7．4 直线、平面平行的判定与性质
[知识梳理]
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
3．必记结论
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行． [诊断自测] 1．概念思辨
(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( ) (2)若直线 a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化
(1)(必修A2P61T1(2))如果直线a平行于平面α，直线b∥a，则b与α的位置关系是 ( )
A．b与α相交
B．b∥α或b?α
C．b?α 答案 B
D．b∥α
解析 两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与已知平面相交，所以由直线b∥a，可知若b与α相交，则a与α也相交，而由题目已知，直线a平行于平面α，所以b与α不可能相交，所以b∥α或b?α.故选B.
(2)(必修A2P58T3)已知m，n表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，下列命题中正确的个数是( )
①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，且m∥n，则α∥β；
②若m，n相交且都在α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β； ③若m∥α，m∥β，则α∥β； ④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β. A．1 C．3 答案 A
解析 ①仅满足m?α，n?β，m∥n，不能得出α∥β，此命题不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，此命题正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．故选A.
3．小题热身
(1)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 答案 D
解析 选项A，B，C显然错误．∵PA⊥平面ABC， ∴∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角． ∵ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB.∵tan∠PDA＝所成的角为45°.故选D.
(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
① a∥cb∥c}?a∥b；② a∥γb∥γ④ α∥γβ∥γ
B．2 D．4
PA2AB＝＝1，∴直线PD与平面ABCAD2AB}?a∥b；③ c∥αc∥β}?α∥β；
}?a}?α∥β；⑤ c∥αa∥c}?a∥α；⑥ a∥γα∥γ
∥α.
其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①④
解析 由三线平行公理，知①正确；两条直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面，故②错误；两个平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，故③错误；面面平行具有传递性，故④正确；一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，故⑤错误；一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故⑥错误．
题型1 平行关系命题的真假判定
典例 (2017·豫西五校联考)已知m，n，l1，l2表示不同直线，α，β表示不同平面，若m?α，n?α，l1?β，l2?β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2 排除法． 答案 D
解析 对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．故选D.
方法技巧
解决平行关系命题真假判断的一般思路
1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．
2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．
3．结合实物进行空间想象，比较判断． 冲关针对训练
(2017·山西长治二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m?α，n?β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β D．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β 答案 C
解析 对于A，墙角的三个墙面α，β，γ满足条伴，但γ与β相交，故A错误；
m?α，n?β，且m，n平行于α，β的交线时符合B中条件，但α与β相交，故B错
误；由m∥n，m⊥α可推出n⊥α，结合n⊥β可推出α∥β，故C正确；由D中的条件得α与β可能平行也可能相交，故D错误．所以选C.
题型2 直线与平面平行的判定与性质角度1 直线与平面平行的判定与性质
典例 (2017·保定期中)如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点．
(1)求证：PB∥平面EAC；
(2)若M是CD上异于C、D的点，连接PM交CE于G，连接BM交AC于H，求证：GH∥
PB.
利用中位线证线线平行从而证线面平行；利用线面平行证线线平行． 证明 (1)连接BD，交AC于O， 连接EO，则O是BD的中点， 又E是PD的中点， ∴PB∥EO，
∵PB?平面EAC，EO?平面EAC， ∴PB∥平面EAC.
(2)由(1)知PB∥平面EAC， 又平面PBM∩平面EAC＝GH，
∴根据线面平行的性质定理得GH∥PB. 角度2 直线与平面平行的探索性问题
典例 (2018·包河区校级月考)在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，
PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)证明：l∥CD；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． 探求点的位置时多为线段中点或等分点等特殊点．
证明 (1)∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴ AB∥平面PCD，又AB?平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l， ∴AB∥l，∵AB∥CD，∴l∥CD.
(2)当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下，如图取PE的中点M，连接FM，由于M为PE中点，F为PC中点，所以FM∥
CE.①
1
由M为PE中点，得EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，
2
连接BM，BD，设BD∩AC＝O，因为四边形ABCD是菱形，则O为BD的中点， 由于E是MD的中点，O是BD的中点， 所以BM∥OE.②
由①FM∥CE②BM∥OE知，平面BFM∥平面AEC， 又BF?平面BFM， 所以BF∥平面AEC. 方法技巧
线面平行问题的证明策略
1．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形等证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．
2．判断或证明线面平行的方法：①线面平行的定义(反证法)；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理．
3．线面平行的探究性问题
解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了使结论成立的充分条件，则存在；如果找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在，而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．
冲关针对训练
(2017·济南一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，
EF∥AC，EF＝3.求证：FC∥平面BDE.
证明 设AC∩BD＝O，连接EO.
∵底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OC＝3. ∵EF∥AC，EF＝OC＝3， ∴EFCO为平行四边形，
∴FC∥EO，
∵FC?平面BDE, EO?平面BDE， ∴FC∥平面BDE.
题型3 平面与平面平行的判定与性质
典例 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1
的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG.
利用中位线、平行四边形证线线平行，再证线面平行、面面平行． 证明 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1， 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC， ∵EF?平面BCHG, BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG， 又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綊AB， ∴A1G綊EB.
