课题：直线系与对称问题
（一） 主要知识及方法：
1.点P?a,b?关于x轴的对称点的坐标为?a,?b?；关于y轴的对称点的坐标为??a,b?；
关于y?x的对称点的坐标为?b,a?；关于y??x的对称点的坐标为??b,?a?.
2.点P?a,b?关于直线ax?by?c?0的对称点的坐标的求法：
?1?设所求的对称点P的坐标为?x0,y0?，则PP的中点?''?a?x0b?y0?,?一定在直线22??ax?by?c?0上.
?2?直线PP'与直线ax?by?c?0的斜率互为负倒数，即
y0?b?a???????1 x0?a?b?结论：点P?x0,y0?关于直线l：Ax?By?C?0对称点为?x0?2AD,y0?2BD?，
Ax0?By0?C；曲线C：f(x,y)?0关于直线l：Ax?By?C?0的对称曲22A?B22线方程为f?x?2AD,y?2BD??0特别地，当A?B，即l的斜率为?1时，点
其中D??By?CAx0?C?即P?x0,y0?,?P?x0,y0?关于直线l：Ax?By?C?0对称点为??0?，
AB??0对称的点为：?y?c关于直线x?y?c?,?x??c?，曲线f(x,y)?0关于x?y?c?0的对称曲线为f?y?c,?x?c???0
3.直线a1x?b1y?c1?0关于直线ax?by?c?0的对称直线方程的求法：
①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称
轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…
4.点?x,y?关于定点?a,b?的对称点为?2a?x,2b?y?，曲线C：f?x,y??0关于定
点?a,b?的对称曲线方程为f?2a?x,2b?y??0.
5.直线系方程：
?1?直线y?kx?b（k为常数，b参数；k为参数，b位常数）.
?2?过定点M?x0,y0?的直线系方程为y?y0?k?x?x0?及x?x0
?3?与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程为Ax?By?C1?0（C?C1） ?4?与直线Ax?By?C?0垂直的直线系方程为Bx?Ay?m?0
?5?过直线l1：a1x?b1y?c1?0和l2：a2x?b2y?c2?0的交点的直线系的方程为：
?ax?by?c????ax?by?c?111222?0（不含l2）
（二）典例分析：
问题1．一条光线经过点P?2,3?，射在直线l：x?y?1?0上，
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反射后穿过点Q?1,1?.?1?求入射光线的方程；?2?求这条光线从点P到点Q的长度.
问题2．求直线l1：y?2x?3关于直线l：y?x?1对称的直线l2的方程.
问题3．根据下列条件，求直线的直线方程
?1?求通过两条直线x?3y?10?0和3x?y?0的交点，且到原点距离为1； ?2?经过点A?3,2?，且与直线4x?y?2?0平行； ?3?经过点B?3,0?，且与直线2x?y?5?0垂直.
问题4．?1?已知方程x?kx?1有一正根而没有负根，求实数k的范围
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?2?若直线l1：y?kx?k?2与l2：y??2x?4的交点在第一象限，求k的取值范围.
?3? 已知定点P??2,?1?和直线l：?1?3??x??1?2??y??2?5???0???R?
求证：不论?取何值，点P到直线l的距离不大于13
（三）课后作业：
1.方程?1?4k?x??2?3k?y??2?14k??0表示的直线必经过点
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?3422?A.?2,2? B.??2,2? C.??6,2? D.?,?
?55?
2.直线2x?3y?6?0关于点?1,?1?对称的直线方程是
A.3x?2y?2?0B.2x?3y?7?0C.3x?2y?12?0D.2x?3y?8?0
3.曲线y2?4x关于直线x?y?2?0对称的曲线方程是
4.A???x.y?y?ax?，B???x,y?y?x?a?，AB仅有两个元素，则实数a的
范围是
5.求经过直线3x?2y?6?0和2x?5y?7?0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程
6.已知△ABC的顶点为A??1,?4?，?B,?C的平分线所在直线的方程分别是l1：
y?1?0与l2：x?y?1?0，求BC边所在直线的方程.
7.已知直线kx?y?1?3k?0，当k变化时所得的直线都经过的定点为
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8.求证：不论m取何实数，直线?m?1?x??2m?1?y?m?5总通过一定点
9.求点P?1,1?关于直线l：x?y?2?0的对称点Q的坐标
10.已知：P?a,b?与Q?b?1,a?1?，?a?b?1?是对称的两点，求对称轴的方程
11.光线沿直线l1：x?2y?5?0射入，遇到直线l2：3x?2y?7?0反射，求反射光
线所在的直线l3的方程
12.已知点A??3,5?，B?2,15?，3x?4y?4?0上找一点P，试在直线l：使PA?PB最小，并求出最小值.
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（四）走向高考：
13.若直线l：y?kx?3与直线2x?3y?6?0的交点位于第一象限，
则直线l的倾斜角的取值范围是 A.?,?B.?,?C.?,?D.?,?
?63??62??32??62?
14.直线y?2x关于x轴对称的直线方程为
????????????????A.y??
11x B.y?x C.y??2x D.y?2x 22
15.已知直线l：x?y?1?0，l1：2x?y?2?0.若直线l2与l1关于l对
称，则l2的方程为A.x?2y?1?0B.x?2y?1?0C.x?y?1?0D.x?2y?1?0
16.直线y?
1x关于直线x?1对称的直线方程是 217.圆x2?y2?2x?1?0关于直线2x?y?3?0对称的圆的方程是
22 A.(x?3)?(y?2)?1122 B.(x?3)?(y?2)? 2222 C.(x?3)?(y?2)?2 D.(x?3)?(y?2)?2
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（四）走向高考：
13.若直线l：y?kx?3与直线2x?3y?6?0的交点位于第一象限，
则直线l的倾斜角的取值范围是 A.?,?B.?,?C.?,?D.?,?
?63??62??32??62?
14.直线y?2x关于x轴对称的直线方程为
????????????????A.y??
11x B.y?x C.y??2x D.y?2x 22
15.已知直线l：x?y?1?0，l1：2x?y?2?0.若直线l2与l1关于l对
称，则l2的方程为A.x?2y?1?0B.x?2y?1?0C.x?y?1?0D.x?2y?1?0
16.直线y?
1x关于直线x?1对称的直线方程是 217.圆x2?y2?2x?1?0关于直线2x?y?3?0对称的圆的方程是
22 A.(x?3)?(y?2)?1122 B.(x?3)?(y?2)? 2222 C.(x?3)?(y?2)?2 D.(x?3)?(y?2)?2
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