初高中数学衔接课程教案10 含参二次函数的最值
一、知识点梳理
一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，求f(x)在x?[m，n]上的最大值与最小值． 分析：将f(x)配方，得对称轴方程x??当a?0时，抛物线开口向上
b 2ab?[m，n]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 2ab?[m，n] 若?2a若?当a?0时，抛物线开口向上，此时函数在[m，n]上具有单调性，故在离对称轴x??b较2a远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a?0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a?0时
f(x)maxb1?f(m)，??(m?n)(如图1)??2a2??f(x)minb1?f(n)，??(m?n)(如图2)?2a2?b?f(n)，??n(如图3)?2a?bb???f(?)，m???n(如图4)
2a2a?b?f(m)，??m(如图5)?2a?
当a?0时
f(x)maxb?f(n)，??n(如图6)?b1?2af(m)，??(m?n)(如图9)???2a2bb? ??f(?)，m???n(如图7)f(x)min??2a2a?f(n)，?b?1(m?n)(如图10)??b?2a2?f(m)，??m(如图8)?2a?
1
二、典型例题 1．轴定区间定
例1．已知函数f(x)?x2?解析：f(x)?(x?所以x?23x?1,x?[?1,3],，求函数f(x)的最大值与最小值． 3324)? 334323时，f(x)min??;x??1时，f(x)max?．
333
2．轴定区间动
例2．设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1,a?R,，求f(x)的最小值．
2解析：（1）当x?a时，f(x)?(x?)?1，则f(x)min21②若a??，则f(x)min?f(a)?a2?1
2123（2）当x?a时，f(x)?(x?)??a
241①若a?，则f(x)min?f(a)?a2?1;；
2113②若a?，则f(x)min?f()??a
22413111综上所述，当a??时，f(x)min??a；当??a?时，f(x)min?a2?1；当a?242223时，f(x)min??a．
4①若a??
3．轴动区间定
例3．求函数y??x(x?a)在x?[?1,1]上的最大值．
13?a
2413?f(?)??a;
24a2a2aaa解析：函数y??(x?)?图象的对称轴方程为x?，应分?1??1，??1，
22224a?1即?2?a?2，a??2和a?2这三种情形讨论，下列三图分别为 2（1）a??2；由图可知f(x)max?f(?1)
（2）?2?a?2；由图可知f(x)max?f()
2
a2（3）a?2时；由图可知f(x)max?f(1)
??f(?1),a??2??(a?1),a??2?y最大???f(a?2),?2?a?2；即y?a?2最大??,?2?a?2
?1),a?2?4?f(??a?1,a?2
4．轴变区间变
例4．已知y2?4a(x?a)(a?0),，求u?(x?3)2?y2的最小值． 解析：将y2?4a(x?a)代入u中，得
①，即时，
②，即
时，
所以
5、逆向型
例5．已知函数f(x)?ax2?2ax?1在区间[?3,2]上的最大值为4，求实数a的值．解析：f(x)?a(x?1)2?1?a,x?[?3,2] （1）若a?0,f(x)?1,，不合题意． （2）若a?0,则f(x)max?f(2)?8a?1
由8a?1?4，得a?38 （3）若a?0时，则f(x)max?f(?1)?1?a
由1?a?4，得a??3
3
综上知a?
3或a??3 8x2?x在区间[m,n]上的值域是[3m,3n]，求m，n的值． 例6．已知函数f(x)??2m?n,n的位置关系． 解析1：讨论对称轴中1与m,2①若解得②若
，则?
?f(x)max?f(n)?3n
?f(x)min?f(m)?3m?f(x)max?f(1)?3nm?n?1?n，则?，无解 2?f(x)min?f(m)?3m?f(x)max?f(1)?3nm?n，则?，无解 2?f(x)min?f(n)?3m③若m?1??f(x)max?f(m)?3n④若，则?，无解
f(x)?f(n)?3m?min综上，m??4,n?0
11112解析2：由f(x)??(x?1)?，知3n?,n?,，则[m,n]?(??,1]，f(x)在[m,n]上
2226递增． 所以??f(x)max?f(n)?3n
?f(x)min?f(m)?3m解得m??4,n?0
评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了．
三、巩固练习
1、已知二次函数f(x)满足条件f(0)?1及f(x?1)?f(x)?2x （1）求f(x)；
（2）求f(x)在区间[?1,1]上的最大值和最小值
2解：（1）设f(x)?ax?bx?c，由f(0)?1，可知c?1
∵f(x?1)?f(x)?[a(x?1)?b(x?1)?c]?(ax?bx?c)?2ax?a?b 故由f(x?2)?f(x)?2x得2a?2，a?b?0
2因而a?1，b??1所以f(x)?x?x?1
22 4
22（2）f(x)?x?x?1?(x?)?123 4113?[?1,1]，所以当x?时，f(x)的最小值为 224当x??1时，f(x)的最大值为f(?1)?3
∵
2、已知二次函数f(x)?ax2?(2a?1)x?1在区间[?,2]上的最大值为3，求实数a的值． 分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a?0与a?0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪．若注意到f(x)的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明． 解：（1）令f(?322a?11)?3，得a?? 2a2，且?2?[?此时抛物线开口向下，对称轴为故a??3,2] 21不合题意； 211，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故a?222，经检验，符合题意． 3（2）令f2得a?()3?，符合题意；
（3）若f(?)?3，得a??综上，a?2312或a?? 23评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，
再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法．
23、已知函数y??t?at?a1?，t???1,1?的最大值为2，求a的值． 425
12a(a?a?2)，对称轴为t?， 42a12（1）当?1??1，即?2?a?2时，ymax?(a?a?2)?2，得a??2或a?3（舍去）．
24aa212（2）当?1，即a?2时，函数y??(t?)?(a?a?2)在[?1,1]单调递增，
2421110由ymax??1?a?a??2，得a?．
423aa212（3）当??1，即a??2时，函数y??(t?)?(a?a?2)在[?1,1]单调递减，由
22411ymax??1?a?a??2，得a??2（舍去）．
4210综上可得：a的值为a??2或a?．
32解析：y??(t?)?a2
6
