?a?(b?c) a?b?c?a?(b?c)
（5） 两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即
(a?b)?(c?d)?(a?c)?(b?d)?(a?d)?(b?c)
上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．
五、利用位值原理思想进行巧算
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（1） 位值原理的定义：
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
（2） 位值原理的表达形式：
以六位数为例：abcdef?a?100000?b?10000?c?1000?d?100?e?10?f 以具体数字为例：389762?3?100000?8?10000?9?1000?7?100?6?10?2
六、提取公因数思想
1. 乘法运算中的提取公因数：
（1） 乘法分配律：a?(b?c)?a?b?a?c或(b?c)?a?b?a?c?a
（2） 提取公因数即乘法分配律的逆用：a?b?a?c?a?(b?c)或b?a?c?a?(b?c)?a 2. 除法运算中的提取公因数：
（1） 除法的“左”分配律：(a?b)?c?a?c?b?c；(a?b)?c?a?c?b?c （2） 除法的“左”提取公因数：a?c?b?c?(a?b)?c
七、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响
（1） 在“?”号后面添括号或者去括号，括号内的“?”、“?”号都不变；
（2） 在“?”号后面添括号或者去括号，括号内的“?”、“?”号都改变，其中“?”号变成“?”
号，“?”号变成“?”号；
（3） 在“?”号后面添括号或者去括号，括号内的“?”、“?”号都不变，但此时括号内不能有加减
运算，只能有乘除运算；
（4） 在“?”号后面添括号或者去括号，括号内的“?”、“?”号都改变，其中“?”号变成“?”
号，“?”号变成“?”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．
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例题精讲
【例 1】 计算：[(246?462?624)?(531?315?153)]?9
【巩固】 计算：(87?56?73?75?83?63?57?53?67?78?65?77?84?62) ?14
【例 2】 求1?11?111??111的末四位数．
100个1
【巩固】 求3?33?333?...?333的末三位数字．
2007个3
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【例 3】 求算式的计算结果的各位数字之和． 44L44L46L800L40144243?66144243?88{144243
40个420个620个810个0
【巩固】 从1到2009这些自然数中所有的数字和是多少？
【例 4】 计算：99999?77778?33333?66666
【巩固】 计算：99999?22222?33333?33334
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