《复变函数与积分变换》总复习题
一、填空
1.
(1?i1?i)4? 。 2. lim1z??1+z2? 。 3. 已知虚数z3?8，则z3?z2?2z?2? 。
4. z1??1?3i，z2??1?i，argz1z2? 。 5.
(1?3i)3? 。
6. 区域就是 。
7.
函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是：u(x,y)和v(x,y)在D内任一点z?x?iy可微，而且满足柯西—黎曼方程即 。
8. 如果函数f(z)在z0及其邻域内处处可导，则称f(z)在z0 。
9.
没有重点的连续曲线C，称为 曲线（或若尔当曲线）。 10. 复平面加上无穷远点称为 。
11. 若f(z)在z0不解析，则称z0为f(z)的 。
12. 如果函数f(z)在单连通域D内处处解析，那么f(z)沿D内的任意一条封闭
曲线C的积分
f(z)dz? 。
C?13. Lnz?lnz? 。
14. 如果二元实函数?(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉
?2斯方程??x2??2??y2?0，则称?(x,y)为区域D内的 。 15. 复变函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析的充要条件为：在区域
D内，f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的 。
16. e2?3i的辐角主值为 。
17. 一个解析函数在圆心处的值等于它在 上的平均值。
18. 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析，那么函数f(z)沿B内的任何一条
封闭曲线C的积分为_____________________。
19. 设函数f(z)在区域D内解析，且f(z)不是常数，则在D内
f(z) 最大值。
20. 在区域D内解析的函数，若其模在D的内点达到最大值，则此函数必恒
为 。
21. 若f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任意一条封闭曲线，它的内部完
全含于D，z0为C内任一点，则有柯西积分公式
f(z0)= 。
22. 若函数f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任意一条简单闭曲线c，都
有
?cf(z)dz?0，则函数f(z)在B内 。
23. 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值，即
f(z0)? 。
24. 如果幂级数
??cn(z?zn0)在点z1(z1?z0)收敛，则级数在圆域
n?0z?z0?z1?z0内 。
25. f(z)?11?z在z?0的邻域内的泰勒级数展开式为
f(z)? 。
26. 孤立奇点可以分为三类，分别是可去奇点，极点和 。
??27. 若
??n收敛，则称级数
?n为 。
n?0?n?028. 解析函数的虚部是实部的 调和函数。
29. 函数在一点解析的充要条件是它在这一点的邻域内可以展开
为 。 30. 点0是函数f(z)?sinzz的 。 31. 如果在z0的去心邻域内f(z)的罗朗级数有(z?z0)的无限多个负幂项，则
孤立奇点z0称为f(z)的 。
32. 如果z0为f(z)的一阶极点，则Res[f(z),z0]? 。?33. 如果级数
?cnzn在z?z0（?0）收敛，则对满足z?z0的z，级数必
n?0______。
34. 设z0是f(z)的一个孤立奇点，则z0是f(z)的可去奇点的充分必要条件是
f(z)在z0的一个邻域内________________。
35. 设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次
幂项的系数c?1称为f(z)在z0处的 。
36. 若函数f(z)在z0的邻域内有定义，且在z0具有 ，
则称映射??f(z)在z0是共形的。
37. 实二元函数?(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方
程 ，则称
?(x,y)为区域D内的调和函数。
38. 如果在z0的去心邻域内f(z)的洛朗级数只有(z?z0)的有限多个负幂项，
则孤立奇点z0称为f(z)的 。
39. 任何解析函数的泰勒展开式是 。 40. 设??f(z)是区域D内的第一类保角映射，如果当
z1?z2时，有
f(z1)?f(z2)，则称f(z)为 。
41. 设函数f(z)在区域D内解析，且不恒为常数，则像集合G?f(D)是 。
42. 若函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,?,zn外处处解析，C是D
内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则
。
C?f(z)dz? 43. 称f'(z0)?0的辐角argf'(z0)为曲线C经过??f(z)映射后在z0处
的 。
44. 傅氏变换具有位移性质，即设F(?)为函数f(t)的傅氏变换，则f(t-t0)的
傅氏变换为 。
45. 傅氏变换具有相似性质，即设F(?)为函数f(t)的傅氏变换，则f(at)的傅
氏变换为 ，其中a是非零常数。
46. 函数f(t)的傅里叶变换的定义为F(ω)= 。
47. F1(s),F2(s)分别为函数f1(t),f2(t)的拉普拉斯变换，则f1(t)?f2(t)的拉
普拉斯变换为 。
48. 若?[f(t)]?F(s)，则?[eatf(t)]? 。
49. 设函数f(t)是定义在[0,??)上的实值函数，如果对于复参数s???j?，
积分F(s)? 在复平面的某一域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
50. 拉氏变换具有延迟性质，即设?(s)为函数f(t)的拉氏变换，当t?0时
f(t)?0，则对任一非负实数?，f(t-?)的拉氏变换为?[f(t-?)]? 。
二、选择题
1. 函数
z?1z(z2?1)的奇点为（ ） A：0, ?1；B：0，?i；C：0，i；D：?1,?i。 2. Ln（1+i)=（ ） A：ln2?i(?4?2k?),k?Z； B：ln2?i(3?4?2k?),k?Z； C：ln2?i(?4?2k?),k?Z； D：ln2?i?4 。
3.
