1??1??(3)???,??U?,???
2??2??17.(本题满分16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米, BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方)表示成关于x的函数;
(2)求△EMN的面积S(平方米)的最大值.
(1)①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,即0＜x≤1时,
1△EMN的面积S=?2?x=x;
2A E （第18题）
G B D M N C
G ②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即1＜x＜1?3时, 如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵ E为AB中点,∴ F为CD中点,GF⊥CD,且FG＝3.
又∵ MN∥CD,∴ △MNG∽△DCG.∴ MN?GH,即MN?2[3?1?x].
DCGF3故△EMN的面积S＝1?2[3?1?x]?x＝?3x2?(1?3)x;
3323D M A E C N B 图1
6
?x，?0＜x≤1??综合可得: S?? 32?3?1?3??3x???1?3??x．1＜x＜?????G (2)①当MN在矩形区域滑动时,S?x,所以有0?S?1; ②当MN在三角形区域滑动时,S=?M D
323x?(1?)x. 33H F N C
13?1?33(平方米). 因而,当x?(米)时,S得到最大值,最大值S=22∵
A E B 图2
1313平方米. ??1,∴ S有最大值,最大值为?2323?1?18.(本题共15分) 已知定义域为?0,???的函数f?x?满足:①x?1时,f?x??0;②f???1;③对任意的正实
?2?数x,y,都有f?xy??f?x??f?y?.
?1? (1)求证:f????f?x?; (2)求证:f?x?在定义域内为减函数;
?x? (3)求满足不等式f?log0.5m?3??f?2log0.5m?1???2的m集合. 解:(1)令x?1,y?111, f(1?)?f(1)?f(), 得f(1)?0 2221111令y?,f(x?)?f(x)?f()?f(1)?0,得f()??f(x) ??4分
xxxx(2)设x1?x2?0 ，f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(x1)=f(1) x2x2 ?x1?x2?x1x?1 ?f(1)?0即f(x1)?f(x2)?0 x2x2?f(x1)?f(x)2 ?f(x)在?0,???上为减函数。 ??9分
(3)?f()?f()?f()?2, ?f(4)??f()??2 ??10分 f(log0.5m?3)?f(2log0.5m?1)??2 ，f(log0.5m?3)?f(2log0.5m?1)?f?4? f?(log0.5m?3)(2log0.5m?1)??f?4?，
12121414?f(x)定义域上是减函数(log0.5m?3)(2log0.5m?1)?4
?log0.5m??3?1? ?12分 ?log0.5m?2???(log0.5m?3)(2log0.5m?1)?4 7
1?log0.5m?1, ?14分 2不等式的解集
?2??1?m?m??? ???15分 22????19.(本题满分16分)已知函数f?x??1?x?1?x. (1)求函数f?x?的定义域和值域;
a(2)设F?x????f2?x??2??f?x?(a为实数),求F?x?在a?0时的最大值g?a?; ??2(3)对(2)中g?a?,若?m2?2tm?2?g?a?对a?0所有的实数a及t???1,1?恒成立,求实数m的取值范围. 解:(1)由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为[?1,1] …………2分 又f(x)2?2?21?x2?[2,4],由f(x)≥0 得值域为[2,2] …………4分
a22???f(x)?2?f(x)?a1?x?1?x?1?x ??2122令t?f(x)?1?x?1?x,则1?x?t?1,
21212∴F(x)?m(t)?a(t?1)+t=at?t?a,t?[2,2] …………6分
2212由题意知g(a)即为函数m(t)?at?t?a,t?[2,2]的最大值.
2112注意到直线t??是抛物线m(t)?at?t?a的对称轴
a2(2)因为F(x)?因为a<0时,函数y=m(t), t?[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段,
①若t??12?(0,2],即a??则g(a)?m(2)?2 …………7分 a211121?(2,2],即?…………8分 ?a??则g(a)?m(?)??a?aa2a2211?(2,??),即??a?0则g(a)?m(2)?a?2 …………9分 a2②若t??③若t???a?2,?121?, ??a??, …………10分 综上有g(a)???a?2a22??2?2,a??2(3)易得gmin(a)?2, …………11分
8
a??12
由?m2?2tm?2?g(a)对a?0恒成立,即要使?m2?2tm?2?gmin(a)?2恒成立,…
?m2?2tm?0,令h?t???2mt?m2,对所有的t???1,1?,h?t??0成立,
只需??h(?1)?2m?m2?0?m?0,…………14分?h(1)??2m2 求出m的取值范围是m??2,或m=0,或m?2. …………16分 20.(本小题满分16分)设函数f?x??ax?2ax(其中常数a?0,且a?1). (1)当a?10时,解关于x的方程f?x??m(其中常数m?22); (2)若函数f?x?在???,2?上的最小值是一个与a无关的常数,求实数a的取值范围. ?解 (Ⅰ)f(x)＝??10x?2?10x,x≥0,20.
