西安高新一中2015届文科数学周练（9）
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
1.设a,b是平面α内两条不同的直线,l是平面α外的一条直线,则“l?a,l?b”是“l⊥α”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( )
A. B.
C.8
π D.
3.设a是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,则下列说法正确的是( )
A.过a一定存在平面β,使得β∥α B.过a一定存在平面β,使得β⊥α
C.在平面α内一定不存在直线b,使得a⊥b D.在平面α内一定不存在直线b,使得a∥b
4.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是( )
A.16π
B.14π
C.12π
D.8π
5.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
1
A.9
B.10
C.11
D.
23 26.如图所示,AC1是正方体的一条体对角线,点P,Q分别为其所在棱的中点,则PQ与AC1所成的角为( )
A. C.
7.某几何体的三视图如图所示(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为( )
B. D.
A.92+14π C.92+24π
B.82+14π
D.82+24π
8.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
2
A.π C.π
B.π D.π
9.已知圆锥的底面半径为R,高为3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是( )
A.22?R
2
B.?R
942
C.?R
832
D.?R
52210.在棱长为1的正方体AC1中,E为AB的中点,点P为侧面BB1C1C内一动点(含边界),若动点P始终满足PE⊥BD1,则动点P的轨迹的长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。
11.圆台上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是________. 12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
13.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为__________.
14.如图所示,正四棱锥P-ABCD的底面积为3,体积为,E为侧棱PC的中点,则PA与BE所成的角为__________.
3
15.如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论： ①直线BE与直线CF异面; ③直线EF∥平面PBC; 其中正确的有__________.
②直线BE与直线AF异面; ④平面BCE⊥平面PAD.
16.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为12cm,深2cm的空穴,则该球的半径是________cm,表面积是________cm.
西安高新一中2015届文科数学周练（9）
学号： 班级：高三 班 姓名： 成绩:
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。
11. 12. 13.
14. 15. 16.
4
三、解答题：本大题5小题，满分70分。
17.(13分)一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E-ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC.AE=2.
(1)求证：AC⊥BD. (2)求三棱锥E-BCD的体积.
18.(14分)如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,∠BAC=90°,AB?AC?AA1,且E是BC中点. (1)求证：A1B∥平面AEC1. (2)求证：B1C⊥平面AEC1.
19.(14分)如图,AB=AD,∠BAD=90°,M,N,G分别是BD,BC,AB的中点,将等边△BCD沿BD折
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叠到△BC′D的位置,使得AD⊥C′B. (1)求证：平面GNM∥平面ADC′. (2)求证：C′A⊥平面ABD.
20.(14分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (1)求证：平面PAC⊥平面PBC.
(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证：QG∥平面PBC.
21.(15分)已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=2,A为PB边上一点,且PA=1,
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将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图). (1)证明：平面PAD⊥平面PCD.
(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA∶VMACB=2∶1.
(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.
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参考答案：
题号 1 答案 C 11.
2 B 3 B 13.
4 A 5 C 6 D 7 A 8 B 9 B 10 B π 12. 14. 15.2个 16.10 400π
答案解析
1.【解析】选C.当a,b不相交时,则“l⊥α”不一定成立,当“l⊥α”时,一定有“l⊥a,l⊥b”,所以“l⊥a,l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件,选C.
2.【解析】选B.S圆=πr2=π?r=1,而截面圆圆心与球心的距离d=1,所以球的半径为R==
.
,故选B.
所以V=πR3=
3.【解析】选B.当a与α相交时,不存在过a的平面β,使得β∥α,故A错误;当a与α平行时,在平面α内存在直线b,使得a∥b,故D错误;平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影,则就必然垂直于直线a,故C错误.直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α.
【加固训练】设a,b是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列命题： ①若a⊥b,a∥α,则b∥β; ②若a∥α,α⊥β,则a⊥β; ③若a⊥β,α⊥β,则a∥α; ④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①当a⊥b,a∥α时b与β可能相交,所以①错误.②中a⊥β不一定成立.③中a?α或a∥α,所以错误.④正确,所以正确的有1个,所以选B.
4.【解析】选A.由三视图可知,该几何体是球挖去半球.其中两个半圆的面积为π×22=4π.个球的表面积为×4π×22=12π,所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π.
5.【解析】选C.由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的,所以V=4×3-1=11.
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6.【解析】选D.如图,在对角面ADC1B1中,取AB1的中点为T,TD∥PQ,从而TD与AC1所成的角为所求.由相似可得∠AMD=.
7.【解析】选A.由几何体的三视图知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为2,高为5的圆柱的一半.所以长方体的表面积为(去掉一个上底面)2(4×4+4×5)+4×5=92.半圆柱的两个底面积为π×22=4π,半圆柱的侧面积为π×2×5=10π,所以整个组合体的表面积为92+4π+10π=92+14π.
8.【解析】选B.设球半径是R,依题意知,该三棱柱是一个底面边长为2、侧棱长为1的正三棱柱,记上、下底面的中心分别是O1,O,易知球心是线段O1O的中点,于是R2=
=,因此所求球的表面积是4πR2=4π×=
,选B.
+
9.【思路点拨】画出组合体的轴截面,利用相似列出比例式,化简成关于x的二次函数. 【解析】选B.如图所示为组合体的轴截面,
由相似三角形的比例关系,得所以圆柱的全面积为S=2πx2 +2πx(3R-3x)=-4πx2+6πRx, 则当x=R时,S取最大值, Smax=πR2.
10.【解析】选B.如图,
=,PO1=3x,圆柱的高为3R-3x,
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根据题意,BD1要始终垂直于PE所在的一个平面,取BC,BB1的中点F,G,易证BD1⊥平面EFG,故点P的轨迹为线段FG,易求得这条线段的长度是. 11.【解析】上底半径r=1,下底半径R=2. 因为S侧=6π,设母线长为l,则π(1+2)·l=6π. 所以l=2,所以高h=所以V=π·答案：
π
,高为2的等腰三角
(1+1×2+2×2)=
π. =
.
12.【解析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥,底面是底边长为4形,棱锥的高为2,故体积为V=××4答案：
×2×2=
.
13.【思路点拨】把展开图复原为正方体求解. 【解析】如图所示,
∠EGF为AB和CD所成的角,F为正方体一棱的中点.设正方体棱长为1, 所以EF=GF=,EG=所以cos∠EGF=答案：
.
.
14.【解析】连接AC,BD交于点O,连接OE,易得OE∥PA,
10
