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昌平区2014年初三年级第二次统一练习
数 学 试 卷
2014．6
考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25个小题，满分120分，考试时间120分钟。 2．在答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，请将答题卡交回。 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．?5的相反数是
A．5 B．
11 C．? D．?5 552．植树造林可以净化空气、美化环境. 据统计一棵50年树龄的树，以累计计算，除去花、果实与木材价值，总计创值约196 000美元．将196 000用科学记数法表示应为
A．196?103 B．19.6?104 C．1.96?105 D．0.196?106
3．若右图是某几何体的三视图，则这个几何体是
A．三菱锥 B．圆柱 C．球 D．圆锥
4．六边形的内角和为
A．360? D．1080?
5．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转
动转盘，随机转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是
黄红蓝红俯视图 主视图 左视图 B．540? C．720?
红蓝1A．
61 B．
31 C．
2
2D．
36．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°， 那么∠2的度数为 A．35°
B．45° C．55° D．65°
2 1
1
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7．10名同学分成A、B两队进行篮球比赛，他们的身高（单位：cm）如下表所示：
A队 B队 队员1 177 170 队员2 176[来源:Zxxk.Com]队员3 175 173 队员4 172 174 队员5 175 183 175 设A、B两队队员身高的平均数分别为xA，xB，身高的方差分别为S2A，S2B，则下列关系中完全正确的是 A．xA?xB，S2A?SC．xA?xB，S2A?S2B B．xA?xB，S2A?S2B
2B
D．xA?xB，S2A?S2B
8．如图1，已知点E、F、G、H是矩形ABCD各边的中点，AB=6，AD=8. 动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程为x, 点M到矩形的某一个顶点的距离为y, 如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的这个顶点是
AEFDGy3O20x
图1 图2
A．点A B. 点B C. 点C D. 点D
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．函数y=x?1中，自变量x的取值范围是 ．
10．如图，⊙O的直径CD⊥弦AB，∠AOC=50°，则∠CDB的大小为 ．
11．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总
长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m，则y与x之间的函数表达式为 ．
2
2
BHC
ACBOD墙A菜园BCD北京初中数学周老师的博客：http://blog.sina.com.cn/beijingstudy
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A??3,0?，B?0,4?，对△AOB连续作旋转变化，依
17次得到三角形①、②、③、④、?，则第⑦个三角形的直角顶点的坐标是 ；第
个三角形的直角顶点的坐标是 ．
yB①4②9③12④161A-1Ox
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13.计算： 12?3sin60??(π-1)0?2?1．
?3x?4?x,14. 解不等式组：?
5x?5?4x?2.?
15. 如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，且BF=AC.
求证：DF=DC.
AFBEDC
222xx?y2(x?y)16．已知=3，求的值．?yxyxy?y2[来源:Zxxk.Com]
17．已知关于 x 的一元二次方程 x2?4x?m?1?0 有两个相等的实数根，求m的值及方程
的根．
3
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18．如图，已知□ABCD，E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF. （1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当AE垂直平分BC且四边形AECF为菱形时，直接写出AE∶AB的值.
AFEBCD
四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分） 19．如图，定义：若双曲线y?为双曲线y?k(k?0)与直线y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度xyAOBxk(k?0)的对径． x1(1)求双曲线y?的对径；
xk(2)若双曲线y?(k?0)的对径是102，求k的值．
x
20．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生读书情况，随机
调查了九年级50名学生读书的册数．统计数据如下表所示：
册数 人数 0 1 1 13 2 16 3 17 4 3 （1）这50个样本数据的众数是 ，中位数是 ；
（2）根据样本数据，估计该校九年级300名学生在本次活动中读书多于2册的人数； （3）学校广播站的小记者对被调查的50名学生中读书册数最少和最多的人进行随即采
访，请利用树状图或列表，求被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率．
4
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21．如图，已知BC为⊙O的直径， EC是⊙O的切线，C是切点，EP交⊙O于点A，D，
交CB延长线于点P. 连接CD，CA，AB. （1）求证：∠ECD=∠EAC；
（2）若PB=OB=2，CD=3，求PA的长.
EDCABPO
22．如右图，把边长为a=2的正方形剪成四个全等的直角三角形，在下面对应的正方形
网格（每个小正方形的边长均为1）中画出用这四个直角三角形按要求分别拼成的新的多边形（要求全部用上，互不重叠，互不留隙）.
（1）矩形（非正方形）；（2）菱形（非正方形）；（3）四边形（非平行四边形）.
(1)(2)(3)
五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题8分，共22分） 23．已知抛物线y?ax?(3a?1)x?2(a?1)(a?0).
（1）求证：无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点；
（2）若抛物线y?ax?(3a?1)x?2(a?1)与x轴交于A(m,0)、 B（n,0）两点，m、n、a均为整数，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点P(n－l，n＋l）、Q(0,a），求一次函数的表达式.