?3??10x,x?0.① 当x＜0时,f(x)＝
310x＞3.因为m＞22.则当22＜m≤3时,方程f(x)＝m无解; 当m＞3,由10x＝3＝lg3
m,得xm. …………………… 1分 ② 当x≥0时,10x≥1.由f(x)＝m得10x＋
210x＝m,∴(10x)2－m10x
＋2＝0. 因为m＞22,判别式?＝m2
－8＞0,解得10x
＝m±m2－8
2
. …………………… 3分 因为m＞22,所以m＋m2－82m＋m22＞2＞1.所以由10x＝m＋m－82,解得x＝lg－82
. m－m2令－8
2＝1,得m＝3. …………………… 4分 所以当m＞3时,m－m2－8442＝m＋m2－8＜3＋32－8
＝1, 当22＜m≤3时,m－m2－82＝4m＋m2－8＞43＋32－8＝1,解得x＝lgm－m2－8 2.………………… 5分 综上,当m＞3时,方程f(x)＝m有两解x＝lg3
m＋m2－8 m和x＝lg 2; 当22＜m≤3时,方程f(x)＝m有两解x＝lgm±m2－8 2.…………………… 6分 (2) (Ⅰ)若0＜a＜1,当x＜0时,0＜f(x)＝32
ax＜3;当0≤x≤2时,f(x)＝ax＋ax.…………… 7分
令t＝ax,则t∈[a2,1],g(t)＝t＋2
t在[a2,1]上单调递减,所以当t＝1,即x＝0时f(x)取得最小值为3.
9
当t＝a2时,f(x)取得最大值为a2?值.…………………………… 9分
222.此时f(x)在(－∞,2]上的值域是(0,],没有最小a?a2a232
(Ⅱ)若a＞1,当x＜0时,f(x)＝ax＞3;当0≤x≤2时f(x)＝ax＋ax. 2
令t＝ax,g(t)＝t＋t,则t∈[1,a2].
22
① 若a2≤2,g(t)＝t＋t在[1,a2]上单调递减,所以当t＝a2即x＝2时f(x)取最小值a2＋ a2,最小值与a有关;…………………………… 11分
② a2≥2,g(t)＝t＋2
t在[1,2]上单调递减,在[2,a2]上单调递增,…………………………… 13分 所以当t＝2即x＝loga2时f(x)取最小值22,最小值与a无关.…………………………… 15分
综上所述,当a≥42时,f(x)在(－∞,2]上的最小值与a无关.…………………………… 16分
10
2016～2017学年第一学期期中考试
高一年级数学 试卷
命题： 审核： 校对： 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1.函数y?1的定义域是 .
lg?x?2?2.已知全集U?R,集合A?x|y?1?x,集合B??x|0?x?2?,则??UA?UB等于 . ?1?3.计算???27??13??????1??2log31?lg2?lg5= .
??1??f?f???的值是 . ??4??0??log2x,?x?0?4.已知函数f?x???x则3,x?0????5.若函数f?x??ax2?x?1在区间??2,???上为单调增函数,则实数a的取值范围是 . ?f?x1??f?x2???2?a?x?1,x?1?0 6.已知f?x???x满足对任意x1?x2都有
x?x12??a,x?1成立,那么a的取值范围是 .
7.函数f?x??x?2x的零点所在区间为?n,n?1?,n?Z则n? .
?ax?b?x?0??8.函数f?x???的图象如图所示,则a?b?c? . (第8题) ?1?logx?x?0????c??9??4139.下列函数:①f?x??3, ②f?x??x, ③f?x??ln, ④f?x??x,⑤f?x???x2?1中,既是偶函数,又是在
xx3区间?0,???上单调递减函数为 .(写出符合要求的所有函数的序号). ，2?时,不等式?x?1??logax恒成立,则实数a的取值范围为 ． 10.已知当x??1211.已知函数f?x??x?x?4?,且f?a2??f?a??0,则a的取值范围是 . 12.已知函数f?x??logax?1(a?0且a?1),当x??0,1?时,恒有f?x??0成立, ?3?则函数g?x??loga??x2?ax?的单调递减区间是 .
?2?13.对实数a和b,定义运算“?”:a?b???a,a?b?1,设函数f?x??x2?2?x?x2,x?R,
?b,a?b?1.????若函数y?f?x??c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是 .
1
14.设m、n?R,定义在区间?m,n?上的函数f?x??log?x?的值域是?0,2?,若关于t的方程2?4?1????m?1?0?t?R?有实数解,则m?n的取值范围是 ． ?2?|t|二、解答题:本大题共6小题,计90分.
15.(本小题满分14分)已知集合A?x|y?x2?5x?14,集合B??y|y?log1??x2?6x?1??,
??2????????集合C??x|m?1?x?2m?1?. (1)求AIB;
(2)若AUC?A,求实数m的取值范围.
16.(本小题14分)已知函数f?x??(1)求常数a的值;
(2)判断f?x?的单调性,并用定义证明; (3)求函数f?x?的值域.
17.(本题满分15分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米, BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方)表示成关于x的函 D M N C
G 1?a是奇函数. 2?1x数;
(2)求△EMN的面积S(平方米)的最大值.
