黄冈中学2013届11月月考数学试题（理）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．sin(?1920)的值为（ ）
?
A．?3 2?B．?1 2??C．3 2??D．
1 2?
解析：sin(?1920)?sin(240?6?360)?sin(180?60)，即原式??sin60，故选A． 答案：A
2．命题“?x?R，x2?0”的否定是（ ）
A．?x?R，x2?0 C．?x?R，x2?0
B．?x?R，x2?0 D．?x?R，x2?0
解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D． 答案：D
3．已知集合P?{正奇数}和集合M?{x|x?a?b,a?P,b?P}，若M?P，则M中
的运算“?”是（ ） A．加法 B．除法
C．乘法 D．减法
*解析：由已知集合M是集合P的子集，设a?2m?1,b?2n?1(m,n?N)，∵a?b?(2m?1)(2n?1)?4mn?2(m?n)?1?2[2mn?(m?n)?1]?1?P，∴M?P，而其它运算均不使结果属于集合P，故选C．
答案：C
4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积
是（ ）
4 1 3 俯视图正 视 图 侧视图
A. 8?
B. 7?
C. 2?
2`D.
7? 4解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积V??[2?()]?1?答案：D
3227?，选D． 45．已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x?y?0和x?ay?0上，且AB线段的
1
中点为P(0,
A．8
10)，则线段AB的长为（ ） aB．9
C．10
D．11
解析：由已知两直线互相垂直得a?2，∴线段AB中点为P(0,5)，且AB为直角三角形AOB的斜边，由直角三角形的性质得|AB|?2|PO|?10，选C．
答案：C
6．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7?a11的最小值
为（ ）
A．16
B．8
2C．22 D．4
解析：由已知a4a14?(22)?8，再由等比数列的性质有a4a14?a7a11?8， 又a7?0，a11?0，2a7?a11?22a7a11?8，故选B．
，f(2)?2，则函数g(x)?f(x)?x?x2?bx?c,x?07．设函数f(x)??，若f(4)?(0f),x?01?
的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 解析：已知即?C．2 D．3
?16?4b?c?c?b??42，∴?，若x?0，则x?4x?6?x，∴x?2，
?4?2b?c?2?c?6
或x?3；若x?0，则x?1舍去，故选C．
答案：C
8．给出下列的四个式子：①
1?a1?abb，②，③，④；已知其中至少有两个式bb1?a1?aB．a?sin2?,b?cos2? D．a?cos子的值与tan?的值相等，则（ ）
A．a?cos2?,b?sin2? C．a?sin?2,b?cos?2
?2,b?sin?2
解析：?tan??sin?sin2?1?cos2???,?a?cos2?,b?sin2?时，式子①③cos?1?cos2?sin2?
与tan?的值相等，故选A．
答案：A
9．设集合A???x,y?||x|?|y|?1?,B???x,y?(y?x)(y?x)?0?，M?A?B，若动
22点P(x,y)?M，则x?(y?1)的取值范围是（ ）
A．[,]
1522B．[25,] 222
C．[,1210] 2D．[210,] 22
解析：在同一直角坐标系中画出集合A、B所在区域，取交集后如图，故M所表示的图象如图中阴影部分所示，而
d?x2?(y?1)2表示的是M中的点到(0,1)的距离，从而易知
所求范围是[,]，选A．
1522
10．已知O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点P满足条件
????????????????????OB?OCABAC???(????????),??(0,??)，则动点P的轨迹一定通OP?2|AB|cosB|AC|cosC
过?ABC的（ ）
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
????????OB?OC?????OD，解析：设线段BC的中点为D，则
2????????????????????OB?OCABAC???(????????)∴OP?2|AB|cosB|AC|cosC????????????ABAC??OD??(????????)， |AB|cosB|AC|cosC
????????????????????ABAC??????)?DP， ∴OP?OD??(???|AB|cosB|AC|cosC????????????????????????????????????ABACAB?BCAC?BC???????)?BC??(????????) ∴DP?BC??(???|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosC????????????????????????|AB||BC|cos(??B)|AC||BC|cosC??????????(?)??(?|BC|?|BC|)?0， |AB|cosB|AC|cosC
∴DP?BC，即点P一定在线段BC的垂直平分线上，
即动点P的轨迹一定通过?ABC的外心，选C． 答案：C
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案直接填在题中横线上． 11．
?120e2xdx?______________．
解析：答案：
?120112edx?e2x|0?(e?1)．
222x11(e?1) 2acbd?ad?bc，复数z满足
zi1i3
12．定义运算
?1?i，则复数z的模为_______________．
解析：由
zi1i?1?i得zi?i?1?i?z?1?2i ?2?i，?z?22?(?1)2?5．
i
答案：5 22213．已知方程x?y?kx?2y?k?0所表示的圆有最大的面积，则直线y?(k?1)x?2的倾斜角??_______________．
12k?4?4k2?1，当有最大半径时有最大面积，此时k?0，r?1，∴23?直线方程为y??x?2，设倾斜角为?，则由tan???1且??[0,?)得??．
43?答案：
4解析：r?2?m14．已知函数f(x)?x
是定义在区间[?3?m,m?m]上的奇函数，则f(m)?_______．
22解析：由已知必有m?m?3?m，即m?2m?3?0，∴m?3，或m??1； 当m?3时，函数即f(x)?x，而x?[?6,6]，∴f(x)在x?0处无意义，故舍去； 当m??1时，函数即f(x)?x，此时x?[?2,2]，∴f(m)?f(?1)?(?1)??1． 答案：?1
332?1ex?e?xex?e?x15．在工程技术中，常用到双曲正弦函数shx?和双曲余弦函数chx?，