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E， ∴平面EFA1∥平面BCHG.
[条件探究1] 在典例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.
∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1. 又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1.
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
[条件探究2] 在典例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求的值．
解 连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O. 所以BC1∥D1O，则
ADDCA1D1A1O＝＝1. D1C1OBA1D1DCDCAD＝，∴＝1，即＝1. D1C1ADADDC同理可证AD1∥DC1，则方法技巧
1．判定面面平行的方法
(1)利用面面平行的判定定理，转化为证明线面平行． (2)证明两平面垂直于同一条直线． (3)证明两平面与第三个平面平行． 2．面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行． (2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线．
冲关针对训练
(2018·西安模拟)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； (2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积． 解 (1)证明：由题设知BB1綊DD1， ∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1. 又BD?平面CD1B1，B1D1?平面CD1B1， ∴BD∥平面CD1B1. ∵A1D1綊B1C1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C. 又A1B?平面CD1B1，D1C?平面CD1B1， ∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1. (2)∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高． 1
又∵AO＝AC＝1，AA1＝2，
2∴A1O＝AA1－OA＝1. 1
又∵S△ABD＝×2×2＝1，
2∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.
1.(2017·福建八校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1
与平面AA1B1B的位置关系是( )
A．相交 C．异面 答案 B
解析 如图，MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.故选B.
2．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案 ②③④
解析 对于①，由m⊥n，m⊥α可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，过直线n作平面与平面α交于直线c，由n∥α可知n∥c，∵m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.
3．(2017·河北唐山统考)在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
答案 8
解析 过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过E，F分别作EN∥PB，FM∥PB，分别交AB，BC于点N，M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(面EFMN为所求截面)，21
且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
33
4．(2018·石家庄质检)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，
B．平行 D．相交或平行
2
2
AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.
(1)求证：MN∥平面PAB；
(2)求点M到平面PAN的距离．
解 (1)证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH， 1
在△PBC中，NH∥BC，且NH＝BC＝1，
3
AM＝AD＝1.
又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM， ∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH， 又AH?平面PAB，MN?平面PAB， ∴MN∥平面PAB.
(2)连接AC，MC，PM，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h. 由题意可得CD＝22，AC＝23， 1
∴S△PAC＝PA·AC＝43，
2
12
S△AMC＝AM·CD＝2，
由VM－PAC＝VP－AMC， 11
得S△PAC·h＝S△AMC·PA， 33即43h＝2×4，∴h＝
6
， 36. 3
[重点保分 两级优选练]
A级
一、选择题
1．(2017·南开模拟)下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 答案 C
解析 若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错误；一个平面内不共线且在另一个平面同侧的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错误；若两个平面垂直同一个平面，两平面可以平行，也可以相交，故D错误；故选C.
12
∴点M到平面PAN的距离为
2．下列命题中，错误的是( )
A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B．平面α∥平面β，a?α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a C．α∥β，γ∥δ，α，β，γ，δ的交线为a，b，c，d，则a∥b∥c∥d D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件 答案 D
解析 D错误，当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，如图，α⊥β，直线AB与α，β都成45°角，但α∩β＝l.故选D.
3．(2017·福建联考)设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α； ②若m⊥l，m⊥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n； ④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m. 其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3 答案 B
解析 对①，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故①正确；对②，直线l可能在平面α内，故②错误；对③，三条交线除了平行，还可能相交于同一点，故③错误；对④，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确．综上①④正确．故选B.
4．(2017·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，则MN与平面BDH的关系是( )
A．MN∩平面BDH＝M C．MN∥平面BDH 答案 C
解析 连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN，如图所示． ∵M，N分别是BC，GH的中点， 1
∴OM∥CD，且OM＝CD，
2
B．MN?平面BDH D．MN⊥平面BDH B．2 D．4
NH∥CD，且NH＝CD，
∴ OM∥NH，OM＝NH，
12
则四边形MNHO是平行四边形， ∴MN∥OH，
又MN?平面BDH，OH?平面BDH， ∴MN∥平面BDH.故选C.
5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，
PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8 C．4∶9 D．4∶25 答案 D
解析 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝
A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.故选D.
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，若A1M＝AN2a＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) 3
A．相交 C．垂直 答案 B
解析 连接CD1，在CD1上取点P，使D1P＝∴MP∥平面BB1C1C，PN∥平面AA1D1D.
∴平面MNP∥平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.故选B.
7．(2018·宜昌一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形 C．四边形MNEF为平行四边形 D．A1B1∥NE 答案 B
解析 在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1.所以AM綊BN，所以MN綊AB，又
2a，∴MP∥BC，PN∥AD1. 3
B．平行 D．不能确定
MN?平面ABC，AB?平面ABC，所以MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，所以MN∥EF，所以EF∥AB，显然在△ABC中，EF∥MN，EF≠MN，所以四边形MNEF
为梯形．故选B.
8．(2017·安徽阜阳一中模拟)过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( )
A．4条 C．8条 答案 D
解析 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH，平面MNPQ均与平面BDD1B1平行，平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求．故选D.
