算二次原理及其应用 （宁波市镇海中学 周海军）
算两次是一种重要的数学方法，也称为富比尼（G．Fubini）原理，即对同一
数学对象，按两种不同方式所得的结果应是相等的，这叫算两次。
减法运算完后用加法运算检验其结果，除法运算完后用乘法运算检验其结果，都属于“算两次”；为了得到一个方程，我们必须把同一个量已两种不同的方法表示出来，这也属于“算两次”；立体几何中求距离常用的“体积法”，证明恒等式中的“两边夹”等 都属于“算两次”，不仅计算题、求解题需要这样做，在证明中，用两种方法计算同一个量，更是一种行之有效的基本方法。
算两次不仅体现了从两个方面去计算的解题方法，更重要的是蕴含着换一个角度看问题的转换思想。在解题是遇到障碍时，适当地转换观点，往往能起到意想不到的效果，比如数形结合，化归，等价变换，正难则反等在一定程度上体现了这种数学思想。
一、算两次在代数中的应用 【例1】设f 为[0,1] 上的函数，满足：（1）f(0)?0,f(1)?1 ；（2）对于a?(0,1)，当x,y?[0,1] 且x?y 时，有f(x?y1)?(1?a)f(x)?af(y) ，求f() 。 215解：令x?0,y?1 得f()?a ；
12112 ，得f()?a ； 24132令x?,y?1 ，得f()?2a?a ；
2413123令x?,y? ，得f()?3a?2a ；
442令x?0,y?23所以3a?2a?a
1(a?(0,1) ） 2x?yf(x)?f(y))?所以f( 22y令x?0 ，得f(y)?2f()
211?1f()?f(1)81所以f()?8f()?f(15 )?1515152211解得f()? 。
1515解得a?【例2】设a1,a2,…,an为1，2，?，n的一个排列，fk是集合aiai?ak,i?k元素的个数，而gk是集合aiai?ak,i?k元素的个数（k?1,2,…,n），证明
?????f??gkk?1k?1nnk
证明 考虑集合S?(ai,ak)ai?ak,i?k的元素个数S。一方面，固定k先对i求和，然后再对k求和，得S?nn???fk?1nk；另一方面，固定i先对k求和，然后再对i求和，又
得到S?
?g??gii?1k?1k，所以得
?f??gkk?1k?1nnk。
【例3】设R为实数集，确定所有满足下列条件的函数f:R?R,
f(x2?y2)?xf(x)?yf(y),?x,y?R。
解 令x?y?0，得f(0)?0；
令y?0，得f(x2)?xf(x) （1） 令x?0，得f??y2???yf(y)??f?y2? （2） 所以f(x)是奇函数，只需在(0,??)上讨论。
由（1），得f?x2?y2??f?x2???y2?。将x2、y2改写为x,y(x,y?0)，则
f(x?y)?f(x)?f(y)，即（将x改写为x?y，x?y改写为x）
f(x?y)?f(x)?f(y).
又，一方面f((x?1)2)?(x?1)f(x?1)?(x?1)(f(x)?f(1))， 另一方面
f((x?1)2)?f(x2?2x?1)?f(x2)?f(2x)?f(1)?xf(x)?2f(x)?f(1)。 比较上述两方面，得f(x)?xf(1)。 综上，f(x)的表达式为f(x)?kx,k?f(1)。
二、算两次在几何中的应用
【例4】.已知点 M 是 ?ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点
N, 且 AB 是 ?NBC 的外接圆的切线, 设
BC??, BNANBMDC试求
BM (用 ? 表示). MNBMNACD???1． MNACDB答案“
1.证明：在 ?BCN 中，由Menelaus定理得因为 BD?DC，所以
BMAC?． MNAN?ABN ∽ ?ACB，则
2由 ?ABN??ACB，知
ABACCB??． ANABBNABAC?CB?AC?BC?所以，， 即 ??????． ?ANAB?BN?AN?BN?BCBMBM?BC?????2． 因此， ． 又 ， 故 ???BNMNMN?BN?【例5】设?ABC的边AB的中点为N，?A??B，D是射线AC上一点，满足CD=BC，
P是射线DN上一点，且与点A在边BC的同侧，满足?PBC??A，PC与AB交于点E，BC与DP交于点T.求表达示
PENBCT22BCEA?的值． TCEBF
AD
解：如图，延长BP交直线AC于F，于是，
BC2 ?ACB∽?BCF，从而AC?CF?BC，故CF?
