概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一）
一．选择题
1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 （D）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A）A1?{抽到的三个产品全是合格品} A2?{抽到的三个产品全是废品}
（B）B1?{抽到的三个产品全是合格品} B2?{抽到的三个产品中至少有一个废品} （C）C1?{抽到的三个产品中合格品不少于2个} C2?{抽到的三个产品中废品不多于2个} （D）D1?{抽到的三个产品中有2个合格品} D2?{抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A?B不等价的是 [ C ] （A）A?AB （B）(A?B)?B （C）AB （D）AB 4．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则A?B表示 [ C] （A）二人都没射中 （B）二人都射中 （C）二人没有都射着 （D）至少一个射中
5．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A为. [ D] （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”； （C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销
6．设??{x|???x???},A?{x|0?x?2},B?{x|1?x?3}，则AB表示 [ A] （A）{x|0?x?1} （B）{x|0?x?1}
（C）{x|1?x?2} （D）{x|???x?0}?{x|1?x???}
7．在事件A，B，C中，A和B至少有一个发生而C不发生的事件可表示为 [ A] （A）AC?BC； （B）ABC； （C）ABC?ABC?ABC； （D）A?B?C.
8、设随机事件A,B满足P(AB)?0，则 [ D ] （A）A,B互为对立事件 (B) A,B互不相容
1
(C) AB一定为不可能事件 (D) AB不一定为不可能事件
二、填空题
1．若事件A，B满足AB??，则称A与B 互不相容或互斥 。 2．“A，B，C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为
三、简答题：
1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：
（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果； （2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果； （3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。
答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝
（2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝
(3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝
2．设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件。 （1）A、B、C中只有A发生； （2）A不发生，B与C发生； （3）A、B、C中恰有一个发生； （4）A、B、C中恰有二个发生； （5）A、B、C中没有一个发生； （6）A、B、C中所有三个都发生； （7）A、B、C中至少有一个发生； （8）A、B、C中不多于两个发生。 答：
(1)ABC(2)ABC(3)ABC?ABC?ABC(5)ABC(8)C?A?B?ABCABC?ABC?ABC?ABC或AB?AC?BC 。
(4)ABC?ABC?ABC(6)ABC(7)A?B?C
2
概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（二）
一、
136选择题：
1181121111．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 [ B ] （A）
（B）
（C）
（D）
2．袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是 [ B ] （A）
925310 （B） （C）
625 （D）
320
3． 已知事件A、B满足A?B，则P(B?A)? [ B] （A）P(B)?P(A) （B）P(B)?(A)?P(AB) （C）P(AB) （D）P(B)?P(AB)
4．A、B为两事件，若P(A?B)?0.8,P(A)?0.2,P(B)?0.4，则 [ B] （A）P(AB)?0.32 （B）P(AB)?0.2 （C）P(B?A)?0.4 （D）P(BA)?0.48
5．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D] （A）
4!?6!10! （B）
710 （C）
410 （D）
4!?7!10!
二、选择题：
1．设A和B是两事件，则P(A)?P(AB)? P(AB)
2．设A、B、C两两互不相容，P(A)?0.2,P(B)?0.3,P(C)?0.4，则P[(A?B)?C]?0.5
P[(A?B)?C]?P(A?B)?P((A?B)C）解答：?P(A?B)?P(?)＝P(A)+P(B)?0.5(因为A,B,C两两互不相容）
3．若P(A)?0.5,P(B)?0.4,P(A?B)?0.3，则P(A?B)? 0.8 。
P(A?B)?P(A)?P(AB)解：0.3?0.5?P(AB)?P(AB)?0.2P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.8
3
4．设两两独立的事件A，B，C满足条件ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?P(A?B?C)?91612，且已知
，则P(A)?1/4 。
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)解：9/16?3P(A)?3P2(A)P(A)?1/4(3/4舍）14(A,B,C两两独立，且ABC=?)
