2018年高中毕业年级第三次质量预测
理科数学试题参考答案
一、选择题
1—5：CDAAB； 6—10：BDACB；11—12：CB
二、填空题
?1?5?，3?13．?3； 14．3； 15． 20 ； 16．?? 2??三、解答题
17. 解：（Ⅰ）因为?an?为等差数列，且a2?a8?22，
?a5?1(a2?a8)?11，………………………………2分 222
由a4,a7,a12成等比数列，得a7?a4?a12，即（11+2d）=（11-d）（11+7d）
?d?0,?d?2…………………………………………4分
?a1?11?4?2?3
故an?2n?1………………………………………………………6分 （Ⅱ）证明：?Sn?n(a1?an)?n(n?2) 2?11111……………………………8分??(?)Snn(n?2)2nn?21111
?Tn??????S1S2S3Sn1?1111111???(1?)?(?)?(?)???(?)?2?32435nn?2?1?111???1??(?)2?2n?1n?2??
31113??(?)?42n?1n?243故Tn?． ………………………………………………………12分
4
18. 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得
P(x?120)?P(120?x?130)?P(130?x?140)?P(140?x?150) …………1分
?0.030?10?0.025?10?0.015?10 ……………3分
?0.7（Ⅱ）当x??100,130?时，T?0.5x?0.3(130?x)?0.8x?39；………………4分
当x??130,150?时，T?0.5?130?65，…………………………………5分
?0.8x?39,100?x?130,所以T??…………………………………………6分
65,130?x?150.?（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：
当x??100,110?时，T?0.8?105?39?45，P(T?45)?0.010?10?0.1； 当x??110,120?时，T?0.8?115?39?53，P(T?53)?0.020?10?0.2； 当x??120,130?时，T?0.8?125?39?61，P(T?61)?0.030?10?0.3； 当x??130,150?时，T?65，P(T?65)?(0.025?0.015)?10?0.4.
所以T的分布列为
T P 45 0.1 53 0.2 61 0.3 65 0.4 ……………10分
所以，E(T)?45?0.1?53?0.2?61?0.3?65?0.4?59.4(万元）． ……………12分 19.解：（Ⅰ）证明：?PA?底面ABCD，AB?AD
?以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系
由题意得：B(1,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，E(1,1,1)，D(0,2,0)……………………2分
?BE?(0,1,1)，DC?(2,0,0)
Pz?BE?DC?0，即BE?DC……………4分
ADyECBx（Ⅱ）解：向量BC=(1,2,0)，CP?(?2,?2,2)，AC=(2,2,0)，AB=(1,0,0). 由点F在棱PC上，设CF??CP?(?2?,?2?,2?),(0???1)
?BF?BC?CF?(1?2?,2?2?,2?)
?BF?AC
?BF?AC?2(1?2?)?2(2?2?)?0，解得??113?BF?(?,,)
222设平面FAB的法向量为n1?(x,y,z)，则
3………………………6分 4?n1?AB?x?0? ?113?n1?BF??x?y?z?0222?不妨令z=1，可得n1?(0,?3,1)为平面FAB的一个法向量.
取平面ABP的法向量n2=(0,1,0)………………………………………………10分 则cosn1,n2?n1?n2n1?n2??310??310 10
易知，二面角F?AB?P是锐角，所以其余弦值为
310.………………12分 1020. 解：（Ⅰ）当l1与x轴重合时，k1＋k2＝k3＋k4＝0，即k3＝－k4， 2b243∴l2垂直于x轴，得|AB|＝2a＝23，|CD|＝＝，
a3
x2y2
得a＝3，b＝2，∴椭圆E的方程为＋＝1. ………………4分
32（Ⅱ）焦点F1，F2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)，
当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A(x1，y1)， B(x2，y2)， xy??3＋2＝1，222由?得(2＋3m21)x＋6m1x＋3m1－6＝0， ??y＝m1（x＋1），3m26m21－61∴x1＋x2＝－，xx＝， 12
2＋3m22＋3m211
x1＋1x2＋1?x1＋x2?y1y2k1＋k2＝＋＝m1?＝m1?2＋ ＋x1x2x2?x1x2??x1?