22双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，
请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ．
ex?e?xey?e?yex?e?xey?e?y???解析：由右边? 2222
?1x?y(e?ex?y?e?x?y?e?x?y?ex?y?ex?y?e?x?y?e?x?y)41ex?y?e?(x?y)x?y?(x?y)?(2e?2e)??ch(x?y)?左边，故知． 42
答案：填入ch?x?y??chxchy?shxshy，ch?x?y??chxchy?shxshy，
sh?x?y??shxchy?chxshy，sh?x?y??shxchy?chxshy四个之一即可．
三．解答题：本大题共6小题，共75分，请给出各题详细的解答过程．
16．（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和为Sn，且4Sn?an?1(n?N)．
*4
（1）求a1，a2；
（2）设bn?log3|an|，求数列?bn?的通项公式． 解答：（1）由已知4S1?a1?1，即4a1?a1?1，∴a1?又4S2?a2?1，即4(a1?a2)?a2?1，∴a2??（2）当n?1时，an?Sn?Sn?1?1，????????2分 31； ????????5分 911(an?1)?(an?1?1)， 44即3an??an?1，易证数列各项不为零（注：可不证）， 故有
an111??对n?2恒成立，∴?an?是首项为，公比为?的等比数列， an?1333
∴an?11n?1(?)?(?1)n?13?n， ????????10分 33?n∴bn?log3|an|?log33??n． ????????12分
17．（本小题满分12分）已知 p:f(x)?
1?x,且|f(a)|?2； 3q：集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R}，且A??．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围. 解答：若|f(a)|?|1?a|?2成立，则?6?1?a?6， 3即当?5?a?7时p是真命题； ????????4分 若A??，则方程x?(a?2)x?1?0有实数根， 由??(a?2)?4?0，解得a??4，或a?0，
即当a??4，或a?0时q是真命题； ????????8分 由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q一真一假，
故知所求a的取值范围是(??,?5]?(?4,0)?[7,??)． ????????12分
22 （注：结果中在端点处错一处扣1分，错两处扣2分，最多扣2分） 18．（本小题满分12分）已知?ABC的两边长分别为AB?25，AC?39，且O为?ABC外接圆的圆心．（注：39?3?13，65?5?13）
（1）若外接圆O的半径为
65，且角B为钝角，求BC边的长； 2????????（2）求AO?BC的值．
5
ABAC??2R， sinCsinB253935∴??65，∴sinB?，sinC?， ????????3分 sinCsinB513124且B为钝角，∴cosC?，cosB??，
1353125416∴sin(B?C)?sinBcosC?sinCcosB????(?)?，
51313565BC又?2R，∴BC?2RsinA?65sin(B?C)?16； ????????6分 sinA????????????????????2????2（2）由已知AO?OC?AC，∴(AO?OC)?AC，
解答：（1）由正弦定理有
????2????????????2????22即|AO|?2AO?OC?|OC|?|AC|?39 ????????8分
????????????????2????????????2????22同理AO?OB?AB，∴|AO|?2AO?OB?|OB|?|AB|?25， ????10分 ????????????????两式相减得2AO?OC?2AO?OB?(39?25)(39?25)?896，
????????????????即2AO?BC?896，∴AO?BC?448． ????????12分
19．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE
中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点． （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有
直线BF∥平面ACD，并证明这一事实； （2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大
小； （3）求点G到平面BCE的距离． 解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角
坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D(0,0,0)，A(2,0,0)，
E B A G D C z E E(0,0,2)，B(2,0,1)，C(1,3,0)，
（1）点F应是线段CE的中点，下面证明： 设F是线段CE的中点，则点F的坐标为
????1333F(,,1)，∴BF?(?,,0)， 2222B F x A G D
????显然BF与平面xOy平行，此即证得BF∥平面
ACD； ????????4分
C y
?（2）设平面BCE的法向量为n?(x,y,z)，
??????????则n?CB，且n?CE，
6
????????由CB?(1,?3,1)，CE?(?1,?3,2)，
???x?1?x?3y?z?0∴?，不妨设y?3，则?，即n?(1,3,2)，
?z?2???x?3y?2z?0?n?(0,0,1)2???∴所求角?满足cos??，∴??； ????????8分
24|n|
????（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴BG?(?1,0,?1)， ?由（2）平面BCE的法向量为n?(1,3,2)，
?????BG?n32． ????????12分 ∴所求距离d?|?|?4|n|解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
//1ED，∴FH?//AB， 连接FH，则FH????????2分 2∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF//AH， 由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，?BF//平面ACD； ?????4分 （2）由已知条件可知?ACD即为?BCE在平面ACD上的射影，
设所求的二面角的大小为?，则cos??S?ACD， ????????6分 S?BCEE
易求得BC=BE?∴S?BCE?5，CE?22，
1CE2|CE|?BE2?()?6， 22B
而S?ACD?3|AC|2?3， 4S?ACD2??，而0???， S?BCE22
A G C D
∴cos??∴??