5．设P(A)?P(B)?P(C)?率为 1/2 。
，P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?18，则A、B、C全不发生的概
P(ABC)?1?P(A?B?C)解：
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?3/4?2/8?0?1/2(ABC?AB)
6．设A和B是两事件，B?A，P(A)?0.9,P(B)?0.36，则P(AB)?0.54 。 解：P(AB)?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.54(B?A)
三、计算题：
1．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1）取到的都是白子的概率；
（2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率； （3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。
(1)P1?C8/C12?14/5533解：（1）
(2)P2?C8C4/C12?28/55(3)P3?1?P1?41/55(4)P4?(C8?C4)/C12?3/11333213
2．加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解：A,B,C,D分别表示第一、二、三四道工序出现次品 P(A)?2%,P(B)?3%,P(C)?5%,P(D)?3%加工出的成品率P(ABCD)?P(A)P(B)P(C)P(D)?0.98*0.97*0.95*0.97?0.876次品率1－P(ABCD)＝0.1244
3．袋中人民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。
法一：大于12的有13,14,15,16P（大于12元）＝P(13)?P(14)?P(15)?P(16)522152125235解：?C22C33/C10?C2C3C5/C10?C2C3C5/C10?C2C5/C10?2/9
法二：P（大于12元）＝C2C8/C10?2/9235
概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（三）
一、
选择题：
1．设A、B为两个事件，P(A)?P(B)?0，且A?B，则下列必成立是 [ A ] （A）P(A|B)?1 （D）P(B|A)?1 （C）P(B|A)?1 （D）P(A|B)?0 2．设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”，B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)=[ D ]。 （A）
610 （B）
616 （C）
47 （D）
411
3．设A、B为两事件，且P(A),P(B)均大于0，则下列公式错误的是 [ B ] （A）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) （B）P(AB)?P(A)P(B) （C）P(AB)?P(A)P(B|A) （D）P(A)?1?P(A)
4．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 [ B ] （A）
5
25 （B）
15 （C）
12 （D）
35
解：A：至少有一件不合格品，B：两件均是合格品。B?A
P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A)?C42421416C?CC?4?3/26?24?1/5
5．设A、B为两个随机事件，且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A)，则必有 [ C ] （A）P(A|B)?P(A|B) （B）P(A|B)?P(A|B) （C）P(AB)?P(A)P(B) （D）P(AB)?P(A)P(B)
0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A)?P(AB)P(BA)(B)?P(AB)P(A)?P(A)?P1?P(A)解：?P(AB)(1?P(A))?P(A)(P(B)?P(AB))
?P(AB)?P(AB)P(A)?P(A)P(B)?P(A)P(AB)?P(AB)?P(A)P(B)二、填空题：
1．设A、B为两事件，P(A?B)?0.8,P(A)?0.6,P(B)?0.3，则P(B|A)??P(A?B)?0.8,P(A)?0.6,P(B)?0.3?0.8?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?0.3?P(AB) 解：P(AB)?0.1
?P(B|A)?P(AB)P(A)?0.10.6?1/62．设P(A)?0.6,P(A?B)?0.84,P(B|A)?0.4，则P(B)? 0.6
?P(A)?0.6,P(B|A)?0.4?P(AB)P(A)?P(AB)P(A)?P(A)?0.6?P(AB)0.6解：?0.6?P(AB)?0.24,?P(AB)?0.36
?P(A?B)?0.84?P(A)?P(B)?P(AB)?0.6?P(B)?0.36?P(B)?0.6 3．若P(A)?0.6,P(B)?0.8,P(B|A)?0.2，则P(A|B)? 0.9
6
1/6
P(A)?0.6,P(B)?0.8,P(B|A)?0.2?P(BA)P(A)?0.8?P(AB)1?P(A)?0.8?P(AB)0.4解：
?P(AB)?0.72P(A|B)?
P(AB)P(B)?0.720.8?0.9 4．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0.735
解：A：合格品；C：一等品. P(C|A)?0.75,P(C)?P(A)P(C|A)?0.98*0.75?0.735
5．已知A1,A2,A3为一完备事件组，且P(A1)?0.1,P(A2)?0.5,P(B|A1)?0.2P(B|A2)?0.6
P(B|A3)?0.1，则P(A1|B)? 1/18
P(A1|B)?P(A1B)P(B)?P(A1)(B|A1)P(A1)(B|A1)?P(A2)(B|A2)?P(A3)(B|A3)?1/18解：
?
