2016年湖北省黄冈中学高一理科下学期数学期中考试试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知 ， 是第一象限角，则 的值为
A. A.
A.
A.
B. 或
C.
D. 或
5. 下列命题中，正确的是
A. 若 ， ，则 C. 若 ，则 A.
B.
B. B.
C. C.
D. D.
2. 在等差数列 中，已知 ，则使前 项和 最大的 值为
3. 在 中，内角 ， ， 所对的边为 ， ， ， ， ，其面积 ，则
B.
C.
D. 4. 在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ， ，则角 等于
B. 若 ，则
D. 若 ， ，则
6. 等比数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，则它的前 项和是
C.
，则
C.
D. D.
7. 已知等差数列 的前 项之和为
A.
B. 8. 在 中，内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，若 ，则 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
9. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取 ， 两点，从 ， 两点分别测得树尖的仰角为 ， ，且 ， 两点间的距离为 ，则树的高度为
A. B.
C. D.
10. 已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
A.
B.
第1页（共9 页）
C.
D.
11. ， ， 为互不相等的正数， ，则下列关系中可能成立的是
A.
12. 已知等差数列 满足
B.
C. D.
，公差 ，当且仅当 时，数列
的前 项和 取得最大值，则该数列首项 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角为 ． 14. 已知 ，则 ．
15. 已知不等式 的解集是 ，则 的值为 ．
16. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 ，两两夹角为
；二级分形图是在一级分形图的每一条线段的末端再生成两条长度均为原来 的线段；且
这两条线段与原线段两两夹角为 ； ；依此规律得到 级分形图，则
（Ⅰ）四级分形图中共有 条线段；
（Ⅱ） 级分形图中所有线段的长度之和为 ．
三、解答题（共6小题；共78分）
17. 已知等差数列 满足： ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）请问 是数列 中的项吗?若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由． 18. 已知向量 ， ，设函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 的单调区间．
19. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．递增的等比数列 满足：
， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）若 ， ，求数列 的前 项和 ．
20. 在 中，内角 ， ， 所对的边为 ， ， ，且满足 ．
（1）求角 的值；
（2）若 ，求 的取值范围．
第2页（共9 页）
21. 已知某中学食堂每天供应 名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有 A，B 两种菜
可供大家免费选择（每人都会选而且只能选一种菜）．调查资料表明，凡是在这星期一选 A 种菜的，下星期一会有 改选 B 种菜；而选 B 种菜的，下星期一会有 改选 A 种菜．用 ， 分别表示在第 个星期一选 A 的人数和选 B 的人数，如果 ． （1）请用 ， 表示 与 ；
（2）证明：数列 是常数列．
22. 设数列 的前 项和为 ，对一切 ，点 都在函数 的图象上．
（1）计算 ， ， ，并归纳出数列 的通项公式；
（2）将数列 依次按 项、 项、 项、 项循环地分为 ， ， ，
， ， ， ， ， ，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 ，求 的值；
（3）设 为数列
的前 项积，若不等式
对一切 都成
立，求 的取值范围．
第3页（共9 页）
答案
第一部分 1. C
【解析】因为 ， 是第一象限角，
所以 ， 所以 ． 2. B
【解析】因为 ，
所以 ， ， 所以 为 的最大值． 3. C
【解析】由题意得： ，即 ，
解得 ． 4. D
【解析】因为 ， ， ，
所以由正弦定理 得： 因为 为三角形的内角， ， 所以 ， 则 或 ． 5. C
，
【解析】A．举出反例：虽然 ， ，但是 ，故A不正确； B．举出反例：虽然 ，但是 ，故B不正确； C．因为
所以 ， 所以 ，故C正确；
D．举出反例：虽然 ， ，但是 ，故D不正确． 6. A 7. C
【解析】由等比数列的性质 \ ， ， ， 成等比数列 可得， ， ，【解析】因为等差数列 的前 项之和为
，
成等比数列，所以 ，所以 ．
，
所以
，解得 ．
又因为
，
所以 ．
8. A
【解析】因为 ，由余弦定理可得：
，
所以 ． 9. A
【解析】在 中， ， ， ，
第4页（共9 页）
由正弦定理得： ， 所以
，
所以树的高度为 答：树的高度为 ． 10. D
，
【解析】因为 ， 所以 所以
，
时也成立
11. B 【解析】若 ，则 ，不符合条件，排除 A，C； 又由 ，故 与 同号，排除 D；
且当 时， 有可能成立，例如取 ． 12. A 【解析】由等差数列 满足 可得：所以
，
，
，
由等差数列 的性质可得： ， 整理得： ，
所以 ，因为 ，所以 ， 则 ， ．
由题意当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，
所以 解得 ．
所以首项 的取值范围是 第二部分 13. 【解析】因为直线 的方程为 ， 所以直线的斜率是 ，
第5页（共9 页）
．
所以倾斜角是 ．
14.
