课时提升作业(十三) 万有引力与航天
一、选择题(本题共5小题,每小题7分,共35分。多选题已在题号后标出)
1.(2013·福建高考)设太阳质量为M,某行星绕太阳公转周期为T,轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G,则描述该行星运动的上述物理量满足( ) A.GM=C.GM=
B.GM=
D.GM=
2.(2013·大纲版全国卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行,运行周期为127分钟。已知引力常量G=6.67×10N·m/kg,月球半径约为1.74×10km。利用以上数据估算月球的质量约为( ) A.8.1×10kg C.5.4×10kg
1910
-11
2
2
3
B.7.4×10kg D.7.4×10kg
22
13
3.(多选)(2013·浙江高考)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R。下列说法正确的是( )
A.地球对一颗卫星的引力大小为B.一颗卫星对地球的引力大小为C.两颗卫星之间的引力大小为
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
4.(多选)“嫦娥三号”探测器携带“玉兔号”月球车,在2013年12月2日凌晨1：30在西昌卫星发射中心发射,6日傍晚17：53,“嫦娥三号”成功实施近月制动顺利进入环月轨道,在“嫦娥三号”环月运动过程中,( ) A.半径越大,角速度越小 C.半径越大,动能越大
B.半径越小,周期越大 D.半径越小,重力势能越小
5.北斗卫星导航系统第三颗组网卫星(简称“三号卫星”)的工作轨道为地球同步轨道,设地球半径为R,“三号卫星”的离地高度为h,则关于地球赤道上静止的物体、地球近地环绕卫星和“三号卫星”的有关物理量,下列说法中正确的是
( )
A.赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为B.近地卫星与“三号卫星”的角速度之比为
==(
)
2
C.近地卫星与“三号卫星”的周期之比为=
)
2
D.赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为=(二、计算题(本题15分。需写出规范的解题步骤)
6.质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线,A和B分别在O的两侧。引力常数为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期。
(2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和
B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×10kg和7.35×10kg。求T2与T1两者平方的比值。(结果保留3位小数)
强化专练(建议：25分钟) 强化点1：天体质量和密度的估算
1.(2014·张掖模拟)为了探测X星球,某探测飞船先在以该星球中心为圆心、高度为h的圆轨道上运动,随后飞船多次变轨,最后围绕该星球做近表面圆周飞行,周期为T。引力常量G已知。则( ) A.变轨过程中必须向运动的反方向喷气
B.变轨后与变轨前相比,飞船的动能和机械能均增大 C.可以确定该星球的质量 D.可以确定该星球的密度
2.(2014·银川模拟)到目前为止,火星是除了地球以外人类了解最多的行星,已经有超过30枚探测器到达过火星,并发回了大量数据。如果已知万有引力常量为G,根据下列测量数据,能够得出火星密度的是( ) A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星,测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T B.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
C.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船,测出飞船运行的速度v D.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船,测出飞船运行的角速度ω
24
22
强化点2：天体和卫星的运动规律
3.(2014·北京师大附中模拟)人造卫星绕地球只受地球的引力,做匀速圆周运动,其轨道半径为r,线速度为v,周期为T。为使其周期变为8T,可采用的方法有
( )
A.保持轨道半径不变,使线速度减小为 B.逐渐减小卫星质量,使轨道半径逐渐增大为4r C.逐渐增大卫星质量,使轨道半径逐渐增大为8r D.保持线速度不变,将轨道半径增加到8r
4.(2014·柳州模拟)一组宇航员乘坐太空穿梭机S去修理位于离地球表面h=6.0×10m的圆形轨道上的太空望远镜H。机组人员使穿梭机S进入与H相同的轨道并关闭助推火箭,望远镜在穿梭机前方数千米处,如图所示。已知地球半径为R=6.4×10m,地球表面重力加速度为g=9.8m/s,第一宇宙速度为v=7.9km/s。(结果保留1位小数)
(1)穿梭机所在轨道上的向心加速度g′为多少? (2)计算穿梭机在轨道上的速率v′;
(3)穿梭机需先进入半径较小的轨道,才有较大的角速度追上望远镜。试判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率,并说明理由。
强化点3：航天器的变轨问题
5.(2014·长沙模拟)人造卫星绕地球做匀速圆周运动,其轨道半径为R,线速度为v,周期为T,要使卫星的周期变为2T,可以采取的办法是( ) A.R不变,使线速度变为 B.v不变,使轨道半径变为2R C.使卫星的高度增加R D.使轨道半径变为
R
6
2
5
6.(2013·上海高考)小行星绕恒星运动,恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后,小行星运动的( ) A.半径变大 B.速率变大 C.角速度变大
D.加速度变大
答案解析 素能全练 1.【解析】选A。设行星质量为m,据G
=m
r得GM=
,故选A。
=m(
22
2.【解析】选D。设探月卫星的质量为m,月球的质量为M,根据万有引力提供向心力G
-11
2
2
6
)(R+h),
2
将h=200000m,T=127×60s,G=6.67×10N·m/kg,R=1.74×10m,代入上式解得M=7.4×10kg,可知D选项正确。 【加固训练】