0.1?0.20.1?0.2?0.5?0.6?0.1?0.4三、计算题：
1．某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？
解：A: 某种动物由出生活到10岁.B: 某种动物由出生活到12岁 B?A?P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A)?0.7
2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：
（1）任取一件产品是正品的概率；
（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。
解：A：某产品由甲两车间生产。B：任取一件产品是正品。
P(A)?0.6,P(A)?0.4,P(B|A)?0.9,P(B|A)?0.95已知：(1)P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.6?0.9?0.4?0.95?0.92
(2)P(A|B)?P(AB)P(B)?P(A)P(B|A)1?P(B)?0.4?(1?0.95)1?0.92?25%
7
3．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率； （2）B失灵的条件下，A有效的概率。
解: 设A为系统A有效, B为系统B有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B|A)?0.85
(1) 两个系统至少一个有效的事件为A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即A?B?AB, 而P(B|A)?1?P(B|A)?1?0.85?0.15, 则 P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.92)?0.15?0.08?0.15?0.012P(A?B)?1?P(AB)?1?0.012?0.988
(2) B失灵条件下A有效的概率为P(A|B), 则
P(AB)P(B)0.0121?0.93P(A|B)?1?P(A|B)?1??1??0.829
4．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为0.96,0.92和0.90。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？ 解：A：这瓶酒是一等品。
B1,B2,B3分别表示甲、乙、丙说是一等品。B1,B2,B3相互独立。
已知：
8
P(B1|A)?0.96,P(B2|A)?0.92,P(B3|A)?0.9,P(A)?P(B1B2B3)?P(B1B2B3|A)P(A)?P(B1B2B3|A)P(A)?P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)?P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)?0.96?0.08?0.1?P(A|B1B2B3)?512?0.04?0.92?0.9?(1?512)CC110124?5/12P(B1B2B3A)P(B1B2B3)?P(B1B2B3|A)P(A)P(B1B2B3)0.96?0.08?0.1?512512)?0.96?0.08?0.1??14.2Q29
?0.04?0.92?0.9?(1?概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（四）
一、选择题：
1．设A，B是两个相互独立的事件，P(A)?0,P(B)?0，则一定有P(A?B)? [ B ] （A）P(A)?P(B) （B）1?P(A)P(B) （C）1?P(A)P(B) （D）1?P(AB) 2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 [ B ] （A）0.75 （B）0.56 （C）0.50 （D）0.94 3．某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ] （A）0.82?0.23 （B）0.82 （C） 4．设A，B是两个相互独立的事件，已知P(A)?125625?0.8 （D）C50.8?0.2
22231223,P(B)?13，则P(A?B)? [ C ]
34 （A） （B） （C） （D）
5．若A，B之积为不可能事件，则称A 与B [ B ] （A）独立 （B）互不相容 （C）对立 （D）构成完备事件组 二、填空题：
1．设A与B是相互独立的两事件，且P(A)?0.7,P(B)?0.4，则P(AB)? 0.12 2．设事件A，B独立。且P(A)?0.4,P(B)?0.7，则A，B至少一个发生的概率为 0.82 3．设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为 C5(0.1)(0.9)?0.0081
232 4．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率
223为 C5(0.2)(0.8)?0.2048 ，5件中至多有2件次品的概率 05142)0(8.?)C5 C5(0.8)?C5(0.20(2.)0(?8.)090 8 . 4 2 。
23三、计算题：
1．设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。
解：所求的概率为
10
6 P??K?2P(k)?1?P(0)?P1( )666 ?1?(0.4)6?6?(0.6)(0.4)5?0.95904
2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。
解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则P(A)?0.2
12 所求的概率为 P?C30P(A)3P(A)0?C3P(A)P(A) ?(0.2)3?3?(0.2)2?0.8?0.104
3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。 解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” Dk =“k人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中” )?P(ABC)? P(D1P(AB?)C(PA B)C .3?.0?6.0?5.0?3.0?6.0?5. ?0.4?0.5?0P(D2)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC) ?0 7..3?.0?4.0?5.0?7.0?6.0?5. ?0.4?0.5?0?0 7.P(D3)?P(ABC)?0.4?0.5?0.7?0.14
D)P(H|1D?) P(H)?P(1P(D)P(H2|?D)23P(D)P( H|D)3.2?.04?1.0?6.0?14?1. 0 ?0.36?0
4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为p。 （1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）； （2）求缺陷在第n个过程结束之前被查出的概率；
（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。 （4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为0.1，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；
