湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文
f'的傅里叶系数，则a0'?0,an'?nbn,bn'??nan?n?1,2,?
（2） 设f?L?T?,且f是T上的偶函数，那么， ak?2??k0,1,2 ,?coskxd,x?f?x0?, bk?0,k?1,2,
（3） 设f?L?T?,且f是T上的奇函数，那么，
ak?0,k?0,1,2,,
bk?f?x?sinkxdxk,???02?
1,2,.重要结论： 若
f?x?以2l为周期,或只在??l,l?上有定义,则上面系数公式里，应取区间
nn?a,b????l,l?,此时若f?x?为偶（奇）函数,则b?0?a?0?;
若f?x?为偶（奇）函数且在?0,l?上,有f?l?x??f?x?,b?a?0?a?b?0?;
若f?x?为偶（奇）函数且在?0,l?上,有f?l?x???f?x?,b?a?0?a?b?0?.
n2n?1n2nn2nn2n?1则
则
以下定理说明了三角函数系的完全性.
定理1.1设f?C?T?,若f的一切Fourier系数为0,即
ak?0,k?0,1,2,bk?0,k?1,2,,
,则f?x??0.
证：我们只讨论f?x?为实值函数的情况.
?1?先证f?C?T?,f?x?为实值函数，并且对一切k,有a0?ak?bk?0,k?1,2,
由此推论f?x??0.
如若不然，即f?x??0,则必存在点x0????,??，使得f?x0??不妨设f?x0??M,因为f?x?连续，则存在??0,使得 f,
x????,??supf?x??M?0.
?x??1M，?x??x0??,x0????I. 2湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文
现考虑三角多项式P?x??1?cos(x?x0)?cos?,它在I内严格大于1，取
????J??x0?,x0??,
22??则存在r?1,使得P?x??r,?x?J,而对一切x??x0??,x0???\\I,P?x??1. 按假定f的Fourier系数全为0，因此对任意三角多项式Q?x?，必有????fQdx?0.
从而对一切N?1,2,,
?x0??Nx0??f?x?P??xd?x?????f?Nx?P??x0d x 容易得到
?x?fPNdx?2?M1N?2?M
0??,x0???而当N???时
?fPNdx?I?fPNdx?12MrN????. J联合上述两个不等式，可得到 Nlim????x0??x0??fPNdx???.这与式（1.7）矛盾.
?f?x??0.
（2）设f?L?T?，对一切k，有
ak?f??bk?f??a0?f??0.
作函数
F?x?=?x??f?t?dt,
则有F????F?????0.易知F(x)绝对连续，以2?为周期，记a?a0?F?,令
G?x??F?x??a,
则G(x)也是绝对连续函数,以2?为周期，并且有 a1?0?G????????F?x??a??dx=0. 又有G(x)'=f(x). 即有ak?G???1kb?f?,b?G??1kkkak?f?. 1.7）
（湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文
?ak?G??bk?G??0,a0?G??0,(k?1,2,)
由前面(1)部分已证的结果，便知G?x??0. 从而
f?x??G'?x??0.
推论：若f,g?L?T?，有ak?f??ak?g?,bk?f??bk?g?,a0?f??a0?g?,k?1,2,
则f?x??g?x?a.e.于T.
,
3．Fourier级数的收敛性
定理2 若级数
?a0???an?bn? 2n?1收敛，则级数（1.7）在整个实轴上绝对收敛且一致收敛. 在讨论傅里叶级数的收敛性之前, 我们先介绍抽样函数及其性质 定义 所谓抽象函数是指sint与t之比所构成的函数, 以符号Sa?t?表示，即Sa?t?= 性质（1）：?Satd?t?0?sint t??2;
????Sa?t?d?t?.
为了研究傅里叶级数的收敛性问题, 我们必须把傅里叶级数的部分和表示为含参变量的广义积分—狄立克莱积分.
设f?t?其中
a0????akcoskwt?bksinkwt? 2k?11T ak??2Tf?? tcoskwtd t ?k?0,1,2,?
?T21T bk??2Tf?? d t ?k?1,2,? tsinkwt?T2湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文
a0n傅里叶级数的部分和为SN??f?t????2???akcoskwt?bksinkwt?=
k?12T?1n?2fx?coskwtcoskwx?sinkwtsinkwx????T?2??dxT??2k?1??2T?1n?2fx?coskwx?t????T?2??dt T??2k?1??有三角公式2sin=
??1?cos??cos2???2?22n?1??. cosn??= sin2?当sin
??0,有公式 21?cos??cos2??2sincosn??2n?1?2, ?2sin2当??0,则把右边理解为??0时的极限值,这一等式也成立,把它应用到
1Sn?ft??????T?T2T?2f?x?sin2n?1w?x?t?2dx.
x?t2sinw2T??T经过验证知道,被积函数是x的周期为T的函数,可以把积分区间换为?t?,t??,
2??2因此
作代换,得
2Sn?ft??????T?T2T?2f?t?u?sin2n?1uw2du w2sinu2sin2n?1wu2duw2sinu22limSn?ft?lim?????n??T?n??T2T?2f?t?u?
