杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试
数学卷（理科）
一、选择题（每题3分，共30分）
1.设m,n是不同的直线，?,?是不同的平面，下列命题中正确的是
A．若m//?,n??,m?n,则??? C．若m//?,n??,m?n,则?//?
B．若m//?,n??,m//n,则??? D．若m//?,n??,m//n,则?//?
2.正方体ABCD?A1B1C1D1中，M、N分别是CC1,BC的中点，则过A、M、N三点的正方体AC1的截面形状是
A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 3.如图，在三棱锥S?ABC中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，SO?底面ABC，O为垂足，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值为（ ） A．
3331 B． C． D． 2362
4.若点P?m,n?，Q(n?1,m?1)关于直线l对称，则l的方程是
A．x?y?1?0 B．x?y?0 C．x?y?1?0 D．x?y?0
05.直三棱柱ABC?A1B1C1中，?BCA?90，M、N分别是A1B1的中点，、A1C1，则BM与AN所成的角的余弦值为 BC?CA?C1CA．1 B．2 C．1052 D．30
2106.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中,下面结论错误的是( ) A.BD∥平面CB1D1 B. 异面直线AD与CB1所成的角为30° C.AC1⊥平面CB1D1 D. AC1?BD
1
6题 7题
7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 A.82π B.4π C.8π D.16π 3O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直8.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点
sin?的取值范围是线OP与平面A1BD所成的角为?，则
（ ）
36,1][,1]A.3 B.3 [62222,][,1] C.33 D.3[
9.在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该
物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且?POQ?90，再过两分钟后，该物体位于R点，且?QOR?30，则tan?OPQ的值为 （ ）
A.32332 B. C. D. 232310．已知点A(?1,0),B(1,0),C(0,1),直线y?ax?b(a?0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是（ ） A.(0,1)
?21?2111?,? D.[,) B.(1?,) C.?1?23?2232?二、填空题（每题4分，共24分）
11.两条平行直线3x?4y?12?0与ax?8y?11?0之间的距离为_________. 12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2),B?(2,0),C，(1,0分别以?ABC的边
AB、AC向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为 . 2
D
C
A
B D1
A1 12题 13题 13.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1，则下列四个命题： ①P在直线BC1上运动时，三棱锥A?D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角P?AD1?C的大小不变；
C1
B1
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线 其中真命题的个数是
14．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，点M是面对角线A1B上的动点，则
AM?MD1 的最小值为 A
P D O B
C Q
14题 15题 15．如图，在三棱锥A?BCD中，BC?DC?AB?AD?2，
BD?2，平面ABD?平面BCD，O为BD中点，点P,Q分别
为线段AO,BC上的动点（不含端点），且AP?CQ，则三棱锥
P?QCO体积的最大值为________．
16题
3
16.已知直线l?平面?，O为垂足，长方体ABCD?A1B1C1D1中， AD?5,AB?6，
AA1?8，A?l,B1??，则OC1的最大值为
三、解答题（共46分）
17．（10分）已知直线l1过点A(2,1),B(0,3),直线l2的斜率为?3且过点C(4,2).(l)求l1、l2的交点D的坐标； (2)已知点M(?2,2),N(值范围.
18．（12分）一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E?ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA?平面ABC,AB?AC,AB?AC.AE?2.
157,),若直线l3过点D且与线段MN相交，求直线l3的斜率k的取22(1)求证：AC?BD.
(2)求三棱锥E?BCD的体积.
19．（12分）如图，已知正方体ABCD?A1B1、CC1的1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是A中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G． (l)求证：EG∥D1F；
(2)求二面角C1?D1E?F的余弦值；
(3)求正方体被平面D1EGF所截得的几何体ABGEA1?DCFD1的体积．
20.（12分）在平面直角坐标系xoy中，对于直线
l：ax?by?c?0和点
Pi(x1,y1),P2(x2,y2),记??（ax1?by1?c)(ax2?by2?c).若?<0，则称点P1,P2被直线
且曲线C上存在点P则称直线l为l分隔.若曲线C与直线l没有公共点，1，P2被直线l分隔，曲线C的一条分隔线.
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⑴ 求证：点A（被直线x?y?1?0分隔； 1,2），B（?1，0）⑵若直线y?kx是曲线x2?4y2?1的分隔线，求实数k的取值范围；
⑶动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.
