一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.1.设集合A.
B.
C.
，
D.
，则
【答案】A 【解析】 【分析】
解一元二次不等式得集合M，根据指数函数单调性解集合N，由交集的运算求得【详解】解集合
对于集合N，将不等式化为 所以集合所以所以选A
【点睛】本题考查了一元二次不等式、指数不等式及交集的简单运算，属于简单题。 2.2.记复数的共轭复数为，已知复数满足A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
由除法运算法则和共轭复数概念，求得；再由模的运算求得。 【详解】根据复数除法运算，化简得
所以
，则
，
，解得
。
根据模的定义，所以选B
【点睛】本题考查了复数除法的运算和共轭复数的概念、模的运算，注意计算准确率，属于
简单题。 3.3.设
，
，则是成立的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件，分析是否成立即可。 【详解】若若
，则当
，则
成立，所以是充分性 时成立，不满足
，所以不是必要性
所以是的充分不必要条件 所以选A
【点睛】本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题。 4.4.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数的线性回归方程可能是 A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】
根据与负相关可知b为负数，将样本平均数点带入选项检验，可求得回归直线方程。 【详解】因为变量与负相关，所以因为所以选C
【点睛】本题考查了回归直线方程的简单应用，属于基础题。 5.5.已知A. C.
B. D.
，则
，排除A、B选项；
B. D.
，则由该观测的数据算得
，代入检验即可得到C是正确选项
【答案】D 【解析】 【分析】
根据幂函数和指数函数单调性可比较几个值的大小。 【详解】
，
，根据指数函数的单调性，所以
，同指数幂函数，所以
因为综上所以选D
，所以
【点睛】本题考查了指数函数、幂函数值大小比较，利用单调性和函数图像，可比较函数值，属于基础题。 6.6.已知向量A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】
由向量数量积和坐标加法运算，可求得m的值。 【详解】根据向量的坐标运算，代入坐标得
[
解得所以选A
【点睛】本题考查了向量坐标的加法、数量积运算，属于基础题。 7.7.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
]=0
，
，
，则
A. C.
B. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由三视图，还原空间结构体，分别求得各面的面积求和即可。 【详解】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：
所以表面积为
所以选B
【点睛】本题考查了立体几何三视图的简单应用，判断好每个面各边的关系是解决面积问题的关键，属于基础题。
8.8.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据程序框图中循环结构的特征，代入逐步求解即可。 【详解】由循环结构的计算原理，依次代入求得如下：
所以输出所以选D
【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的简单应用，属于基础题。 9.9.设为等差数列
的前项和，若
，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列求和的性质，结合等差数列通项公式，求得首项与公差；再将化简即可求解。 【详解】根据等差数列的求和公式化简得解方程组得
，根据等差数列通项公式得
所以选C
【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的简单应用，利用等差数列的性质可简化运算过程，属于基础题。 10.10.若正数
满足
，则
的最大值为
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分析题意，取解。 【详解】因为
求所以
的最大值，即求
的最小值
，化简可得
，左右两边同时除以xy得
倒数进而求
的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求
，当且仅当所以
时取等号
的最大值为
所以选A
【点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题。 11.11.在梯形和
上，且
中，，
∥
，，则
的最大值为
，动点和分别在线段
A. B. 【答案】D 【解析】 【分析】
C. D.
建立平面直角坐标系，利用向量的数量积转化为关于λ的表达式；再根据打钩函数的单调性判断最值。 【详解】因为
∥
，
所以ABCD是直角梯形，且CM= ，
以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系
因为，
，动点和分别在线段和上，则
所以
令且
时可取得最大值，则
由基本不等式可知，当
所以选D
【点睛】本题考查了向量数量积和打钩函数的综合应用。利用坐标法研究向量的关系是非常简便实用的方法；使用基本不等式要注意“一正二定三相等”这些条件是否满足，属于中档题。
12.12.如图，在正四棱台
分别在
上，且
中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点.过点
的平面与此四棱台的下底面会相交，则平
面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积。 【详解】当斜面α经过点
时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等
腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8 此时作正四棱台
俯视图如下：
则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5
因为正四棱台
所以截面面积的最大值为所以选B
的高为5，所以截面等腰梯形的高为
【点睛】本题考查了立体几何中过定点的截面面积问题，关键是分析出截面的位置，再根据条件求得各数据，需要很好的空间想象能力，属于难题。 二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.13.若抛物线【答案】10 【解析】 【分析】
根据抛物线定义，求得P到准线的距离，进而求得P到x轴的距离。 【详解】因为抛物线所以焦点坐标为
上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是________.