3?2i2?3i?（ ） A：?i； B：i； C：?1； D：13i。
4. 将定义在全平面上的复变函数??z2?1化为一对二元实变函数为（ ）
A：u?x2?y2?1,v?2xy；B：u?x2?y2?1,v?2xy； C：u?x2?y2?1,v?2xy；D：u?x2?y2?1,v?2xy。
5. ??Rez在复平面内（ ）
A：处处解析；B：处处可导但不解析；C：对于z?R解析；D：处处不解析。 6. 解析函数f(z)的n 阶导数为（ ）
A：f(n)(zn!f(z)0)?2?i?dz；B：f(n)(z0)?n!Cz?z02?i?f(z)dz； CC：f(n)(z1f(z)0)?2?i?dz；D：f(n)(zf(z)0)?n!Cz?z0?dz。 Cz?z07.
sinzz在孤立奇点0处的留数为（ ） A：1；B：2?；C：0；D：?1。
8. 函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)满足柯西—黎曼方程是指（ ）
A：
?u?v?u?v?u?v?u?v?x??y,?y??x； B：
?x??y,?y???x； C：
?u??x??v?u?v?u?v?u?v?y,?y??x；D：?x???y,?y???x。 b9.
?zndz?（ ），n=0，1，2……，a，b均为有限复数。 aA：
1n?1(bn?1?an?1)； B：1n(bn?1?an?1)； C：1nn1n(b?a)； D：
(bn?1?an?1n?1)。 10. 设函数f(z)在全平面为解析，又对任意r?0，令M(r)?maxz?rf(z)，则
M(r)是r的（ ）
A：单调上升函数；B：单调下降函数；C：常数函数；D：非单调函数。
11. 函数zcosz在z??2的留数为（ ）
A：
?2； B：?； C：??2； D：??。
?(z?1)n12. ?n?1n的收敛半径为（ ）
A：2；B：?；C：0；D：1。
13. 设函数f(z)在区域D内解析，且f(z)不是常数，则在D内（ ） A：f(z)能取到最大值；B：f(z)是常数；C：f(z)没有最大值；D：f(z)无界。
??14. (z?1)n的收敛半径为（ ）
n?0nA：1； B：0； C：??； D：2。
15. 如果z10是f(z)的m阶极点，那么z0就是f(z)的m阶（ ）
A：可去奇点；B：零点；C：极点；D：本性奇点。 16. f1(t)?f2(t)=（ ） A：???(t??)f B：?????f12(?)d?； ??f1(t)f2(t-?)d?；
C：
?????f1(?)f2(?)d? ； D：?????f1(t-?)f2(t-?)d?。
17. 所有使点±1保持不动（即点?1映成?1）的分式线性映射的表达式为（ ）A：??az?bcz?d(ad?bc?0)； B：??az?b2bz?a(a?b2?0)； C：??az?bcz?a(a2?bc?0)； D：??az?bbz?c(ac?b2?0)。 ?18.
?(1?i)是（ ）级数。 n?1n2nA：绝对收敛；B：条件收敛；C：不确定；D：发散。 19. z??是函数f(z)?z1?z2的（ ） A：本性奇点；B：可去奇点；C：极点；D：重点。
20. 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变为（ ） A：抛物线；B：椭圆；C：圆；D：双曲线。 21. 函数f(t)?1的拉氏变换为（ ） A：
11s?1； B：s C：1s?1； D：12； s。 22. f(z)?ez在z?0处的泰勒展开式为（ ）
????????2nA：?zn； B：?zn； C：?(-1)nz2n； D：nzn?0n!n?0n?0?(-1)n?0(2n)!。23. 函数f(t)?eat的拉氏变换为（ ） A：
1s?a；B：111s2?a2；C：s；D：s?a。
24. 设?[f(t)]?F(s)，则?[f'(t)]?
A：sF(s)?f(0)；B：sF(s)；C：sF(s)?f(0)；D：
1sF(s)?f(0) 25. 设?[f(t)]?F(s)，则有?[?t0f(t)dt]?F(s)?（ ）
A：?t0F(s)ds；B：F(s)；C：
F(s)s?1；D：F(s)s。
三、计算题
1. Ln(?2?3i)；
2. ?
zdz， C为从?i到i的右半圆周z?1。
C3.