?4； ??????8分
（3）连结BG、CG、EG，得三棱锥C—BGE， 由ED?平面ACD，∴平面ABED?平面ACD ， 又CG?AD，∴CG?平面ABED，
设G点到平面BCE的距离为h，则VC?BGE?VG?BCE即S?BGE?GC?131S?BCE?h， 37
由S?BGE?3，S?BCE?6，CG?3， 2
33S?BGE?GC23∴h???2即为点G到平面BCE的距离．??????12分
S?BCE46x2a220．（本小题满分13分）已知椭圆?y2b2?1(a?b?0)的一个顶点为B(0,4)，离心率
e?5，直线l交椭圆于M、N两点． 5（1）若直线l的方程为y?x?4，求弦MN的长；
（2）如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
c21c5解答：（1）由已知b?4，且?，即2?，
a55aa2?b21x2y22∴?，解得a?20，∴椭圆方程为??1； ????????3分 220165a由4x2?5y2?80与y?x?4联立， 消去y得9x?40x?0，∴x1?0，x2?∴所求弦长|MN|?1?1|x2?x1|?（2）椭圆右焦点F的坐标为(2,0)， 设线段MN的中点为Q(x0,y0)，
2240， 9402； ????????6分 9????????由三角形重心的性质知BF?2FQ，又B(0,4)，
∴(2.?4)?2(x0?2,y0)，故得x0?3,y0??2，
求得Q的坐标为(3,?2)； ????????9分 设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1?x2?6,y1?y2??4，
2222x1y1x2y2且??1,??1， ????????11分 201620168
以上两式相减得
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0，
2016∴kMN?y1?y24x?x466???12????，
x1?x25y1?y25?45故直线MN的方程为y?2?(x?3)，即6x?5y?28?0． ????????13分 （注：直线方程没用一般式给出但结果正确的扣1分） 21．（本小题满分14分）已知函数g(x)?651且??(0,?)，?lnx在?1,???上为增函数，
x?sin?f(x)?mx?m?1?2e?lnx，m?R． x（1）求?的值；
（2）当m?0时，求函数f(x)的单调区间和极值； （3）若在[1,e]上至少存在一个x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求m的取值范围． 解答：（1）由已知g(x)??即
/1sin??x2?1?0在[1,??)上恒成立， xsin??x?1?0，∵??(0,?)，∴sin??0，
sin??x2故sin??x?1?0在[1,??)上恒成立，只需sin??1?1?0， 即sin??1，∴只有sin??1，由??(0,?)知??（2）∵m?0，∴f(x)???2； ????????4分
?1?2e?lnx，x?(0,??)， x2e?112e?1?x/∴f(x)?， ??x2xx2令f(x)?0，则x?2e?1?(0,??)， ∴x，f(x)和f(x)的变化情况如下表： //x f/(x) (0,2e?1) + 2e?1 0 极大值(2e?1,??) ? f(x)
? f(2e?1)??1?ln(2e?1) ? 即函数的单调递增区间是(0,2e?1)，递减区间为(2e?1,??)，
有极大值f(2e?1)??1?ln(2e?1)； ????????9分
9
m?2e?2lnx， xm2e当m?0时，由x?[1,e]有mx??0，且?2lnx??0，
xx（3）令F(x)?f(x)?g(x)?mx?∴此时不存在x0?[1,e]使得f(x0)?g(x0)成立；
m?2e2mx2?2x?m?2e当m?0时，F(x)?m?， ??22xxx/
∵x?[1,e]，∴2e?2x?0，又mx?m?0，∴F(x)?0在[1,e]上恒成立， 故F(x)在[1,e]上单调递增，∴F(x)max?F(e)?me?令me?2/m?4， em4e， ?4?0，则m?2ee?14e故所求m的取值范围为(2,??)． ????????14分
e?110