，准线方程为
因为点到焦点的距离为，根据抛物线定义，则到准线的距离也为 所以点P到x轴的距离为10
【点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用，属于基础题。 14.14.若曲线【答案】【解析】 【分析】 对函数【详解】对函数因为点
求导，求得当x=1时的斜率，根据点斜式可求得切线方程。
求导得
在点
处的切线方程为_________.
在曲线上，所以
由点斜式可得切线方程为
【点睛】本题考查了过曲线上一点的切线方程，导数的几何意义，属于基础题。 15.15.函数【答案】【解析】
的单调递减区间为_____________.
【分析】
由倍角公式和降幂公式，化简即可得【详解】根据降幂公式和倍角公式，化简
因为所以解得即
的单调递减区间为
的单调递减区间为
，
得
，再由函数单调区间即可求得解。
【点睛】本题考查了利用倍角公式、降幂公式对三角函数式进行化简，函数单调区间的求法，属于基础题。 16.16.已知数列
的前项和为，且数列
是首项为3，公差为2的等差数列，若
，
数列的前项和为，则使得成立的的最小值为__________.
【答案】5 【解析】 【分析】
根据等差数列定义求得数列
求得数列的最小值。 【详解】因为数列
是首项为3，公差为2的等差数列
的前项和；由
求得数列
的通项公式，利用
的通项公式，进而求得数列的前n项和；依次代入求解即可得到n
所以 ，化简得
则所以
当所以因为所以所以
所以
所以使得
成立的的最小值为5
时，
【点睛】本题考查了等差数列通项公式、等差数列前n项和公式、等比数列前n项和公式的综合应用，熟练掌握数列的性质和应用，属于难题。
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.17.在（Ⅰ）求（Ⅱ）求
中，的大小；
的最大值.
.
【答案】(1)【解析】 【分析】
;(2).
（Ⅰ）根据正弦定理和余弦定理，求得（Ⅱ）根据三角形内角和为π及而转化为关于
的大小。 ，将表达式
转化为角B的表达式，进
的二次函数表达式，利用函数单调性、对称性求得最大值。
，
，所以.
， 所以
， 因为
，所以取得最大值.
， ，
，
【详解】（Ⅰ）因为由正弦定理，得又因为
， 所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
所以当时，
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，三角函数诱导公式、和差公式的简单化简，二次函数的最值等，涉及知识点多，综合性较强，属于中档题。
18.18.某校社团活动开展有声有色，极大地推动了学生的全面发展，深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入．现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加心理社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校.现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）在该班随机选取1名同学，求该同学参加心理社团的概率； （Ⅱ）求从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率． 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据古典概型概率计算方法，易得参加心理社同学个概率。
（Ⅱ）列出6个学生选出2名同学代表的所有情况，根据古典概率计算，即可得到至少有1名女同学的概率。
【详解】（Ⅰ）依题意，该班60名同学中共有6名同学参加心理社， 所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社的概率为（Ⅱ）设
表示参加心理社的男同学，
.
表示参加心理社的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果：
，
其中至少有1名女同学的结果有9种：
，
根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为
【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，属于基础题。 19.19.如图，在斜三棱柱
，
（Ⅰ）求证： （Ⅱ）求斜三棱柱
，平面
. ； 的体积.
中，底面
是边长为的正三角形，为棱
的中点，
【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据底面为正三角形，易得再根据勾股定理逆定理可得
；由各边长度，结合余弦定理，可求得，可证
平面
。
的值，
（Ⅱ）将斜棱柱的体积，转化为棱锥的体积，结合三角形面积公式可求解。 【详解】（Ⅰ）如图，连接
，
因为底面所以因为所以所以所以
是边长为的正三角形， ，且，
， ，
，
，
，又因为， 又因为
，所以
，所以
的体积为，则
平面
， .