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杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（理科）
一、选择题（每题3分，共30分） 1 B 2 C 3 D 4 A 5 D 6 B 7 C 8 B 9 B 10 B 二、填空题（每题4分，共24分）
72. 2 12. x?4y?14?0 13. 3
214. 2?2 15. 48 16. 5?52 三、解答题（共46分） 17.（10分） 【解析】
试题解析：（1）∵直线l1过点A(2,1),B(0,3) ∴直线l1的方程为
y?13?1?，即y??x?3 x?20?2又∵直线l2的斜率为?3且过点C(4,2)
∴直线l2的方程为y?2?(?3)(x?4)，即y??3x?14
11?x???y??3x?14115?2∴?，解得?即l1、l2的交点D坐标为(,?)
22?y??x?3?y?-5??2（2）由题得下图，
6
5??232?? ∵kMD?115?(?2)257??kND?22?3
1115?22∴直线l3的斜率k的取值范围为k??或k?3 .
18.【解析】(1)因为EA⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC. 又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD. 因为BD?平面EBD,所以AC⊥BD.
(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径. 设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,
35解得
所以BC=4,AB=AC=2
.
以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法： 方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,
所以VE-BCD=VC-EBD=S△EBD×CA, 因为EA⊥平面ABC,AB?平面ABC, 所以EA⊥AB,即ED⊥AB. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB⊥AC,AB=AC=2
,
所以S△EBD=ED×AB=×4×2=4,
所以VE-BCD=×4×2=.
方法二：因为EA⊥平面ABC,
所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=S△ABC×EA+
S△ABC×DA=S△ABC×ED. 其中ED=EA+DA=2+2=4,
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因为AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S△ABC=×AC×AB=×2×2=4,
所以VE-BCD=错误！未找到引用源。×4×4=. 19.【解析】
（1）证明：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，因为平面ABB1A1//平面DCC1D1, 平面D1EGF平面ABB1A1?EG,平面D1EGF平面DCC1D1=D1F,?EG//D1F
（2）解：如图，以D为原点分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则有D1?0,0,2?,E?2,1,2?,F?0,2,1?
?D1E??2,1,0?,D1F?(0,2,?1)
设平面D1EGF的法向量为n??x,y,z?则由n?D1E?0和n?D1F?0得?取x?1,得y??2,z??4,?n??1,?2,?4? 又平面ABCD的法向量为DD1??0,0,2? 故cos?DD1,n???2x?y?0
2y?z?0?DD1?nDD1?n?1?0???2??0???4??212???2????4??02?02?22421 2122??421 21所以截面D1EGF与底面ABCD所成二面角的余弦值为V （3）解：设所截几何体ABGEA1?DCFD1的体积为
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?EGB1与?D1FC1相似，DC11?2,C1F?1
111D1C1?1,B1G?C1F? 2221111?S?EGB1?EB1?B1G??1??
222411S?D1FC1?D1C1?C1F??2?1?1
22?EB1?故V棱台D1FC1?EGB1?B1C13??72?11S?EGB1?S?EGB1?S?D1FC1?S?D1FC1????1?1? ???3?44?6?V?V正方体?V棱台D1FC1?EGB1?23?
741? 6620.试题解析：（1）由题得，??2?(?2)?0，∴A(1,2),B(?1,0)被直线x?y?1?0分隔. （2）由题得，直线y?kx与曲线x?4y?1无交点
22?x2?4y2?1即??(1?4k2)x2?1?0无解 ?y?kx?1?4k2?011k?(??,?][,??). ∴1?4k?0或?，∴222???4(1?4k)?0222又对任意的k?(??,?][,??)，点(1,0)和(?1,0)在曲线x?2y?1上，满足
1212???k2?0，被直线y?kx分隔，所以所求k的范围是(??,?][,??)．
（3）由题得，设M(x,y)，∴x?(y?2)?x?1， 化简得，点M的轨迹方程为[x?(y?2)]?x?1 ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y?kx. 联立方程，?[x?(y?2)]?x?1222222221212??y?kx432?(k2?1)x4?4kx3?4x2?1?0.
令F(x)?(k?1)x?4kx?4x?1，因为F(0)F(2)?(?1)?[16(k?1)?15]?0， 所以方程F(x)?0有实解，直线y?kx与曲线E有交点．直线y?kx不是曲线E的分隔线． ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为x?0.
显然x?0与曲线[x?(y?2)]?x?1没有交点，又曲线E上的两点(?1,2),(1,2)对于直
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线x?0满足???1?1?0，即点(?1,2),(1,2)被直线x?0分隔．所以直线x?0是E分隔线．
综上所述，仅存在一条直线x?0是E的分割线.
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