C?zdz ，其中C是从点1到i的直线段。
4. 计算?Czdz，其中C是从点1到0的直线段，再从点0到点i的直线段所连
接成的折线段。
5. 计算limez?1。
z??z6. 计算
?dzzn，其中n 为任何整数，C为以z0为中心，r为半径的圆周。C(z?0)7. 计算
1z??6z(z-2)(z?5)dz。 8. 计算积分sinzdz，其中C是圆周z?1?1的上半周，走向从0到2 。
C?9. 计算
z?z2dz。 z??2(9)(z?i)10. 将f(z)?1z2(1?z)在1?z???内展开为幂级数。 ?e-z11. 计算2dz；
z?1z12. 讨论级数
??(zn?1?zn)的敛散性。
n?013. 计算
z?dz?2z(2z?1)。
114. 求f(z)?ez在无穷远点?的留数。 15. 计算
1)dz。 z?2?3(4?z)(z?5i16. 求f(t)?tneat的拉氏变换；
17. 计算eibz(z2?a2)2在点ai处的留数。
18. u(t)是单位阶跃函数，求u(t)sinbt的傅氏变换。
19. 求把z1?1，z2?i，z3??1分别映照成?1??，?2??1，?3?0的
分式线性映射。
20. 求f(t)???1?t2t?1的傅氏积分变换。
?0t?121. 求矩形脉冲函数 f(t)???A:0?t???0:其他 的傅氏变换。
22. 求函数f1(t)?t与f2(t)?sint的卷积。
23. 利用拉氏变换的性质，求f(t)?(t?1)2et的拉氏变换。
24. 已知F(s)?s2?1(s2?1)2，求f(t)??[F(s)]。 利用延迟性质，求f(s)?e?5s?125. s的拉氏逆变换。
四、证明题
1. 若函数f(z)在z?0的邻域内连续，则 lim2?r?0?0f(rei?)d??2?f(0)
2. 证明一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。
3. 设f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，证明对在D内，
但不在C上的任一点z0，下面等式成立： ?f'(z)f(Cz?zdz?z)2dz
0?C(z?z0)
4. 设f(z)与g(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，
它的内部全含于D。如果f(z)=g(z)在C上的所有点处成立，试证在C内的所有点处f(z)=g(z)也成立。
5. 设函数f(z)在z?z0?R内解析，又f(z)?M(z?z0?R)，则成立着 f(n)(z0)?n!MRn（n?1,2....） 题目中的映射的内容也要求，不难， 看看书和教案就可以知道怎样求解。
五、解答题
?1. 求f(t)??30?t?2??12?t?4的拉氏变换；
??0t?42. 解微分方程y'''?3y''?3y'?y?1，y(0)?y'(0)?y''(0)?0； 3. 证明u(x,y)?2x?x3?3xy2是调和函数，并求出它的共轭调和函数。 4. 将f(z)?z1?z2在1?z?i?2内展开为洛朗级数。 5. 设z0是f(z)的m阶零点，又是g(z)的n阶零点，则下列函数在z0处具有
何种性质：
（1）：f(z)?g(z)；（2）：
f(z)g(z)。 6. 求解微分方程??x\(t)?y\(t)?x(t)?y(t)?0,x(0)?y(0)?0)?x(t)?y(t)?sintx'(0)?y'(0)?-1。 ?2x\(t)?y\(t7. 求函数f(t)???1?t2t?1? 0 t?1 的傅氏变换及傅氏积分。
8. 将f(z)?1z2(1?z)分别在1?z??和0?z?1?1中展开为洛朗级数。 9. 求常微分方程y????y'?1，y(0)?y'(0)?y\(0)?0的解。 10. 解常微分方程y'?y?e2t?t，y(0)?0。
四、证明题
1. 若函数f(z)在z?0的邻域内连续，则 lim2?r?0?0f(rei?)d??2?f(0)
2. 证明一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。
3. 设f(z)在区域D内解析，C为D内任一条正向简单闭曲线，证明对在D内，
但不在C上的任一点z0，下面等式成立： ?f'(z)f(Cz?zdz?z)2dz
0?C(z?z0)
4. 设f(z)与g(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，
它的内部全含于D。如果f(z)=g(z)在C上的所有点处成立，试证在C内的所有点处f(z)=g(z)也成立。
5. 设函数f(z)在z?z0?R内解析，又f(z)?M(z?z0?R)，则成立着 f(n)(z0)?n!MRn（n?1,2....） 题目中的映射的内容也要求，不难， 看看书和教案就可以知道怎样求解。
五、解答题
?1. 求f(t)??30?t?2??12?t?4的拉氏变换；
??0t?42. 解微分方程y'''?3y''?3y'?y?1，y(0)?y'(0)?y''(0)?0； 3. 证明u(x,y)?2x?x3?3xy2是调和函数，并求出它的共轭调和函数。 4. 将f(z)?z1?z2在1?z?i?2内展开为洛朗级数。 5. 设z0是f(z)的m阶零点，又是g(z)的n阶零点，则下列函数在z0处具有
何种性质：
（1）：f(z)?g(z)；（2）：
f(z)g(z)。 6. 求解微分方程??x\(t)?y\(t)?x(t)?y(t)?0,x(0)?y(0)?0)?x(t)?y(t)?sintx'(0)?y'(0)?-1。 ?2x\(t)?y\(t7. 求函数f(t)???1?t2t?1? 0 t?1 的傅氏变换及傅氏积分。
8. 将f(z)?1z2(1?z)分别在1?z??和0?z?1?1中展开为洛朗级数。 9. 求常微分方程y????y'?1，y(0)?y'(0)?y\(0)?0的解。 10. 解常微分方程y'?y?e2t?t，y(0)?0。