（Ⅱ）设斜三棱柱
所以斜三棱柱的体积为
【点睛】本题考查了立体几何中线面垂直的证明，几何体体积的求
法，熟练掌握线面关系的证明原理非常重要，属于基础题。
20.20.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于
两点，且
.
（Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若圆【答案】(1)【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据通径和离心率及椭圆中
的关系，可求得椭圆的标准方程。
的值。
上一点处的切线交椭圆于两不同点;(2)
.
，求弦长
的最大值.
（Ⅱ）讨论当斜率是否存在。当斜率不存在时，易得切线方程和切点坐标，进而得到当斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到利用韦达定理和弦长公式表示出值。
；联立直线与椭圆方程，
的最
，再用换元法及函数单调性判断
【详解】（Ⅰ）由已知，设椭圆的方程为，
因为，不妨设点，代入椭圆方程得，，
又因为所以的方程为
， 所以
.
，，所以，，
（Ⅱ）依题意，圆上的切点不能为①当直线的斜率不存在时，其方程为
， ，此时
两点的坐标为
，所以
，
.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即联立
，设得，
，
，
，由直线与圆相切，得
，
所以
所以，令，则，，
，越大，越大，所以，即.
综合①②知，弦长的最大值为.
【点睛】本题考查了圆锥曲线方程的求法，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，计算量大，而且需要结合各种数学方法，综合性强，属于难题。 21.21.已知函数（Ⅰ）求
的单调区间；
时，
.
，单调递增区间为
;(2)见解析.
，其中为正实数.
（Ⅱ）证明：当
【答案】(1) 单调递减区间为
【解析】 【分析】
（Ⅰ）求得函数定义域，由导函数的符号，判断出函数的单调区间。 （Ⅱ）构造函数只需证明数
证明出当
时，有
，所以要证对于任意的
在
，
恒成立；构造函
，即证明
，再通过导函数的符号判断。
上的单调性，进而证明出
【详解】（Ⅰ）由得，，所以的定义域为，
.
由所以
得，所以当时，；当时，.
，
的单调递减区间为，单调递增区间为，则；当
时，成立，又因为
，即
， .所以，所以要证
（Ⅱ）证明：令所以当所以当只需证令所以所以当
在时，
，则
时，时，有
，所以. ，
对于任意的
，因为
，所以，
恒成立， 恒成立，
上单调递增， 所以
.
【点睛】本题考查了导数在函数单调性、不等式证明中的综合应用，通过构造函数法证明函数的单调性，综合性强，在考高考是压轴题目，属于难题。 选做部分
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22.22.在平面直角坐标系
中，直线的参数方程为
的极坐标方程为
（为参数）．以原点为极点，
．
轴正半轴为极轴建立极坐标系，（Ⅰ）求
的参数方程；
截得的弦长．
（Ⅱ）求直线被
【答案】(1) 【解析】 【分析】
的参数方程为（为参数）;(2) .
（Ⅰ）根据圆的极坐标方程，先转化为圆的直角坐标方程；再根据参数方程与直角坐标的关系，求得圆的参数方程。
（Ⅱ）将直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离与垂径定理求得弦长。 【详解】（Ⅰ）因为所以所以
的极坐标方程为
，即
（为参数）.
（为参数）， ，所以圆心到直线的距离
.
，
，
，
的直角坐标方程为的参数方程为
（Ⅱ）因为直线的参数方程为所以直线的普通方程为所以直线被
截得的弦长为
【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的关系，点到直线距离与垂径定理的简单应用，属于中档题。 23.23.设（Ⅰ）当（Ⅱ）若【答案】(1) 【解析】 【分析】
（Ⅰ）代入的值，讨论x的取值范围，根据x的范围判断函数（Ⅱ）讨论x的取值范围，去掉
的单调性。
，函数时，求函数
的最小值；
. 的解集为
.
，解关于的不等式
;(2)
中绝对值，并根据不同范围内解析式解不等式即可。
【详解】（Ⅰ）当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
（Ⅱ）①当因为②当因为③当因为综上可知，
，时，，，
时，， 解
，所以此时
.
得，
时，， 解，所以此时， 解，所以此时
.
得
.
得
，
，
的解集为.
【点睛】本题考查了绝对值不等式解法的综合应用，关键是分类时掌握好边界的选取，属于中档题。