AC2ANBTCD???1. NBTCDABTDABNDAACBCBTAC?????1，故??1??2 则
TCCDANCDBCTCTCBCFPBNAD???1 同理，由直线DNP截?ABF，得
PBNADFFPBEAC???1，所以 由直线CEP截?ABF，得
PBEACF 注意到直线DTN截?ABC，应用梅涅劳斯定理得，
BC2?BCEAFPACANFDACFDACACBCAC2ACAC????????????22BEPBCFBNADCFADCFAC?BCBCACBCBCACBCEA??2 因此，
TCBE
三、算两次在数论中的应用
,kn为已知整数，对1，2，?，n的n!个排列
n【例6】设n为大于1的奇数，k1,k2,中的每一个排列a?(a1,a2,使得n!|S(b)?S(c)。
,an)，令S(a)??kiai，证明：存在两个排列b,c(b?c)，
i?1证明：假定任意两个排列b,c(b?c)，使得n!不是S(b)?S(c)的因子。 则对于n!个排列中的每一个排列a，S(a)分别同余于1，2，3，?，n!，
所以
?S(a)?1+2+3+??n!?an!(n!?1)n!n!?n!?? 222所以n!??S(a)
a另一方面，
?S(a)??(?ka)???(ka)??k(?a)
iiiiiiaai?1i?1ai?1annn又
?ai?(n?1)!?(1?2?a?n)?n?1n! 2nn?1所以?S(a)??n!(?ki)?0(modn!)
2ai?1从而矛盾。
所以原式结论成立。
四、算两次在组合中的应用 【例7】证明(Cn)?2(Cn)?3(Cn)?证明(Cn)?2(Cn)?3(Cn)?122232122232n2n?1?n(Cn)?nC2n?1．
n2n?1?n(Cn)?nC2n?1．
i2in?i分析：注意到(Cn)?CnCn，可设一个班有n个男生与n个女生，在这2n个学生中
选n个同学（至少有１名男生）组成一个代表团，并指定其中一名男生为团长，按选出的男
in?ii2,n)分类，这一类有iCnCn?i(Cn)种选法．原式右边的组合意义是
明显的，即直接在n个男生中选一名团长，有n种选法，再从剩下的2n?1人中选出n?1人
n?1为团员，共有nC2n?1种选法．
生人数i(i?1,2,3,
【例8】设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A1,A2,?,Am两两互不包含，试证：
m1|A|（1）?|A|?1;（2）?Cni?m2.
ii?1i?1Cnm|Ai|其中|Ai|表示Ai所含元素的个数，Cn表示n个不同元素取|Ai|个的组合数.
（1993年，全国高中数学联赛） 分析：若（1）式已证，由柯西不等式立即可得（2）式，因此，关键是证（1）式，又据组合公式知，（1）式等价于
?|A|!(n?|A|)!?n!. ① 所以我们用组合的方法来证明不等式①.
iii?1n
证明：（1）对于A的子集Ai?{x1,x2,?,x|Ai|},我们取补集Ai?{y1,y2,?,yn?|Ai|},并
取Ai的元素在前，Ai元素在后，作排列
x1,x2,?,x|Ai|，y1,y2,?,yn?|Ai|. ② 这样的排列共有|Ai|(n?|Ai|)!个.
显然,②中每一个排列,也是A中的一个排列,若j?i时，Aj对应的排列与Ai对庆的排
列互不相同，则A1,A2,?,Am所对应的排列总数便不会超过A中排列的总数n!,现假设Aj中对应的某一排列x1,x2,?,x|Aj|，y1,y2,?,yn?|Aj|. ③
??????j?i）与A（中对应的某一排列②相同（指出现的元素及元素位置都相同），则当|Aj|?|Ai|i时，Aj?Ai；当|Aj|?|Ai|时，Aj?Ai，这都与A1,A2,?,Am两两互不包含，矛盾. 得
由于A1,A2,?,Am对应的排列对②互不相同，而A中n个元素的全排列有n！个，故
?|Ai|!(n?|Ai|)!?n!. 即?i?1nni?11?1. |Ai|Cnm|Ai|n
（2）由上证及柯西不等式，有?Ci?1?(?Ci?1m|Ai|nm1)(?|A|)?(?1)2?m2.
ii?1Cni?1m评述：本题取自著名的Sperner定理：