??T2T?21??n?T??w1?ww2???f?t?u?limSa?n??wuSaudu ??2Tf?t?u???u?Saudu?f?t?. n????2?22?2在上述周期函数f?t?展开成傅里叶级数收敛性讨论中,只需要ak,bk存在,对f?t?湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文
?TT?没有作其他限制，而ak,bk存在只需要周期函数f?t?在区间??,?可积且绝对可积即
?22?能满足ak,bk存在.
?TT?证明：如果周期函数f?t?在区间??,?可积且绝对可积,
?22?2则 ak?T2 bk?T??T2T?22Tf?t?coskwtdt? ?2Tf?t?dt?Ma,
T?22Tf?t?sinkwtdt??2Tf?t?dt?Mb.
T?2T2T?2所以ak,bk有界,故ak,bk存在.
由上述分析可得, 周期函数 f?t? 能展开成傅里叶级数且收敛的充分条件是: 周
?TT?期函数 f?t? 在一个周期区间??,?可积和绝对可积.
?22?定理3 若以2?为周期的函数f在???,??上按段光滑，则在每一点x????,??, f的傅里叶级数（1.7）收敛于f在点x的左右极限的算术平均值,即
f?x?0??f?x?0?a0?= ???ancosnx?bnsinnx?,其中an,bn为f的傅里叶系数.
22n?1预备定理1 （贝塞尔不等式）若函数f在???,??上可积，则
a02?1????an2?bn2???f2?x?dx,其中an,bn为f的傅里叶系数. 2n?1???推论1 若f可积，则
lim?f?x?cosnxdx?0,n?????lim?f?x?sinnxdx?0.n?????
推论2 若f为可积函数,则
?1??lim?f?x?sin?n??xdx?0,n??02??
01??lim?f?x?sin?n??xdx?0.n????2??设f?L?T?, fa0???akcoskx?bksinkx. 2k?1
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编号
研究类型
理论研究
分类号 O17
学士学位论文（设计）
Bachelor’s Thesis
论文题目
傅里叶分析及其应用
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目 录
1．前言 ....................................................................................................................... 1 2．傅里叶级的计算 ................................................................................................... 5 2.1 三角函数系 ..................................................................................................... 5 2.2 傅里叶级数的计算 ....................................................................................... 10 3．傅里叶级数收敛定理 ......................................................................................... 19 3.1傅里叶级数收敛定理 .................................................................................... 19 3.2傅里叶级数收敛定理的应用 .............................................................................. 20 4．傅里叶级数展开式的计算 ................................................................................. 28 4.1傅里叶级数展开式的一般计算 ......................................................................... 29
4.2傅里叶级数展开式的简便算法
4.3傅里叶展开式的一些别的方法
5.Fourier级数的应用 6.复数型的Fourier级数
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傅里叶分析及其应用
摘 要: 生物质的快速热解是一种新型生物能源转化技术。其主要产物生物油可以取代
传统矿物能源作为燃料,也可作为原料合成具有特殊用途的化工产品。本文主要介绍了快速热解的基本原理与技术特征,介绍了不同类型反应器的结构特征,总结了反应工艺要求,综述了生物油的潜在应用领域。以实际废弃木材的快速热解说明了该技术在污染生物质处理中的潜在应用。
关键词: 傅里叶分析；傅里叶级数；傅里叶展开式
Review on Fast Pyrolysis of Biomass Forbiooll
Abstract : Fast pyrolysis of biomass for biooil is a kind of new technology of energy
conversion which attracts growing research rapidly. Bio-oilcan replacetraditional
mineralfuelsor beusedasraw materialtoproducespecialchemicals such as slow
releasing fertilizers. In the present article, the principle, characteristics, reactors, and special requirements for the fast pyrolysis of biomass were reviewed. The potential
application fields of bio-oil were summarized. A practical study show edthe application of this technology on waste wood and indicated the potential application of this approach to control contaminations.