【解析】因为 ，
所以 ． 15.
【解析】因为不等式 的解集是 ， 所以对应方程 的两个根是 和 ， 由根与系数的关系，得：
解得 ， ， 所以 ． 16. ，
【解析】（Ⅰ）当 时，共有 条线段； 当 时，共有 条线段；
当 时，共有 条线段； 当 时，共有 条线段． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得： 级分形图中所有线段的长度之和
第三部分
17. （1） 设等差数列 的公差为 ， 因为 ， ，
所以 ， ， 联立解得 ， ． 所以 ． （2） 令 ，解得 所以 不是数列 中的项．
18. （1） 因为向量 ， ， 所以函数
，
第6页（共9 页）
所以 最小正周期为 ；
（2） 由 ， 得：
， ，
从而可得函数 的单调递增区间是： 由
， ，
， 得：
， ，
从而可得函数 的单调递减区间是： 19. （1） 当 时，
， ．
又因为 时， 符合上式， 所以 ， 因为 ，
所以 ， 是方程 的两根， 又因为 ，
所以解得 ， ， 所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2） 因为 ， ，则 ， 所以 ， ， 将两式相减得
所以 ．
20. （1） 在 中，由已知得 ．
由正弦定理得 ，化简得 ． 因为 ，
所以 ，则 ．
第7页（共9 页）
由 得 ，则 ．
由 得， ．
（2） 由正弦定理得 由（ ）得， 所以
，得 ， ．
，则 ，
由
得， ，
所以 ． 所以 21. （1） 由题意知：
．
，
．
（2） 因为 ，且 ， 所以 ， 所以 ，
所以 ， 又因为 ，
所以数列 是常数列．
22. （1） 因为点 的图象上， 在函数 故 ，
所以 ， 令 ，得 ， 所以 ；
令 ，得 ，
所以 ；
令 ，得 ，
所以 ． 由此猜想： ．
（2） 因为 ，
所以数列 依次按 项、 项、 项、 项循环地分为 ， ， ， ； ， ， ， ； ， ，
第8页（共9 页）
每一次循环记为一组．由于每一个循环含有 个括号，故 是第 组中第 个括号内各数之和，由分组规律知，由各组第 个括号中所有第 个数组成的数列是等差数列，且公差为 ．同理，由各组第 个括号中所有第 个数、所有第 个数、所有第 个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为 ．
故各组第 个括号中各数之和构成等差数列，且公差为 ，注意到第一组中第 个括号内各数之和是 ，
所有 ． 又 ，
所以 ． （3） 因为
，故 ，
所以 ．
又
故
，
对一切 都成立，就是
对一切 都成立，
设 ，则只需 即可． 由于
．
所以 ，故 是单调递减，于是 令 ，即
，解得
，或 ．
综上所述，使得所给不等式对一切 都成立的实数 的取值范围是
．
第9页（共9 页）