（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设p?0.5）。
11
解：设Ak =“第k个过程前有缺陷的元件被查出” B =“元件有缺陷” C =“元件通过检查” （1） P(A1?A1A2)?P(A1)?P(A1)P(A2)?p?p(1?p)?2p?p2 （2） P(A1?A1A2?A1A2A3???A1A2?An?1An) ?p?p(1?p)?p(1?p)2???p(1?p)n?1 ?1?(1?p)n （3）P(A1A2A3)?(1?p)3 （4）P(C)?P(BA1A2A3?B)?0.1?(1?p)3?0.9 P(BA1A2A3)P(C)3 （5）P(A1A2A3|C)? ?0.1(1?p)0.1(1?p)?3?0.013 7 （p?0.5）
0.95．设A，B为两个事件，P(A|B)?P(A|B),P(A)?0,P(B)?0，证明A与B独立。 证： 由于P(A|B)?P(AB)P(B) P(A|B)?P(AB)P(B)?P(A?)P(AB)1?P(B) 已知 P(A|B)? 有 P(AB)P(B)? )P(A|BP(A)?P(AB) 1?P(B)P(A)P( B) 即 P(AB)? 所以 A与B独立
概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（五）
一、选择题：
12
1．对于任意两个事件A和B [ B ] （A）若AB??，则A，B一定独立 （B）若AB??，则A，B有可能独立 （C）若AB??，则A，B一定独立 （D）若AB??，则A，B一定不独立 2．设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1，则 [ D ] （A）事件A和B互不相容 （B）事件A和B互相对立 （C）事件A和B互不独立 （D）事件A和B相互独立
3．设A，B为任意两个事件且A?B，P(B)?0，则下列选项必然成立的是 [ B ] （A）P(A)?P(A|B) （B）P(A)?P(A|B) （C）P(A)?P(A|B) （D）P(A)?P(A|B) 二、填空题：
1．已知A，B为两个事件满足P(AB)?P(AB)，且P(A)?p，则P(B)? 1?p 2．设两两独立的事件A，B，C满足条件ABC??，P(A)?P(B)?P(C)?P(A?B?C)?91612，且已知
，则P(A)? 0.25
3．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 2/3 三、计算题：
1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概
91率相等，求A发生的概率P(A) 解：已知 P(AB)?P(A)P(B)?19 又P(AB)?P(BA) P(B?)P(A B) 而 P(AB)?P(A)?P(AB) P(BA)? 所以，有P(A)?P(B) P(A)? 故 P(A)?
2313 2．如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善
13
可靠性。在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。
解：设一个电路闭合的可靠性为p，已知 C2p(1?p)?p?0.96，
所以 p?0.8
设n个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999
nnknkk12 则?Cp(1?p)?k?1?Ck?1kn(0.8)(0.2)kn?kn?1?(0.2)?0.9999
即 (0.2n)?0.00 n?0 1lg0.0001?5.722, 7
lg0.2所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。
3．将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为?，而输出为其他一字母的概率1??为。今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道，输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分
2别为p1,p2,p3(p1?p2?p3?1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的） 解：P(AAAA|ABCA) ?P(AAA)A(PABC|AP(AAA)A(PABC|AA?A)AA(AA)AAPB)BB(BPA|BC?A)BB(BB2 P)C(CCCCC|PAB)C ?2?1???p1?????2?2?1???p1??????p2???2?2?1???3????p???2?3?1???????2?3 ?
2p1?(3p1?1)??p2?p 3 4．一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为
?nn!e??(n?0,1,2,?)，假设产品的优质
14
率为p(0?p?1)。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：
（1）计算生产线在两次故障间共生产k件（k = 0，1，2，?）优质品的概率；
（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。 解：
An:生产n件产品不出故障；B:共生产k件优质品。????n1）P(B)??P(B|Ak??n)P(An)??CkknP(1?P)n?n?kn?kn!e? 2）P(AP(AmB)P(B|Am)P(Am)m|B)?P(B)?P(B)
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第二章 随机变量及其分布（一）
一．选择题：
1．设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是 [ ] Xx1x2x3x4Xx （A）
1x2x3x4p1214181 （B）
16p1
2141818Xx1x3x4Xxx （C）
2x2x3x4p121 （D）
131 4112p1
21314?112 2．设随机变量ξ的分布列为 X0123p0.10.30.40.2F(x)为其分布函数，则F(2)= [ ]
（A）0.2 （B）0.4 （C）0.8 （D）1
二、填空题：
1．设随机变量X 的概率分布为 X012pa0.20.5，则a =
15
（（
2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X的概率分布为 3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X的概率分布为 三、计算题：
1．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求： （1）X的概率分布； （2）P(X?3)； （3）P(X?12)
2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。
3．已知随机变量X只能取?1，0，1，2四个值，相应概率依次为数c，并计算P(X?1)
4．一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。
16
12c,34c8c16c,5,7，试确定常
5．设随机变量X~B(2,P),Y~B(3,P)，若P{X?1}?
