第11天 等边三角形
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如图，已知△ABC为等边三角形，QR⊥AB，垂足为R，PQ⊥AC，垂足为Q，RP⊥BC，垂足为P，且AR?BP?CQ．求证：△RPQ为等边三角形．
【参考答案】 见试题解析．
【解题必备】
1．等边三角形：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形．
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形． 2．性质：
①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条． ②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点． ③等边三角形的三个内角都等于60°．
应用格式：在△ABC中，∵AB=AC=BC，∴∠A=∠B=∠C=60°． （∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°或AB=AC=BC．） 3．判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形．
应用格式：在△ABC中，∵AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形． ②三个内角都相等的三角形是等边三角形．
应用格式：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．
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③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形．
试题推荐
1．已知一个三角形的任何一个角的平分线都垂直于这个角所对的边，这个三角形是
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．任意三角形
D．等边三角形
2．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④三个角相等的三角形是等边三角形．其中正确的是
A．只有①②③
B．只有①②④
C．只有①③④
D．①②③④
3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是
A．等边三角形 C．直角三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形 D．不等边三角形
4．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
5．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为
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A．30 cm
B．40 cm
C．50 cm
D．60 cm
6．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，则∠EDC的度数为__________．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，∠ADC=120°，AD=3，BD=5，则边CD的长为__________．
8．如图，等边△ABC，D、E分别在边BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，求∠BPD的度数．
9．已知：如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE=AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．
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参考答案
1．D【解析】∵三角形的任何一个角的平分线都垂直于这个角所对的边，∴三角形任两条边相等，∴这个三角形是等边三角形，故选D．
4．C【解析】如图，∵等边三角形ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角的平分线，交于点I，∴∠1=∠2=
1∠ACB=30°，∴∠BIC=180°–（∠1+∠2）=120°．故选C． 2
5．D【解析】因为每个三角形都是等边三角形，从其中一个三角形入手，比如右下角的以AB为边的三角形．设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．设AB=x，所以等边三角形的边长依次为x，x+x+2，x+2，x+4，x+4，x+6，所以，六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+4）+（x+6）=7x+18，因为AF=2AB，即x+6=2x，所以x=6（cm），所以周长为7x+18=60（cm）．故选D．
6．15°【解析】∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD=30°（三线合一），∵AD=AE，∴
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?ADE??AED?为：15°．
180???CAD180??30???75? ，∴∠EDC=∠ADC–∠ADE=90°–75°=15°．故答案
227．2【解析】延长AD到点E，使DE=CD，连接CE．∵∠ADC=120°，∴∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴∠DCE=60°，CD=CE，∵∠ACB=60°，∴∠BCD=∠ACE，∵BC=AC，∴△BCD≌△ACE，∴BD=AE，∵BD=5，
AD=3，∴DE=2，∴CD=2．故答案为：2．
9．答案见解析【解析】如图：
∵△CDE是等边三角形，∴EC=CD，∠1=60°，∵BE、AD都是斜边，∴∠BCE=∠ACD=90°， ∴Rt△BCE≌Rt△ACD（HL）．∴BC=AC．
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠3=∠1=60°．∴△ABC是等边三角形．
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善于思考，勤于总结！
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