9．(2018·河南三市联考)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设
B．6条 D．12条
BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是 ( )
答案 C
解析 过M作MQ∥DD1，交AD于Q，连接QN.∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1，又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x.
∵＝
MQDD12222222
＝2，∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN＝MQ＋QN，即y＝4x＋1，∴y－4x＝
AQAD1(x≥0，y≥1)，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分．故选C.
10．(2018·昆明模拟)在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝
SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，
如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )
A.45 2
B.453
2
C．45 答案 A 解析
D．453
取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC， 故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，
则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，1
从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．
2
又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，
?1??1?45
所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝?AC?·?SB?＝.故选
?2??2?2
A.
二、填空题
11．如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
答案 5
解析 ∵AB∥平面α，AB?平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是AC的中点，
1
∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.
2
12．如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．
答案 平面ABC、平面ABD
解析 连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，
EMEN1
F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由＝＝，得MN∥AB，因此，MN∥平
MANB2
面ABC且MN∥平面ABD.
13．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________cm.
答案
6
4
2
解析 如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，
1362
∴S△ACE＝×2×＝(cm)．
224
14．如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是
BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥
平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
答案 M位于线段FH上(答案不唯一)
解析 连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
B级
三、解答题
15．(2018·石家庄质检二)如图，在三棱柱ABC－DEF中，侧面ABED是边长为2的菱
形，且∠ABE＝
π21，BC＝.点F在平面ABED内的正投影为G，且点G在AE上，FG＝3，32
1
点M在线段CF上，且CM＝CF.
4
(1)证明：直线GM∥平面DEF； (2)求三棱锥M－DEF的体积．
解 (1)证明：∵点F在平面ABED内的正投影为G， ∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥GE. 又BC＝
213＝EF，FG＝3，∴GE＝. 22
π
∵四边形ABED是边长为2的菱形，且∠ABE＝，
3∴AE＝2， 1
∴AG＝.
2
如图，过点G作GH∥AD交DE于点H，连接FH. 则＝
GHGE313
，∴GH＝，由CM＝CF得MF＝＝GH.
ADAE242
易证GH∥AD∥MF，∴四边形GHFM为平行四边形，∴MG∥FH. 又GM?平面DEF，∴GM∥平面DEF.
(2)由(1)知GM∥平面DEF，连接GD，则有VM－DEF＝VG－DEF. 1133又VG－DEF＝VF－DEG＝FG·S△DEG＝FG·S△DAE＝，
33443
∴VM－DEF＝.
4
1
16．(2018·郑州质检二)如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB3的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC.
(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?
(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离． 1
解 (1)当AP＝AB时，有AD∥平面MPC.理由如下：
3连接BD交MC于点N，连接NP. 在梯形MBCD中，DC∥MB，∵△ADB中，
DNDC1＝＝， NBMB2
AP1
＝，∴AD∥PN. PB2
∵AD?平面MPC，PN?平面MPC，∴AD∥平面MPC. (2)∵平面AMD⊥平面MBCD， 平面AMD∩平面MBCD＝DM，
平面AMD中AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD. 1AM1111
∴VP－MBC＝×S△MBC×＝××2×1×＝. 32322615
在△MPC中，MP＝AB＝，MC＝2，
22又PC＝?1?2＋12＝5， ?2?2??
6?5?2?2?2
??－??＝4. ?2??2?
3VP－MBC3×＝
16
6. 3
1
∴S△MPC＝×2× 2
∴点B到平面MPC的距离为d＝
S△MPC64
＝17．(2018·简阳市模拟)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点
M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点．
(1)求证：MN∥PC；
(2)求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明 (1)由题意：P－ABCD是四棱锥，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是
PA，BD，PD的中点，连接AC，∴N是AC的中点．
∴MN是三角形ACP的中位线， ∴MN∥PC.
(2)由(1)可得MN∥PC. ∵M，Q分别是PA，PD的中点， ∴MQ是三角形ADP的中位线， ∴MQ∥AD. 又由AD∥BC， ∴MQ∥BC.
由MQ∥BC，MN∥PC，BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC＝C， 同理MQ?平面MNQ，MN?平面MNQ，MQ∩MN＝M. ∴平面MNQ∥平面PBC.
18．(2018·德州模拟)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD, CE⊥BD.
(1)求证：BE＝DE；
(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 证明 (1)如图，取BD中点为O，连接OC，OE， 则由BC＝CD，知CO⊥BD. 又CE⊥BD，EC∩CO＝C，
CO，EC?平面EOC，
所以BD⊥平面EOC. 所以BD⊥OE. 又因为O是BD中点， 所以BE＝DE.
(2)如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN， 因为M是AE的中点， 所以MN∥BE.
又MN?平面BEC，BE?平面BEC， 所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°， 又CB＝CD，∠BCD＝120°， 因此∠CBD＝30°. 所以DN∥BC.
又DN?平面BEC, BC?平面BEC， 所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N， 故平面DMN∥平面BEC， 又DM?平面DMN， 所以DM∥平面BEC.