59，求P{Y?1}
概率论与数理统计练习题
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第二章 随机变量及其分布（二）
一、选择题：
?2x 1．设连续性随机变量X的密度函数为f(x)???00?x?1其他，则下列等式成立的是 [ A ]
12121212 （A）P(X??1)?1 （Ｂ）P(X?解：（A）P(X??1)?12)?12 （Ｃ）P(X?)? （Ｄ）P(X?)?
???1f(x)dx??102xdx?1
x?[1,b]x?[1,b]?lnxf(x)? 2．设连续性随机变量X的密度函数为??0，则常数b? [ A ]
（A）e （B）e?1 （C）e?1 （D）e
217
1??????f(x)dx??b1lnxdx?xlnx|1??xdlnx1bbb解：?blnb??b1dx?blnb?x|1?blnb?b?1?1
lnb?1(b?0舍）b?e 3．设X~N(?,?2)，要使Y~N(0,1)，则 [ C ] （A）Y?X?? （B）Y??X?? （C）Y?X???? （D）Y??X??
4．设X~N(0,1)，?(x)?12??x??e?x22dt（x?0)，则下列等式不成立的是 [ C ]
（A） B） D）?(0)?0.5 （C）?(x)?1??(?x) （?(?x)??(x) （P(|x|?a)?2?(a)?1 5．X服从参数??119的指数分布，则P(3?X?9)? [ C ]
1913 （A）F(1)?F() （B）
393(e19?1?1e) （C）13e?1e （D）?e39?x9dx
P(3?X?9)?解：???e??xdx?9?93e?1x9dx?93 ?e?13e?1x9d(?19x)??e?1x9|3??e二、填空题：
?Ax2 1．设连续性随机变量X的密度函数为f(x)???01?0?x?1其他，则常数A = 3
解：????f(x)dx??10Axdx?2Ax33|0?1A3 ?A?3 2．设随机变量X~N(2,?)，已知P(2?X?4)?0.4，则P(X?0)? 0.1 三、计算题：
1．设X~U(1,4),求P(X?5)和P(0?X?2.5)
218
X~U(1,4),1?x?4?13f(x)???0,其它解：P(X?5)??5??f(x)dx??4131dx?x|12.513x|1?1 4P(0?X?2.5)??2.5131dx?13?0.5或用分布函数来求也可以?x? 2．设随机变量X的密度函数为f(x)??ax?b?0?0?x?11?x?2，且P(0?X?其他32)?78
求：（1）常数a,b （2）P(解
12?X?32) （3）X的分布函数F(x)
：
2.(1)由P(0?X?又1=?(2)P(????3210)?78??103xdx??21(ax?b)dx?78f(x)dx??xdx?32)??21(ax?b)dx.可得a??1，b?2.3212?X??112xdx??1(?x?2)dx?34?0 x?0 ??0.5x 0?x?1(3) F(x)??2??0.5x?2x?1 1?x?2 ?1 x?2?
3．设某种电子元件的使用寿命X（单位：h）服从参数??个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：
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1600的指数分布，现某种仪器使用三
（1）一个元件时间在200h以上的概率；
（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。
??2003.(1)P(X?200)??160013e?1600xdx?e?13(2)Y?\使用时间在200h以上的元件个数\P(Y?2)?C(e
23?13)(1?e2?)?C(e33?13)?3e3?23?2e?1
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号 第二章 随机变量及其分布（三）
1．已知X的概率分辨为
Xpi?22a?10.103a1a2a32a ，试求：
（1）常数a； （2）Y?X2?1的概率分布。
(1) 2a?0.1?3a?a?a?2a?1?a?0.1 (2) Y -1 0 3 8 p 0.3 0.2 0.3 0.22．设随机变量X在（0，1）服从均匀分布，求： （1）Y?e的概率密度； （2）Y??2lnX的概率密度。
X
20
1．如果??1与??2都是总体未知参数?的估计量，称??1比??2有效，则??1与??2的期望与方差一定满
^^2^^足E?1?E???,D?1?D?2
2．设样本x1?0.5,x2?0.5,x3?0.2来自总体X~f(x,?)??x??1，用最大似然法估计参数?时，似然函数为L(?)? ?(0.05)3??1.
n?13．假设总体X服从正态分布N(?,?),X1,X2?,Xn(n?1)为X的样本，?12(n?1)22?C?(Xi?1?Xi)i?12是?2的一个无偏估计，则C? 三、计算题：
. 1．设总体X具有分布律，其中?(0???1)为未知参数，
Xpi122?(1??)3(1??)2?2
已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，试求?的最大似然估计值。 解：该样本的似然函数为L(?)??4?2?(1??)?2?5?2?6. 令L'(?)?0得??
