工厂计划
摘要：本文以工厂所获得总收益为研究对象，采用的是线性规划分析方法，通过求解不同产品的生产计划安排以及获得的总利润，解决工厂为获取最大总收益的生产计划问题。
问题一是求产品生产的最大收益问题，产品的总收益=销售产品数量×产品价格—库存量×库存保管费.以每月每种产品的销售量和生产量及工厂获得的最大收益为目标函数，再结合约束条件，利用Lingo求得的最大收益的最优解为93656.43元，此时生产计划如表4。对于价格的变化对收益的影响由于没有价格变化与销售量之间的统计数据，所以不能用以拟合确定需求函数，只能得到理论模型。而引入新机床通过利用lingo软件的灵敏度分析后，得出各种机床的工作剩余时间表如表5，通过对表5的工作剩余时间数及增加机床时间先后的优先级分析后，在不考虑增加机床成本的情况下，发现在一定范围内增加一定机床的数量可以增加总的收益，而当增加一台镗床和一台刨床可以使得收益最大为115486.4元，比原来最大收益增加21829.97元。
对于问题二，通过表4﹑表5及表6的数据及问题1中得到的结果进行分析后，通过不断地演算，定性的得到工厂维修机床的最佳检修时间安排表如表7，最后用如问题1的数学模型，使用lingo软件计算出工厂生产的产品的最大收益为105591.7元，比原本的维修方案多了11935.27元，表明新的维修方案可以给工厂带来更高的利润回报。
通过对题目的解答后，可以认为对工厂生产产品的合理安排将会实现资源的合理配置并且能为工厂带来更大的利润回报，并且减少了资源浪费和工厂运营成本，为建立节约型社会做出了贡献，所以在社会中具有很高的现实意义。
关键词： 线性规划 约束 lingo 灵敏度
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1．问题重述
某厂拥有4台磨床、2台立式钻床、3台卧式钻床、一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作P1至P7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之剩余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于表1：
表1 产品用时表 产品 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 收益 10 6 8 4 11 9 3 磨 0.5 0.70 0 0 0.3 0.2 0.5 垂直钻孔 0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0 水平钻孔 0.2 0 0.8 0 0 0 0.6 镗孔 0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08 刨 0 0 0.01 0 0.05 0 0.05 本月（一月）和随后的5个月中，下列机床停工维修： 一月 磨床一台 二月 卧式钻床2台 三月 镗床一台 四月 立式钻床一台
五月 磨床一台，立式钻床一台上台下 六月 刨床一台，卧式钻床一台 各种产品各月份的市场容量如表2：
表2 市场容量表 产品 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 一月 500 1000 300 300 800 200 100 二月 600 500 200 0 400 300 150 三月 300 600 0 0 500 400 100 四月 200 300 400 500 200 0 100 五月 0 100 500 100 1000 300 0 六月 500 500 100 300 1100 500 60 每种产品存货最多可到100件。存费每件每月为0.5。现在无存货。要求到6月底每种产品有存货50件。工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。不需要考虑排队等待加工的问题。
1、为使收益最大，工厂应如何安排各月份各种产品的产量？考虑价格的某种变化及引入新机床对计划和收益的影响。
注意，可假设每月仅有24个工作日。 2、在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是如问题1那样规定3月份，而是选择最合适的月份维修。除了磨床外，每台机床在这个月中的一个月必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值如何？
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2．问题分析
本题是对工厂计划问题建立数学模型并进行最优化求解。一般来说本题属于相对繁琐的一类问题，其数据量庞大，计算复杂。需要考虑的因素较多。因此求解该题时，必须对题中所给的每个条件进行仔细分析，确定不等式的基本模式，明晰各个条件之间的关系。才能便得出产品总利润与生产、销售和库存工件量的关系式。然后用计算机对数据进行模拟计算并求得最优解，使6个月的利润之和达到最大，同时也可以得出每一个月7个产品的生产、库存、及销售计划。
