阜、丰、建高三期中考试(强化班)
一、填空题(每小题5分，共70分)
1. 已知集合A???1,1,3,5?,B??x|x2?4?0,x?R?，则A?B= ★ . 2. “对一切x?R，x?x?1?0恒成立”的否定是 ★ .
23. 已知抛物线y2?2px的准线与双曲线x2?y2?2左准线重合，则p的值为 ★ . ????????????4. 设向量a,b,c满足a?1,b?2,c?a?b且c?a，则向量a与b的夹角为 ★ .
a?a?a?a5. 已知等比数列?an?的公比q??1，则1357的值为 ★ .
a2?a4?a6?a836. 函数f(x)?(1?3tanx)cosx的最小正周期为 ★ .
7. 已知x?0,y?0，且x?y?xy，则u?x?4y的取值范围是 ★ .
8. 已知sin??????2,tan??7，则sin?????= ★ . 3tan?139. 函数f?x??lgx?x?2的零点个数为 ★ . ?y≥x?10. 设m?1在约束条件?y≤mx下，目标函数z?x?5y的最大值为4，则m值为 ★.
?x?y≤1?x2?1,设a,b?R，且fa?fb?1?0，则a?b= ★ . fx?11. 已知函数??????x2?1????????????????????????212. 已知OA?4,OB?2,?AOB??,OC?xOA?yOB?x,y?R?且x?2y?1，则OC 最
3小值是 ★ .
13. 已知数列?an?是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的是Sn，S11≥0，S12?0，
Sn的最大值是S，函数y=f(x)满足f(1+x)=f(5－x)对任意实数x都成立，且y=f(x) 的
所有零点和恰好为S，则y=f(x)的零点的个数为 ★ .
14. 已知函数f?x??x3?3x，若过点A?1,m??m??2?可作曲线y?f?x?的三条切线，则实数m的取值范围为 ★ .
二、解答题 (本大题共6小题，共90分) 15. (本小题满分14分)
已知?ABC的三个内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c，向量m??sinB,1?cosB?与向量n??2,0?的夹角?的余弦值为1.
2⑴求角B的大小； ⑵若b?3，求a?c的取值范围.
16. (本小题满分14分)
如图①，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，?B?90?，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1?EF?B，若M为线段AC中点．求证： 1（1）直线FM//平面A1EB； （2）平面A1FC?平面A1BC．
17. （本小题满分15分） x2y23已知椭圆2?2?1(a?b?0)的两准线间距离为6，离心率e?.过椭圆上任意一
ab3????????点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得PH??HQ(?>0)．F2为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为(x0,y0).
（1）求椭圆方程；
（2）当点P在椭圆上运动时，求?的值使得点Q的轨迹是一个定圆.
18. (本小题满分15分)
在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和四个侧面的长方体). 该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体(如图2). 请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由.
19. (本小题满分16分)
各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，Sn?
121an?an(n?N?)； 42?an,n为奇数?⑴求an；⑵令bn??b,n为偶数，cn?b2n?4(n?N?)；求?cn?的前n项和Tn。
n??2⑶令bn??qan??（?、q为常数，q?0且q?1），cn?3?n?(b1?b2???bn)，
是否存在实数对(?、q)，使得数列?cn?成等比数列？
若存在，求出实数对(?、q)及数列?cn?的通项公式，若不存在，请说明理由。
20. (本小题满分16分)
已知函数f(x)?alnx?x2（a为实常数）.
(1)若a??2，求证：函数f(x)在(1,??)上是增函数； (2)求函数f(x)在?1,e?上的最小值及相应的x值；
(3)若存在x??1,e?，使得f(x)?(a?2)x成立，求实数a的取值范围.
阜、丰、建高三期中考试(强化班)参考答案
1. ??1,1? 2. ?x?R,x2?x?1?0 7. [9,??) 13. 15个
8. ?1 9. 2
514. ??3,?2?
3. 2
4. 120?
5. ?3
6. 2?
10. 3
11. 1
12. 27
715. 解：⑴因为m?2sinBcosB,sinB,n?2?1,0?，m?n?4sinBcosB，
22222m?2sinB,n?2，所以cos??m?n?cosB. ……………………4分
22m?n由cosB?1,0????得B??，即B?2?. ……………………7分
22233⑵因为B?2?，所以A?C??.
33所以sinA?sinC?sinA?sin??A?sinA?sin?cosA?cos?sinA
333?????1sinA?3cosA?sin??A
223?? …………………10分
??又0?A??，所以????A?2?. 所以sinA?sinC??3,1? ………12分
3333?2?又a?c?b?sinA?sinC??2?sinA?sinC?，
sinB所以a?c?3,2? ……………………14分 ?.