22 5
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24．【探究】如图1，在△ABC中， D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE，BF相交于点M，连接DE，DF. 则DE，DF的数量关系为 . 【拓展】如图2，在△ A B C中 ，C B = C A ，点 D是AB边的 中点 ，点M在 △ A B C的内部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE，DF. 求证：DE=DF； 【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.
ADMB图1EDCB图2EADMCBE图3CAFFMF
25．如图，已知点A（1，0），B（0，3），C（-3，0），动点P（x，y）在线段AB上，CP交
y轴于点D，设BD的长为t.
（1）求t关于动点P的横坐标x的函数表达式；
（2）若S△BCD：S△AOB=2：1，求点P的坐标，并判断线段CD与线段AB的数量及位置关系，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若M为x轴上的点，且∠BMD最大，请直接写出点M的坐标.
yB21C-2-1O-1A2x
[来源学科网Z|X|X|K]
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昌平区2013—2014学年初三第二次统一练习
数学试卷参考答案及评分标准 2014．6
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
题 号 答 案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 B 6 C 7 B 8 A 二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
题 号 9 10 11 12 答 案 x?1 25? 1y??x2?12x 2?112?(24,0),?67,? （各2分） ?55?三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13．解：原式=23?3?31?1? ?????????????????? 4分 22 =31?． ????????????????????? 5分 2214．解：??3x?4?x,①?5x?5?4x?2.②
由①得，x??2. ????????????????? 2分 由②得，x?3. ??????????????????? 4分 ∴原不等式组的解集为：?2?x?3. ???????????? 5分
15．证明：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E， ∴?BDF??ADC??BEC?90?. 在Rt?BEC和Rt?ADC中，∠C=∠C,
∴?B??A. ?????????????? 1分 在△BDF和△ADC中，
FBAE??BDF??ADC,? ??B??A, ?????????? 3分 ?BF?AC.?∴△BDF≌△ADC. ????????????? 4分 ∴DF=DC. ?????????????? 5分
7
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y?x?y?16．解：原式=(x?y)(x?y)? ????????????2分2xy2?x?y?[来源:学_科_网Z_X_X_K]
=x?y. ???????????????????3分 2x ∵
x?3， y ∴x?3y. ???????????????4分
3y?y2?. ???????????? 5分 ∴ 原式=
2?3y317.解：∵关于 x 的一元二次方程 x2?4x?m?1?0 有两个相等的实数根， ∴??16?4(m?1)?0. ??????????????1分 ∴m?5. ????????????????????2分 ∴方程可化为x2?4x?4?0. ???????????????3分 ∴(x?2)2?0.
∴x1?x2?2. ??????????????? 5分
注：正确求出一个根，扣1分.
B18. （1）证明：连接对角线AC交对角线BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD. ??????????? 2分 ∵点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF,
∴OB?BE?OD?DF.
即OE=OF. ??????????? 3分
∴四边形AECF是平行四边形. ?????? 4分 (2)
AFEOCD3. ?????????????? 5分 3四、解答题（共４道小题，每小题5分，共20分） 19. 解：(1) ∵y?1与 y＝x相交于A、B两点， x∴A(1,1),B(-1,-1). ??????????????? 2分 ∴AB=22. ???????????3分 (2) ∵双曲线y?k(k?0)的对径是102， x∴AB=102.则OA=52. ?????????4分 设A(m,m),OA?2m?52.
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∴m=5.
∴k=25. ???????????????5分
20.解：（1）众数为3，中位数为2. ????????????????2分
（2）在50名学生中，读书多于2本的学生有20名，
所以，300×
=120.????????????????3分
答：该校八年级300名学生在本次活动中读书多于2册的约有120名. （3）设读书最少的人为A，读书最多的人为B1，B2，B3. A B1 B2 B3 A B1 B2 B3 （B1，A） （A，B1） （A，B2） （B1，B2） （A，B3） （B1，B3） （B2，A） （B2，B1） （B2，B3） （B3，A） （B3，B1） （B3，B2） ?????????????????????????????4分 被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的情况如下： （B1，B2）、（B1，B3）、（B2，B1）、（B2，B3）、（B3，B1）、（B3，B2），共6种， 所以，被采访的两人恰好都是读书册数最多的学生的概率为
P=
=．???????5分
21. （1）证明：连接BD.
∵BC为⊙O的直径，
∴?CDB?90?.????????????????1分 ∵EC与⊙O相切, ∴?ECP?90?.
∵?ECD??DCB??ECB?90?,?DBC??DCB?90?, ∴?ECD??CBD. ????????????2分 ∵?EAC??CBD,
∴∠ECD=∠EAC. ???????????????3分
（2）作DF⊥BC于点F. 在Rt△CDB中，
BD?BC2?CD2?7,DF?在Rt△CDF中，
EDCABPOCDBD37?. BC4EDAP9CF?CD2?DF2?.