由题意可知，每个月生产7种产品所需设备的总工时要小于或等于该月的总工时数，而且题目给的条件中市场容量与库存数量均有最大值和各月的库存是可以累加的，所以生产产品时要结合市场容量和库存来求解。从题目的分析中，得出基本关系式，产品总利润=销售数量×产品利润-库存数×库存保管费。
对于问题1，可以用前面的提到的方法利用Lingo软件求得最优解。然而后面提到的改变产品价格来改变计划需要通过模拟函数来求得产品价格与利润的关系式。而购买新机床本组通过利用lingo软件的灵敏度的分析可以求得最佳的购买方案。
对于问题2，要求在不改变检修机床的数量而是改变顺序上构造一个最优设备计划检修模型，使得让每一个月所需设备尽可能得运转而使产品尽可能的和市场容量一样从而使产品的总利润最大，所以本组需要通过定量的比较精确的计算求得。
3．基本假设与符号说明
3．1基本假设
(1) 进行机床加工时，忽略人员和设备的准备时间与转移时间。 （2）在生产时各个工序是无缝衔接的，没有生产等待时间的。
（3）产品的库存费用都是从月初收取，该月内的产品卖出不影响库存费用。 （4）除需维修的机床外，其他机床都是符合题目所给的条件。 （5）库存的产品不会因为保存时间的长短和天气的变化而影响质量而导致价格的下降。
3．2符号说明
Z 表示6个月的利润总和；
Zi 表示第I月份的利润（I=1,2,3,4,5,6）；
，j为产品的种类Xij 表示x为销售量，I为月份（I=1,2,3,4,5,6）
（j=1,2,3,4,5,6,7）；
Tij 表示第I月底产品j的库存量；
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Yj 表示每个产品j的利润，即该产品的售价与原料成本之差； Sij 表示第I月份生产j产品的产量；
4．模型的建立与求解
4.1 问题1的模型和求解
4.1.1问题1中（1）问的模型和求解
由题目可知，产品总利润是6个月的利润总和，即：
MAX Z?Z1?Z2?Z3?Z4?Z5?Z6 （1）
如果对每一个月都进行文字说明将会导致篇幅增加，显得模型累赘，再加上每一个月的解答方式一样，所以本组只对一月份为例子进行解。
由已知一月份没有库存，则可得一月利润为销售所得与一月未售出的产品保管费之差，即：
Z1??YjX1j?0.5??T1j （2）
j?1j?177由于库存费用只与产品数量有关，与产品种类无关，所以一月份的库存产品为生产的产品数量与销售产品数量之差，即：
T1j?S1j?X1j （3）
各机床工作时间的约束条件:
以磨床为例，有4台磨床，又已知条件知1月需维修1台磨床，则可使用磨床还有3台，由每月工作24天，双班制，每班8小时，故可得磨床的最大使用时间，因此，使用磨床的时间不能大于磨床的最大使用时间，同理可得其他机床的最大使用时间，各机床的最大使用时间如下表：
表3 机床工作时间表 月份机床 一月 二月 三月 四月 1536 h 384 h 1152 h 384 h 384 h 五月 1152 h 384 h 1152 h 384 h 384 h 六月 1536 h 768 h 768 h 384 h 0 h 磨床 1152 h 1536 h 1536 h 立式钻床 768 h 768 h 768 h 卧式钻床 1152 h 384 h 1152 h 镗床 384 h 384 h 0 h 刨床 384 h 384 h 384 h
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故可列的一月份的各个机床的用工时间限制，如：
(1) 磨床：0.5S11?0.7S12?0.3S15?0.2S16?0.5S17?1152 （4） (2) 垂直钻床：0.1S11?0.2S12?0.3S14?0.6S16?768 （5） (3) 水平钻床：0.2S11?0.8S13?0.6S17?1152 （6） (4) 镗床：0.05S11?0.03S12?0.07S14?0.1S15?0.08S17?384 （7） (5) 刨床：0.01S13?0.05S15?0.05S17?384 （8）
市场容量对销售量和库存量的约束条件:
由表2可知，知道7个产品的市场容量在每个月是确定的，那么产品的销售量应该小于或等于市场容量。
由于是对第一个月求解，所以本组列出了第一个月7个产品的销售限制，如：
0?X11?500 0?X12?1000
0?X13?300
0?X14?300 （9） 0?X15?800 0?X16?200
0?X17?100
同理也可得2～6五个月的约束情况及不等式，但在库存量上约束有所差别。到了二月，其库存量就不能单独的只用生产量减去销售量了，还要加上第一个月的库存量。但了三月则要加上第二个月的库存量，第四第五也如此，依此类推。到了六月,其库存量则有了固定的数额限制，要求为 50件。
由题目已知，每种产品存货最多可到100件，即每种产品的库存量不大于100，且要大于等于0，由此可得约束条件，如：
0?T1j?100 （j=1,2,3,4,5,6,7） （10）
问题1的求解
利用上面的模型用lingo软件得到结果如附录1： Global optimal solution found.
Objective value: 93656.43 Infeasibilities: 0.000000
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