2
2
2m14m1＝m1?2－m2－2?＝－2， ………………………………………6分
??m1－214m2同理k3＋k4＝－2， ………………………………8分
m2－2－4m1－4m2
∵k1＋k2＝k3＋k4，∴2＝2，
m1－2m2－2
即(m1m2＋2)(m2－m1)＝0， 由题意知m1≠m2，∴m1m2＋2＝0
yyy22
设P(x，y)，则·＋2＝0，即＋x＝1(x≠±1)， ………………10分
2x＋1x－1由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(－1，0)或(1，0)也满足此方程，
y22
∴点P(x，y)在椭圆＋x＝1上，存在点M(0，－1)和点N(0，1)，使得|PM|＋|PN|为定
2值，定值为22. …………………………………………12分
2
3x2?2x,x?(0,??) 21. 解：（Ⅰ）?h(x)?lnx?21?3x2?2x?1(3x?1)(x?1)?h?(x)??3x?2???,x?(0,??)………1分
xxx(3x?1)(x?1)1?0，得:x?
x311当0?x?时，h?(x)?0，即h(x)在(0,)上单调递增
3311当x?时，h?(x)?0，即h(x)在(,??)上单调递减………………………3分
3315?h(x)极大值?h()??ln3?，h(x)极小值不存在……………………………4分
36（Ⅱ）?函数y?h?x?的两个零点为x1,x2?x1?x2?,不妨设0?x1?x2 令h?(x)??1212?h(x1)?lnx1?ax1?bx1?0，h(x2)?lnx2?ax2?bx2?0
22?h(x1)?h(x2)?lnx1?1212ax1?bx1?(lnx2?ax2?bx2) 22122a(x1?x2)?b(x1?x2)?0 2?lnx1?lnx2?即
122a(x1?x2)?b(x1?x2)?lnx1?lnx2………………………6分 2又?h?(x)?f?(x)?g?(x)?x?x21??ax?b?，x0?1 x2?h?(x0)?2?x?x2???a1?b?
x1?x2?2??2?x?x2?(x1?x2)h?(x0)?(x1?x2)??a1?b?2?x1?x2?
2(x1?x2)?1?22???a(x1?x2)?b(x1?x2)?x1?x2?2??2(x1?x2)??lnx1?lnx2?
x1?x22(x1?1)x2x?ln1………………………………………………………………8分
x1x2?1x2?令
x12(t?1)?lnt ?t(0?t?1)，r(t)?t?1x21?(t?1)2则r?(t)????0 22t?t?1??t?1?t4?r(t)在(0,1)上单调递减，故r(t)?r(1)?0…………………………………10分
x1?1)x2x??ln1?0，即?(x1?x2)h?(x0)?0
x1x2?1x22(又?x1?x2?0
?h?(x0)?0………………………………………………………………………12分
22. 解：（Ⅰ）直线l普通方程为sin?x?cos?y?cos??0，………………2分 曲线C的极坐标方程为?cos2??4sin?，则?2cos2??4?sin?，
2∵?cos??x,?sin??y，?x?4y即为曲线C的普通方程 …………4分
（Ⅱ）将?∴cos2?x?tcos?2(t为参数，0????)代入曲线C：x?4y
?y?1?tsin??t2?4sin?t?4?0………………………………………………………6分
AB?t1?t2??t1?t2?2?4?4sin???4t1t2???4??8…………8分 ?22cos??cos??2?cos????3?2，则??或 ………………………………………………10分
442b 223. 解：（Ⅰ）证明：??a????3x?a?b,x??a?b??f(x)???x?a?b,?a?x?……………………………………………………2分
2?b?3x?a?b,x??2?bb
－∞，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增 显然f(x)在?2???2?
b?b
所以f(x)的最小值为f?＝a＋＝1，即2a＋b＝2. …………………………5分 ?2?2a＋2b（Ⅱ）因为a＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立，
aba＋2b121122a2b11
＋?(2a＋b)＝?5＋＋?≥?5＋2 ＝＋＝?ba?2?abba2?ba?2?a＋2b29
当且仅当a＝b＝时，取得最小值
3ab2
99
所以t≤，即实数t的最大值为. ……………………………………………10分
22
2a2b?9
·＝………8分 ba?2
?cos????3?2，则??或 ………………………………………………10分
442b 223. 解：（Ⅰ）证明：??a????3x?a?b,x??a?b??f(x)???x?a?b,?a?x?……………………………………………………2分
2?b?3x?a?b,x??2?bb
－∞，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增 显然f(x)在?2???2?
b?b
所以f(x)的最小值为f?＝a＋＝1，即2a＋b＝2. …………………………5分 ?2?2a＋2b（Ⅱ）因为a＋2b≥tab恒成立，所以≥t恒成立，
aba＋2b121122a2b11
＋?(2a＋b)＝?5＋＋?≥?5＋2 ＝＋＝?ba?2?abba2?ba?2?a＋2b29
当且仅当a＝b＝时，取得最小值
3ab2
99
所以t≤，即实数t的最大值为. ……………………………………………10分
22
2a2b?9
·＝………8分 ba?2