?1?2． 设x1,x2,?,xn是来自于总体X~f(x)????0?0?x??其它56.
(??0)的样本,
?) 试求（1） ?的无偏估计?1；（2）?的极大似然估计?2，并计算E(?2解：(1) 由于X服从均匀分布，E(X)???2X. 令???2EX?2??? , 因为E?2?2， E(X)??2
故?的无偏估计为2X.
(2) 由于无法从L?(?)?0得到最大似然估计??，因而直接考虑按最大似然法的思想来确定??
46
欲使L(?)最大，?应尽量小但又不能太小，它必须满足??xii?1,2,3,?n 即 ??maxx{1x,2x,3?,nx } 否则L(?)?0，而0不可能是L(?)的最大值。因此，当??max{x1,x2,x3,?xn}时，
L(?)可达最大。???max{x1,x2,x3,?xn}即为?的最大似然估计值，
???max{X1,X2,X3,?Xn}即为?的最大似然估计量
?(??1)x?3．设总体X的概率密度为f(x)??0?0?x?1其它，其中???1是未知参数，X1,X2,?,Xn为一个样本，试求参数?的矩估计量和最大似然估计量。
1??1?, 解：因为 EX??x?(??1)xdx?0??2 用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计，
即： X?EX???2X?1. , 得???21?X2X?11?X??1 故?的矩估计量为
n.
n 设似然函数L(?)??i?1(?)nl?n(?1?(?1x)i，即lnL???)??i?1ixl n 则
dlnL?(d?)?nn??1??i?1lnxi，令
dlnL(?)d??0，
47
得 ??L??1?nn
i?lnxi?1
概率论与数理统计练习题
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第七章 参数估计（二）
一、选择题：
x1,x2,?,xn为样本， 1．设总体X服从正态分布X~N(?,?)，其中?未知，?已知，x?22
1nix?ni?1,
则?的置信水平为0.95的置信区间是 [ D ] （A）(x?Z0.95?n,x?Z0.95?n) （B）(x?Z0.05?n,x?Z0.05?n)
（C）(x?Z0.975?n,x?Z0.975?n) （D）(x?Z0.025?n,x?Z0.025?n)
48
2．设总体X~N(?,?2)，对参数?或?2进行区间估计时，不能采用的样本函数有 [ D ]
X??X??S/nn （A）?/ （B）
n （C）?i?1?Xi?X??? （D）Xn?X1
???2二、填空题：
1．设总体X的方差为(0.3)2，根据来自X的容量为5的简单随机样本，测得样本均值为21.8，则X的数学期望的置信度为0.95的置信区间为
? (x?Z0.025,x?n三、计算题：
Z?0.025n=(21.54,22.06) ) 1．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布X~N(?,?2)，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差?2的0.90的置信区间。 解：?未知，求?置信水平为1??的置xm信区间为(2
(n?1)S22??/2(n?1)?1??/2(n?1)2,(n?1)S22).
2,? 这里n?10S75.?73?,?0.1,?0.052(9)?160..91?9,95 (9)3.325. 代入得?2的置信区间为(40.284,204. 9
2．设自总体X~N(?,25)得到容量为10的样本，算的样本均值X?19.8，自总体Y~N(?,36)得到容量为10的样本，算的样本均值Y?24.0，两样本的总体相互独立，求?1??2的90%的置信区间。
22解：?1,?2均已知，求?1??2置信水平为1??的置信区间为
(X?Y?Z?2?12n1??2n22,X?Y?Z?2?12n1??2n22)
22这里n1?n2?10，X?19.8，Y?24.0，?1?25,?2?36，??0.1,Z0.05?1.645.
代入得?1??2的置信区间为(?8.2628,?0.1372).
49
3．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布，现分别从两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测，算的修正方差分别是7.89和5.07，求产品质量指标方差比的95%的置信区间。 解：?1,?2未知，求
?122?2置信水平为1??的置信区间为
(S1S2122F?/2(n1?1,n2?1)S,S121F1??/2(n1?1,n2?1)22)
这里n1?25,n2?21，S12?7.89,S22?5.07，??0.05F(524,2?0),0.02F0.975(24,20)?1F0.025(20,24)?12.33.
2 .41, 代入得
?122?2的置信区间为(0.6457,3.6260).
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
一、选择题：
50