Keywords : fast pyrolysis; biomass; bio-oil
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傅里叶分析及其应用
1．前言
傅里叶分析是分析学中的一个重要分支，在数学史上，虽然早在18世纪初期，有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D’Alembert,L.Euler等人的工作中出现，但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的。Fourier分析在概念和方法上对其他数学分支的发展给予了深刻的影响，数学中很多重要的思想和理论都与Fourier分析的发展密切相关.
1807年，傅里叶断言“任意函数”都能被表示为正弦函数和余弦函数的线性组合，这使他同时代的某些人大吃一惊。这些现在称之为傅里叶级数的线性组合在对物理学和工科学中研究的一些中期现象（如摆动，以及行星及波的运动）的分析中，已经变成了必不可少的工具.
2．傅里叶级数
因为对给定函数f?L?I?，I?(a,a?2?)，总可以把它延拓成为实轴上周期为2?的函数，而且使得它在每个长为2?的区间上可积，所以今后常讨论周期可积函数，我们记
T??x:???x??? ????,??，用L?T?表示在T上可积，并且以2?为周期的函数全体。又用C?T?表示在实轴上连续且以2?为周期的函数全体. 2.1三角函数系
a1．我们称级数0+
2??ak?1?kcoskx?bksinkx? （1.1）
为实型三角级数，其中a0，ak，bk(k?1,2,为复型三角级数，其中ck（k?0,?1,?2,（k?0,?1,?2)是实数列，又称级数
k????cek?ikx （1.2）
）是复数列，a0，ak，bk?k?1,2,?与
） 称为相应的三角级数的系数.
,coskx,sinkx,函数系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x, （1.3） 称为三角函数系，
）为三角函数系(复
因为eix?cosx?isinx，所以也称函数系?eikx?（k?0,?1,?2,的形式).
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三角函数系具有以下特性：
（1）周期性 三角函数系中的函数都以2?为周期.
（2）正交性 它们在长度为2?的任意区间I??a，a?2??上组成正交函数系，即有
mx??sin??sinxd?x（0m?n） consxd?x0?(m nmx??cos??mx??sin??consxd?x 0（3）完全性 若有f?L(T)，它在T上与三角函数系（1.3）中的每个函数正交，则f?x??0，a.e.于T（其证明见2.2节）. 2.2傅里叶级数
若给定函数f?L?T?，三角级数（1.1）的系数由以下公式给定 ak? bk?1?1?k0,1,2,） , （1.5?coskxd;x??f?x??f?x?k1,2 , , (1.6) ?sinkxd;x?????则称该三角级数为
f?x?的（实型）Fourier
级数，记为
f?x?a0????akcoskx?bksinkx?.(1.7) 其系数ak及bk分别称为f的傅里叶余弦系2k?1数及傅里叶正弦系数，或统称为三角型傅里叶系数.
a0?傅里叶级数的n阶部分和为Sn?x??Sn?f,x?????akcoskx?bksinkx?
2k?1a0? ??akcoskx .
2k?1傅里叶级数（1.7） 化为正弦级数
. ?bsinkxkk?1?先介绍Fourier系数的一些性质
（1）设f?L?T?，且f?????f???.an,bn为f的傅里叶系数，an',bn'为f的导函数
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a0?将右端的级数记成S?f,x?.它的部分和为Sn?x?= ??akcoskx?bksinkx=
2k?1????f?t?Dn?x?t?dt= ??f?x?t??f?x?t???Dn?t?dt=2 ?0?x?t?Dn?t?dt 0?其中?x?t??1f?x?t??f?x?t????? （13） 2??1??sin?n??t12?? Dn?t??
12?sint2定理4 （ⅰ）函数f的傅里叶级数S?f,x?在一点x0处的收敛性质只与f在x0任意小的邻域内的函数值有关.
（ⅱ）级数S?f,x?在x0点收敛于s的充分必要条件是对任一确定的
?x0?t??s?Dn?t?dt?0. ??0?????有lim?0???n??证：（ⅰ）Sn?x??s?2??x?t?Dn?t?dt?s=2????t??s??Dn?t?dt?2s?0Dn?t?dt?s 00?x又?Dn?t?dt?1,且Dn?t?为偶函数. (14)
???????由此可知, Sn?x?收敛于s的充分必要条件是上式右端的积分趋向于零. 由三角函数的公式得
1??sin?n??t112?? ?sinnt?cosnt
tt22sin2tan22对于???0,??,(14)式可改写成
Sn?x0??s=
1????x?t??s00ttan2sinntdt+
1?????x?t??s0ttan2sinntdt +
??1?0???x0?t??s??cosntdt=
??1??x?t??s00ttan2sinntdt?I1?I2
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?x?t??s?t???t0??s?因tan??在??,??上有正上界，故0在??,??上可积，又?在?0,??上??t?2?tan2可积，于是当n??时，I1,I2都趋向于零,
即有Sn?x0??s???1??x?t??s00ttan2sinntdt?o?1?. (15)
由此可见,是否存在s使得Sn?x0?收敛于s,取决于f在?x0??,x0???上的值. （ⅱ）与前面类似可推得
Sn?x0??s?2??0???x0?t??s??Dn?t?dt?o?1?,
从而（ⅱ）的结论成立.