(多选)1798年,英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球半径R,地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期),一年的时间T2(地球公转的周期),地球中心到月球中心的距离L1,地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出( ) A.地球的质量m地=B.太阳的质量m太=C.月球的质量m月=
D.月球、地球及太阳的密度 【解析】选A、B。由G
=mg解得地球的质量m地=
,选项A正确;根据地球绕太阳运动的万有引力等于
向心力可得出太阳的质量m太=误。
,选项B正确;不能求出月球的质量和月球、太阳的密度,选项C、D错
3.【解题指南】解答本题可按以下思路进行： (1)万有引力公式中的距离是指两个质点间的距离; (2)力的合成满足平行四边形定则。
【解析】选B、C。地球对一颗卫星的引力,利用万有引力公式计算,两个质点间的距离为r,地球与一颗卫星间的引力大小为
,A项错误,B项正确;由几何知识可得,两颗卫星之间的距离为
r,两颗卫星之间
利用万有引力定律可得引力大小为,C项正确;三颗卫星对地球的引力大小相等,方向在同一平面内,相
邻两个力夹角为120°,所以三颗卫星对地球引力的合力等于零,D项错误。
2
2
4.【解析】选A、D。由万有引力提供向心力可知G=m=mrω=mr()=ma,整理可得线速度v=,
周期T=,角速度ω=,向心加速度a=,所以半径越大,角速度越小、线速度越小,动能越小,
故A项对C项错;半径越小,周期越小,B项错;半径变小,重力做正功,重力势能减小,D项对。 5.【解析】选C。“三号卫星”与地球自转同步,角速度相同,由v=ωr和a=ωr得
2
=,=,选项
A、D错误;对近地卫星G=m2R,对“三号卫星”G
=m2
=m3(R+h),两式比较可得
=m3
=,
选项B错误;同样对近地卫星GR,对“三号卫星”G(R+h),两式比较可得
=,选项C正确。
【总结提升】同步卫星、近地卫星和赤道上随地球自转物体的比较
(1)近地卫星是轨道半径等于地球半径的卫星,卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。同步卫星是在赤道平面内,定点在某一特定高度的卫星,其做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。在赤道上随地球自转做匀速圆周运动的物体是地球的一个部分,它不是地球的卫星,充当向心力的是物体所受万有引力与重力之差。
(2)近地卫星与同步卫星的共同点是卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供;同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度。当比较近地卫星和赤道上物体的运动规律时,往往借助同步卫星这条纽带会使问题迎刃而解。
6.【解析】(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动,其角速度一样,周期也一样,其所需向心力由两者间的万有引力提供,由牛顿第二定律得： 对于M：G对于m：G
=M=m
r1 r2
(2分) (2分) (2分)
其中：r1+r2=L
解得：T=2π (2分)
(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动,由(1)可知两球运行周期为
T1=2π (1分) =m
L
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动,由万有引力定律和牛顿第二定律得：G
(2分)
解得：T2= (2分)
故：==1.012 (2分)
答案：(1)2π (2)1.012
强化专练 1.【解析】选D。变轨过程中必须向运动的方向喷气以减速,选项A错误;变轨后与变轨前相比,飞船的机械能减小,选项B错误;根据围绕该星球做近表面圆周飞行,周期为T,引力常量G已知,由G=
可以确定该星球的密度ρ=
,选项D正确,C错误。
=m
和ρ
【加固训练】
为研究太阳系内行星的运动,需要知道太阳的质量,已知地球半径为R,地球质量为m,太阳与地球中心间距为r,地球表面的重力加速度为g,地球绕太阳公转的周期为T。则太阳的质量为( ) A.
B.
C.
D.
=
【解析】选D。地球表面质量为m′的物体受到的万有引力等于重力,即Gm′g,对地球绕太阳做匀速圆周运动有G2. 【解析】选D。根据G
=m
=m
,解得M=
,选项D正确。
r可以得出火星的质量,但火星的半径未知,无法求出密度,故A错误;
测出火星绕太阳的周期和轨道半径,根据万有引力提供向心力,可以求出太阳的质量,由于火星是环绕天体,
不能求出其质量,所以无法求出密度,故B错误;根据G=m,得M=,密度ρ==,由于火星
的半径未知,无法求出密度,故C错误;根据G密度,故D正确。
=mωR得,M=
2
,则密度ρ==,可以求出火星的
3.【解析】选B。由牛顿第二定律得G=m=m,解得v=,T=2π,从中可以看出线速度、
周期与半径具有一一对应关系,与卫星的质量无关,使轨道半径逐渐增大为4r,能使其周期变为8T,速率同时减小为,B正确,A、C、D错误。 4.【解题指南】解答本题应注意以下三点：
(1)穿梭机在轨道上做圆周运动时的万有引力等于该处的重力。
(2)第一宇宙速度即为近地卫星的绕行速度。
(3)穿梭机进入低轨道做近心运动,提供的向心力应大于需要的向心力。 【解析】(1)在地球表面处,由mg=G解得地球表面的重力加速度为g=
,
同理,穿梭机所在轨道上的向心加速度为g′=其中r=R+h
解以上各式得：g′=8.2m/s
(2)在地球表面处由牛顿第二定律得： G
=m
2
解得第一宇宙速度为v=
同理,穿梭机在轨道上的速率为v′=解得：v′=7.6km/s (3)应减速,由G故当v′减小时,m
2
=m知穿梭机要进入较低轨道,必须有万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力,
>m
。
减小,则G
答案：(1)8.2m/s (2)7.6 km/s (3)见解析
5.【解析】选D。由万有引力提供向心力知G=m=mR,可知v=,T=2π,由此可知R不变,v
不变;R变化,v变化。故选项A、B、C错误,D正确。 6.【解题指南】解答本题时应注意理解以下两点： (1)万有引力提供小行星做圆周运动的向心力; (2)万有引力等于小行星受的合外力。
【解析】选A。恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,二者之间的万有引力减小,小行星运动的半径增大,速率减小,角速度减小,加速度减小,选项A正确,B、C、D错误。