?16. 证明：（1）取A1B中点N，连接NE,NM，
∥1∥1∥FE， BC,EFBC,所以MN则MN22所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，……4分 又因为FM?平面A1EB,EN?平面A1EB，
所以直线FM//平面A1EB． ……………………………………………7分 （2）因为E，F分别AB和AC的中点，所以A1F?FC，所以FM?AC1…9分 同理，EN?A1B,
由（1）知，FM∥EN，所以FM?A1B
又因为AC1?A1B?A1, 所以FM?平面A1BC, ……………………………12分
又因为FM?平面A1FC
所以平面A1FC?平面A1BC． ………………………………………14分 17. 解：（1）………………………………………………………6
错误！嵌入对象无效。
分
???????? (2)设Q的坐标为?x,y?，H?3,y0?，∴y?y0.∵PH??HQ???0? ∴3?x0???x?3?,∴x0?3??3??x
…………………………9分
x02y02?3??3??x??1，∴又∵?32323??3??x??y2y2??????1…………12分 ??1，即
3222?2当且仅当
3?2?2，即??6时， 2点Q在定圆x?3?62??2?y2?2上. ……………………………………………15分
……………………4分
18. 解：(1)设切去的小正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4?2x，高为x， 所以，V1??4?2x??x?4?x3?4x2?4x??0?x?2? ∴V1??4?3x2?8x?4?. 令V1??0，即4?3x2?8x?4??0， 解得x?2,x2?2(舍去)，
3∵V1在?0,2?内只有一个极值点，
……………………7分
∴当x?2时，V1取得最大值128,128?5，即不符合要求. ……………………9分
32727(2)重新设计方案如下：
如图3，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图4，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图5，将图4焊成长方体容器，新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V乙?3?2?1?6，显然V乙?5. 故第二种方案符合要求.
……………15分
12111a1?a1?a12?a1?0，∵a1?0，∴a1?2； 4242121121?an?an?an?1， 当n?2时，an?Sn?Sn?1?an?142421212(an?an)?(an?an?1)?0，即(an?an?1)(an?an?1?2)?0 ?142∵an?0，∴an?an?1?2，∴?an?为等差数列， （2分）
19. 解：（1）a1?S1?∴an?2n(n?N?)。 （4分） （2）c1?b6?b3?a3?6，
c2?b8?b4?b2?b1?a1?2， （6分）
n?3时，cn?b2n?4?b2n?1?2?b2n?2?1?a2n?2?1?2n?1?2， （8分）
此时，Tn?8?(22?2)?(23?2)??(2n?1?2)?2n?2n；
6,n?1??8,n?2∴Tn??。 （10分）
?2n?2n,n?3且n?N???q2(1?q2n)?q2?q2n?2（3）cn?3?n???n?3???(??1)n，
1?q21?q21?q2??q2????13??0????令?1?q23， （14分）
???1?0?q???2?∴存在(?,q)?(?1,?33)，cn?4?()n?1。 （16分）
4222(x2?1)?0， 20. 解：（1）当a??2时，f(x)?x?2lnx，当x?(1,??)，f?(x)?x故函数f(x)在(1,??)上是增函数．………………………………………………4分 2x2?a(x?0)，当x?[1,e]，2x2?a?[a?2,a?2e2]． （2）f?(x)?x若a??2，f?(x)在[1,e]上非负（仅当a??2，x=1时，f?(x)?0），故函数f(x)在[1,e]上是增函数，此时[f(x)]min?f(1)?1． ……………………………………6分
若?2e2?a??2，当x?是减函数； 当
?aaaln(?)?． 222?a时，f?(x)?0；当1?x?2?a时，f?(x)?0，此时f(x) 2?a?a?x?e时，f?(x)?0，此时f(x)是增函数．故[f(x)]min?f() 22若a??2e2，f?(x)在[1,e]上非正（仅当a??2e2，x=e时，f?(x)?0），故函数f(x)在[1,e]上是减函数，此时[f(x)]min?f(e)?a?e2．…………………………………8分
综上可知，当a??2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当?2e2?a??2时，f(x) 的最小值为ln(?)?，相应的x值为
a2a2a2?a；当a??2e2时，f(x)的最小值为a?e2， 2相应的x值为e．…………………………………………………………………10分 （3）不等式f(x)?(a?2)x， 可化为a(x?lnx)?x2?2x．
∵x?[1,e], ∴lnx?1?x且等号不能同时取，所以lnx?x，即x?lnx?0，
x2?2x因而a?（x?[1,e]）…………………………………………………………12分
x?lnxx2?2x(x?1)(x?2?2lnx)令g(x)?（x?[1,e]），又g?(x)?，………………14分
x?lnx(x?lnx)2当x?[1,e]时，x?1?0,lnx?1，x?2?2lnx?0，
从而g?(x)?0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数，
故g(x)的最小值为g(1)??1，所以a的取值范围是[?1,??)． ……………………16分