A E （第17题）
B ?1?18.(本题共15分)已知定义域为?0,???的函数f?x?满足:①x?1时,f?x??0;②f???1;
?2?③对任意的正实数x,y,都有f?xy??f?x??f?y?. ?1? (1)求证:f????f?x?;
?x?(2)求证:f?x?在定义域内为减函数;
(3)求满足不等式f?log0.5m?3??f?2log0.5m?1???2的m集合.
2
19.(本题满分16分)已知函数f?x??1?x?1?x. (1)求函数f?x?的定义域和值域;
a(2)设F?x????f2?x??2????f?x?(a为实数),求F?x?在a?0时的最大值g?a?; 2(3)对(2)中g?a?,若?m2?2tm?2?g?a?对a?0所有的实数a及t???1,1?恒成立,求实数m的取值范围.
20.(本小题满分16分)设函数f?x??ax?2ax(其中常数a?0,且a?1). (1)当a?10时,解关于x的方程f?x??m(其中常数m?22); (2)若函数f?x?在???,2?上的最小值是一个与a无关的常数,求实数a的取值范围.
3
016～2017学年第一学期期中考试高一年级数学
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分. 1.函数y?1的定义域是 .
lg?x?2??2,3???3,???
2.已知全集U?R,集合A?x|y?1?x,集合B??x|0?x?2?,则??UA??B等于 . (0,??).
0?1?3.计算??????1??2log31?lg2?lg5= . 3
?27??13???1??1???log2x,?x?0?4.已知函数f?x???x则f?f???的值是 .
9??4????3,?x?0?5.若函数f?x??ax2?x?1在区间??2,???上为单调增函数,则实数a的取值范围是 .0?a?1 4?f?x1??f?x2???2?a?x?1,x?1?0成立,那么a的取值范围是 . 6.已知f?x???x满足对任意x1?x2都有
x?xa,x?112???3?,2? ?2??7.函数f?x??x?2x的零点所在区间为?n,n?1?,n?Z则n? .?1
?ax?b?x?0?13?a?b?c?8.函数f?x???的图象如图所示,则 . 1??logx?x?0??3??c??9??4139.下列函数:①f?x??3, ②f?x??x, ③f?x??ln, ④f?x??x,⑤f?x???x2?1中,既是偶函数,又是在
xx3区间?0,???上单调递减函数为 .(写出符合要求的所有函数的序号). ③⑤ ，2?时，不等式?x?1??logax恒成立,则实数a的取值范围为 ．?1，2?． 10.已知当x??1211.已知函数f?x??x?x?4?,且f?a2??f?a??0,则a的取值范围是 . ??1,0?【解析1】当a?0时,则a4?4a2?a2?4a?0,此时无解;
2422当a?0时,则a?4a?a?4a?0,即a?a?1?a?a?4?0,解得,故?1?a?0.
??【解析2】由题意可知,函数f?x?为奇函数,且在???,???上单调递增,
22从而由fa??f?a??f??a?得a??a,解得?1?a?0.
??12.已知函数f?x??logax?1(a?0且a?1),当x??0,1?时,恒有f?x??0成立,
4
?3?则函数g?x??loga??x2?ax?的单调递减区间是 .
?2?32
解析:当x∈(0,1)时,|x＋1|>1,但loga|x＋1|<0,故由对数函数的图象知,0 2332a3 －x2＋ax?的定义域为?0，a?.因为二次函数t＝－x2＋ax的单调递增区间为?－∞，?,即函数g(x)＝loga?3??2??3??2 a0，?. 结合函数g(x)的定义域知,函数g(x)的单调递减区间为??3?13.对实数a和b,定义运算“?”:a?b???a,a?b?1,设函数f?x??x2?2?x?x2,x?R,若函数 ?b,a?b?1.????y?f?x??c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是 . ??x－2，x－2－(x－x)≤1， f(x)＝?＝?2223x－x()2>1?x－x，x－2－x－x，x<－1，或x>，?2 2 2 2 3 x2－2，－1≤x≤， 2 则f(x)的图象如图:∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点, ?3?∴y＝f(x)与y＝-c的图象恰有两个公共点,由图象知?,1?U?2,??? ?4?14.设m、n?R,定义在区间?m,n?上的函数f?x??log?x?的值域是?0,2?,若关于t的方程2?4?1????m?1?0?t?R?有实数解,则m?n的取值范围是 ．[1,2) ?2?|t|15.(本小题满分14分)已知集合A?x|y?x2?5x?14,集合B??y|y?log1??x2?6x?1??, ??2????????集合C??x|m?1?x?2m?1?. (1)求AIB; (2)若AUC?A,求实数m的取值范围. 15.解:(1)∵A?(??,?2]U[7,??),B???3,???,…∴AIB???3,?2?U?7,???.…………6分 (2) ∵AUC?A∴C?A.………………8分 ①C??,2m?1?m?1,∴m?2.……………………………………9分 ②C??,则??m?2?m?2或?.……………………………12分 ?2m?1??2?m?1?7 ∴m?6 综上,m?2或m?6…………………14分 16.(本小题14分)已知函数f?x??(1)求常数a的值； (2)判断f?x?的单调性,并用定义证明； (3)求函数f?x?的值域. 1?a是奇函数。 2x?1 5