415∴PF?PC?CF?.
4 在Rt△DFP中，
COFBDP?DF2?PF2?32.
∵?PAB??PCD,?P??P,
∴?PAB∽?PCD. ∴
PAPB?. PCPD9
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∴ ∴
PA2?. 632PA?22. ?????????????????????????????5分
22．解：如图，（1） ?????????????????????? 1分
（2） ?????????????????????????????????? 3分
（3） ????????????????????????????????? 5分
(1)(2)(3)
五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题8，共22分） 23．解：（1）证明：∵△=??(3a?1)??4a?2(a?1)????????????? 1分 =a?2a?1 =(a?1)?0
∴无论a为任何非零实数，该抛物线与x轴都有交点.?????? 2分
（2） 解：∵抛物线y?ax?(3a?1)x?2(a?1)与x轴交于A(m,0)、 B（n,0）两点，
[来源:学科网]2222
∴a?1.
令y?ax?(3a?1)x?2(a?1)(a?0)中y=0, 有:ax?(3a?1)x?2(a?1)?0.
22 解得：x=2, x?1?1.??????????????? 3分 a ∵m、n、a均为整数，
∴a=-1,m=0,n=2或m=2,n=0. ??????????? 5分
∵一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象经过点P(n－l，n＋l）、Q(0,a），
10
北京初中数学周老师的博客：http://blog.sina.com.cn/beijingstudy ∴当a=-1,n=2时,有P(1,3)、Q(0,-1），
解得：y?4x?1. ???????????????? 6分
当a=-1,n=0时,有P(-1,1)、Q(0,-1），
解得：y??2x?1. ??????????????? 7分
24．【探究】DE=DF. ??????????????????????1分
【拓展】如图2，连接CD. ∵在△ A B C中 ，C B = C A ， ∴∠CAB=∠CBA. ∵∠MBC =∠MAC ,
∴∠MAB=∠MBA. ??????????? 2分 ∴AM=BM.
∵点 D是 边 AB的 中点 ，
∴点M在CD上. ??????????????? 3分 ∴CM平分∠FCE. ∴∠FCD=∠ECD.
∵ME⊥BC于E，MF⊥AC于F， ∴MF=ME. 又∵CM=CM, ∴△CMF≌△CME. ∴CF=CE. ∵CD=CD，
∴△CFD≌△CED.
∴DE=DF. ?????????????????? 4分 【推广】 DE=DF.
如图3，作AM的中点G,BM的中点H. ∵点 D是 边 AB的 中点 ，
DBHAGFME图3CDB图2EFMCA1 ∴DG//BM,DG?BM.
2 同理可得：DH//AM,DH?1AM. 211
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∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点， ∴在Rt△BEM中， HE?1BM?BH. 2∴DG=HE. ??????????????????? 5分 同理可得：DH?FG. ∵DG//BM,DH//GM,
∴四边形DHMG是平行四边形. ∴∠DGM=∠DHM.
∵∠MGF=2∠MAC, ∠MHE=2∠MBC, 又∵∠MBC =∠MAC , ∴∠MGF=∠MHE.
∴∠DGM+∠MGF =∠DHM+∠MHE.
∴∠DGF=∠DHE. ???????????????? 6分 ∴△DHE≌△FGD.
∴DE=DF. ????????????????? 7分
25．解：(1)如图，∵点A（1，0），B（0，3）， ∴直线AB的解析式为：y??3x?3.
By ∵OB=3,BD=t,
2 ∴OD=3-t.
设P(x,-3x+3), 作PE⊥AC于E,则OE=x,PE=-3x+3. ∵PE//y轴， ∴△COD∽△CEP.
C-2-1D1POEA-12xODOC ?PECE3?t3 ∴?.
?3x?3x?312x ∴t?(0?x?1). ???????????????? 3分
x?3 ∴
(2)如图，CD=AB，CD⊥AB.
∵S?AOByB213??1?3?, S△BCD：S△AOB=2：1， 22∴S?BCD?3.
C
12
-2-1DO-1PA2x北京初中数学周老师的博客：http://blog.sina.com.cn/beijingstudy
∴BD=2. ∴
12x3?2.解得：x?. x?35?36?∴P?,?. ??????????????????? 4分
?55? ∵OD=OA=1,OC=OB=3,∠COD=∠BOA=90°， ∴△COD≌△BOA.
∴CD=AB. ?????????????????? 5分 ∵△COD≌△BOA, ∴∠OCD=∠ABO. 又∵∠CDO=∠BDP, ∴∠BPD=∠COD=90°.
∴CD⊥AB. ??????????????????????? 6分 (3)M(3,0)，M(?3,0). ??????????????????? 8分
13
