学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.以下关于线性回归的判断，正确的为________.(填序号)
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线； ②已知线性回归方程为^y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69； ③线性回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.
【解析】 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义知，只有按最小平方法求得直线^y＝a＋bx才是线性回归方程，①不对，③正确.将x＝25代入^y＝0.50x－0.81，解得^y＝11.69，②正确.
【答案】 ②③
2.(2015·南通高一月考)甲、乙两同学各自独立地考察两个变量X、Y的线性相关关系时，发现两人对X的观察数据的平均值相等，都是s，对Y的观察数据的平均值也相等，都是t，各自求出的回归直线分别是l1，l2，则直线l1与l2必经过同一点________.
【解析】 由回归方程必过样本中心(－x，－y)知，直线l1，l2经过的同一点为(s，t).
【答案】 (s，t)
3.已知某工厂在2015年每月产品的总成本y(万元)与月产量x(万件)之间有线性相关关系，回归方程为^y＝1.215x＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元.
【解析】 由^y1＝1.215x1＋0.974， ^
y2＝1.215(x1＋4)＋0.974， 得^y2－^y1＝1.215×4＝4.86(万元).
1
【答案】 4.86
4.对某台机器购置后的运营年限x(x＝1,2,3，…)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算.
【解析】 只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算.
【答案】 8
5.(2015·扬州高一检测)已知x，y的取值如下表所示：
x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 从散点图分析，y与x线性相关，且^y＝0.95x＋a，则a＝________. 【解析】 由条件知－x＝2，－y＝4.4，所以4.4＝0.95×2＋a，解得a＝2.5. 【答案】 2.5
6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：103 kJ)几组对应的数据：
x y 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5 根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________.
【解析】 由－y＝0.7－x＋0.35，得 2.5＋t＋4＋4.53＋4＋5＋6
＝0.7×＋0.35，
4411＋t
故4＝3.5，即t＝3. 【答案】 3 7.根据如下样本数据
x y
3 4.0 4 2.5 5 －0.5 6 0.5 7 －2.0 8 －3.0 2
^
得到的回归方程为y＝bx＋a，则下列判断正确的是________. ①a>0，b>0；②a>0，b<0；③a<0，b>0；④a<0，b<0. 【解析】 作出散点图如下：
观察图象可知，回归直线^y＝bx＋a的斜率b<0， 当x＝0时，^y＝a>0.故a>0，b<0. 【答案】 ②
8.某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 【导学号：90200059】
【解析】 设父亲身高为x cm，儿子身高为y cm，则
x y x＝173，y＝176，b＝
173 170 170 176 176 182 ＝1，
0×?－6?＋?－3?×0＋3×6
02＋9＋9
a＝y－b x＝176－1×173＝3， ∴^y＝x＋3，当x＝182时，^y＝185. 【答案】 185 二、解答题
9.从某居民区随机抽取10个家庭，经统计第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，得到?xi＝80，?yi＝20，?xiyi＝184，
i＝1
i＝1
i＝1
10
10
10
3
i＝1
?x2i＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程^y＝bx＋a； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 1n80－
【解】 (1)由题意知n＝10，x＝n?xi＝10＝8，
i＝1
10
1n20－
y＝n?yi＝10＝2，
i＝1
又?xi2－n－x2＝720－10×82＝80，
i＝1
n
x－y＝184－10×8×2＝24， ?xiyi－n－
i＝1
n
24
由此得b＝80＝0.3，
a＝－y－b－x＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为^y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关. (3)将x＝7代入线性回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
10.某种产品的广告支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系
x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 (1)假定y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (2)若实际销售额不少于60百万元，则广告支出应该不少于多少？
4
－1
【解】 (1)x＝5(2＋4＋5＋6＋8)＝5， 1－
y＝5(30＋40＋60＋50＋70)＝50，
?xi2＝22＋42＋52＋62＋82＝145.
i＝1
5
?xiyi＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1 380.
i＝1
5
x－y?xiyi－5－
i＝1
5
∴b＝
?
5
＝
xi2－5－x2
1 380－5×5×50145－5×5
2
＝6.5，
i＝1
a＝－y－b－x＝50－6.5×5＝17.5， ∴线性回归方程为^y＝6.5x＋17.5. (2)由线性回归方程得^y≥60， 85
即6.5x＋17.5≥60，∴x≥13≈6.54， ∴广告费用支出应不少于6.54百万元.
[能力提升]
1.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 销售额y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 根据上表可得回归方程^y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为________万元.
【解析】 由题意可知－x＝3.5，－y＝42， 则42＝9.4×3.5＋a，a＝9.1，
5
^
y＝9.4×6＋9.1＝65.5. 【答案】 65.5
2.期中考试后，某校高一(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为^y＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分. 【导学号：90200060】
【解析】 令两人的总成绩分别为x1，x2. 则对应的数学成绩估计为 ^
y1＝6＋0.4x1，^y2＝6＋0.4x2，
所以|^y1－^y2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20. 【答案】 20
3.已知x与y之间的几组数据如下表：
x y 1 0 2 2 3 1 4 3 5 3 6 4 ^^^假设根据上表数据所得线性回归方程为y＝bx＋a，若某同学根据上表中的前^________b′，a^两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则b________a′(填“>”、“<”或“＝”).
【解析】 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′^＝＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b－x·y?xiyi－6－
i＝1
66
＝713
58－6×2×6?7?2
91－6×?2???
－2
?x2i－6x
i＝1
5^－^－13571^ ＝7，a＝y－bx＝6－7×2＝－3，所以b ^>a′. a 【答案】 < > 4.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关 6 系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 温差x(℃) 发芽数y(颗) 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 10 23 11 25 13 30 12 26 8 16 该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归直线方程，再对被选取的2组数据进行检验. (1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的回归直线方程^y＝bx＋a； (2)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的回归直线方程是可靠的，试问(1)中所得的回归直线方程是否可靠？ 【解】 (1)由数据求得，－x＝12，－y＝27， 由公式求得， 5－－ b＝2，a＝y－bx＝－3. 5 所以y关于x的回归直线方程为^y＝2x－3. 5(2)当x＝10时，^y＝2×10－3＝22，|22－23|<2； 5当x＝8时，^y＝2×8－3＝17，|17－16|<2. 所以该研究所得到的回归直线方程是可靠的. 7