推论 设f?L?T?且f?x??0,?x??a,b?????,??, 则limSn?x??0,对一切x??a,b?.
n??定理5 若有S,对某个??0,使得下述积分为有限 ???x?t??St0dt??,
式中?x?t?由（13）给定,则级数S?f,x?在点x收敛于S,即 Sn?x??S.?n???.
1?1?,t????,??/{0},?t?t证明：令g?t???2tan
2???0,t?0.不难验证g?t?在???,??上连续,从而有界. 有预备定理1推论1,得 (15)式可以改写成
Sn?x??S?2???0sint?t?S?????x?tdt?o?1?. （16）
若定理条件成立,则再由预备定理1推论得,
Sn?x??S.
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定理6 设级数Sf在点x的某个领域
?x??,x???上是有界变差的???0?,则Fourier
的连续点,则级数
?f,x?在x处收敛于1?f?x?0??f?x?0??,如果x是f2S?f,x?收敛于f?x?.
证明：因为
f在
?x??,x???上是有界变差的,所以f?x?0?,f?x?0?显然存在.
1令s??f?x?0??f?x?0??，则函数??t???x?t??s是?0,??上的有界变差函数，
2它可以表成两个增函数的差.
?t??h?t??h?t?.
当x?0时，我们记??x?0?为???0?，因为???0?=0，
所以总能取到增函数h?t?,h?t?,使得h??0??h??0??0，从而h?t?,h?t?在?0,?? ?1200121212上非负. 于是，任给??0，可取到?1?0，使得当0?t??1时，
j?1,2,?
hj?t???,不妨设?1??，对以上的?1,可取到充分大的N,使得当n?N时,
（16）式中的o1小于?，把?
???t?的表示式代入（16）式，可得
sinntdt??. tSn?x??s??j?122???0hj?t?对右端前两项用积分第二中值定理，有
2???10hj?t??sinntsinnt2dt?hj??1???dt （1） t?t1j下证结论，存在常数M，使得对于任意常数a,b,有
sinntdt?M. ?atb因为
sint为偶函数，所以只需对于0?a?b证明结论. t首先，设1?a?b，用积分第二中值定理，存在???a,b?，使得
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sint1?1 ?adt??asintdt??cosa?cos??，
taabsintdt?2. 于是有?atb其次，设0?a?b?1,有0?b?a?1. 0??abbsintdt??a1dt?1. t其余情形0?a?1?b,这时有
1sintsintdt??at?atdt?b?b1sintdt?1?2?3. t故对（1）式，有
2
?????10hj?t?n?1j?sintsint2dt?hj??1???dtt?t1j2???sint2M1dt??t?
其中0??j??1,M1是结论中的常数M.
综上所述,得
?4M?Sn?x??s???1??,n?N.
???即定理的结论成立. 如果
f在点x连续,那么上述??f?x?.
4.求傅里叶展开式
4.1求傅里叶展开式的基本方法
将
?a,b?上可积函数展为Fourier级数，最基本的方法是：
1bn?x（i）按系数公式计算系数.an??af?x?cosdx,?n?0,1,2,??
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1bn?x bn??af?x?sindx,?n?1,2,??
ll其中lb?a?.
2（ii）将计算出的系数代入级数
a0?n?xn?x f?x?~??ancos?bnsin.
2n?1ll（iii）根据收敛定理，判定~可改为等号的范围.
若
f?x?在?a,b?上分段光滑,有收敛定理知道
?a,b?上f?x?的连续点时，
级数的和函数S?x??f?x?,
当x为?a,b?上f?x?的间断点时，
f?x?0??f?x?0?级数的和函数S?x??,
当x为
2当x?a,b时,
f?a?0??f?b?0?级数的和函数S?x??,
2对于其他情形，S例1 求
?x?呈周期.
?0,???x?0,在???,??上的Fourier展开式. f?x????sinx,0?x??.sinx?sinx. 解：将f?x?改写成f?x??2sinxsin???x?sinx?. 又为偶函数,且在?0,??上满足
222sinxa0????a2ncos2nx,其中 因此,22n?1sinx?2a2n??cos2nxdx?. 2?4n?1???2?204
