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黑龙江省2012届高三数学文科仿真模拟卷8
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z?2?i,则复数z在复平面内对应的点在（ ） 1?iA．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D第四象限 2. 设集合A??x?x?1? ?0?，B?xx?1?a，则“a?1”是“A?B??”的（ ）
?x?1???A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.下列函数中，在区间(1,??)上为增函数的是 （ ） A．y??2x?1 B．y?x C．y??(x?1)2 D．y?log1(x?1)1?x2
4. 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，
则此几何体的外接球的表面积为（ ） A．
164164? B．? C． ? D． ? 33995. 等差数列?an?的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2?（ ） A．?6 B.?8 C.8 D. 6
6. 已知圆C:x?y?bx?ay?3?0?a?0,b?0?上任意一点关于直线l:x?y?2?022的对称点都在圆C上，则 A．
14
?的最小值为（ ） ab
9 B． 9 C． 1 D． 2 47. ?,?是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面?,?平行的是 ( ) A.m,n是平面?内两条直线，且m//?,n//? B.?内不共线的三点到?的距离相等 C.?,?都垂直于平面?
D.m,n是两条异面直线，m??,n??，且m//?,n//?
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?ax2?1,x?08. 若函数f?x???，则不等式f?a??f?1?a?的解集为（ ） 3?x,x?0A．??2,???1??11??1??? B．?,2??,??,???????? ?2??22??2???C．??1,0???0,1? D．???,0???0,???
9.等差数列{an}中，a10?0，a11?0，且|a10|?|a11|，Sn为其前n项之和，则（ ） A．S1,S2,B．S1,S2,C．S1,S2,D．S1,S2,,S10都小于零，S11,S12,都大于零 都大于零 都大于零 都大于零
,S5都小于零，S6,S7,,S19都小于零，S20,S21,,S20都小于零，S21,S22,10. 右图是函数f?x??x2?ax?b的部分图象，则函数
g(x)?lnx?f?(x)的零点所在的区间是（ ）
A．(,) B．(1,2)
1 y 11421 C．(,1) D．(2,3)
2O 1 x x2y211.已知点P为双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右支上一点,F1、F2为双曲线的左、右
ab焦点，使OP?OF2?F2P?0(O为坐标原点),且PF1??? 3PF2,则双曲线离心率为（ ）
A.
6?13?1 B.6?1 C. D. 3?1 22?x?1?12.已知x,y满足?x?y?4,记目标函数z?2x?y的最大值为7，最
?ax?by?c?0?小值为1，则
a?b?c? ( ) aA． 2 B．1 C． －1 D． －2
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第Ⅱ卷
二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 要得到函数y?sin(2x?2?)的图象，只需 把函数y?sin2x的图象上所有的点向左3平移 个单位长度.
14. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的s? ．
15. 在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，3为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是________．
x2y216. 已知F1、F2是椭圆2?=1(5＜a＜10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，设2a(10?a)△F1BF2的面积为S?a?，则S?a?的最大值是
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知向量m??3sin2x?2,cosx，n??1,2cosx?，设函数f?x??m?n.
? （1）求f(x)的最小正周期与单调递增区间。
（2）在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f(A)?4,b?1,?ABC的面积为
3，求a的值。 218. （本小题满分12分）
某大学高等数学老师这学期分别用A,B两种不同的教学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图： 2 甲 6 6 3 2 1 8 3 2 2 1 9 8 7 7 6
9 9 8 8
9 8 7 6 5
0 1 5 6 8 乙
0 1 2 5 6 6 8 9 3 6 8 5 7 9 9
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高？ （Ⅱ）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2?2列联表，并判断“能否在
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犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”
优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考： 甲班 0.15 2.072 2乙班 合计 P(K2?k) k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 7.879 10.828 n(ad?bc)2 （参考公式：K?,其中n?a?b?c?d）
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
19. （本小题满分12分）
如图，已知棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD，?DAB?60，
?AD?AA1?1，F为棱AA1的中点， 1的中点，M为线段BD（Ⅰ）求证： MF//面ABCD；
A1 （Ⅱ）判断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你的结论；
D1 B1
M
C1
（Ⅲ）求三棱锥D1?BDF的体积.
20. （本小题满分12分）
F A D B C
如图，线段AB过y轴上一点N?0,m?，AB所在直线的斜率为k?k?0?，两端点A、
B到y轴的距离之差为4k.
(Ⅰ)求出以y轴为对称轴，过A、O、B三点的抛物线方程；
(Ⅱ)过抛物线的焦点F作动弦CD，过C、D两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出
FC?FDFM2的值.
21. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?a，其中a为实数． lnx (1)当a?2时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
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(2)是否存在实数a，使得对任意x?(0,1)?(1,??)，f(x)?请说明理由，若存在，求出a的值并加以证明．
x恒成立?若不存在，
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲：
如图，在Rt△ABC中，?C?90, BE平分∠ABC交AC于点E， 点D在AB上，DE?EB．
(Ⅰ)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
(Ⅱ)若AD?23，AE?6，求EC的长．
23.（本小题满分10分）
选修4-4：极坐标与参数方程： 已知椭圆C的极坐标方程为??2
12，点F1,F2为其左，右焦点，直线l的223cos??4sin??2x?2?t??2(为参数，t?R)．
参数方程为?t?y?2t?2? （Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程； （Ⅱ）求点F1,F2到直线l的距离之和.
24. （本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲：
若关于x的方程x?4x?a?3?0有实根 (Ⅰ)求实数a的取值集合A
(Ⅱ)若对于?a?A，不等式t?2at?12?0恒成立，求t的取值范围
参考答案
一、选择题：
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22
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1-5 AABCA 6-10 CBBCD 11-12 DB 二、填空题
13.14. 69 15. 6 3 三、解答题
17.解：（Ⅰ）?m?(3sin2x?2,cosx),n?(1,2cosx)，
?3? 16.
1003 9?f(x)?m?n?3sin2x?2?2cos2x?3sin2x?cos2x?3
?2sin(2x??T??6)?3 ----------------------------3分
2??? …………………………4分 2令2k???2?2x??6?2k???2 故k???3?x?k???6?k?Z?
?????f(x)的单调区间为?k??,k????k?Z? ----------------------6分
36??（Ⅱ）由f(A)?4得 f(A)?2sin(2A??6)?3?4
?sin(2A??2A??6)???13?1 又?A为?ABC的内角 ??2A?? 2666?6?5???A? --------------------------9分
6 3?S?ABC?313 ?c?2 ,b?1 ?bcsiAn?2221?3 ?a?3 -------12分 2?a2?b2?c2?2bccosA?4?1?2?2?1?
18解：
（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高----------------------------------------3分 （Ⅱ）记成绩为86分的同学为A,B，其他不低于80分的同学为C,D,E,F
“从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：
?A,B??A,C??A,D??A,E??A,F??B,C??B,D??B,E??B,F?一共15个，
C,DC,EC,FD,ED,FE,F????????????
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“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：
?A,B??A,C??A,D??A,E??A,F??B,C??B,D??B,E??B,F?共9个，---------------5
分 故
P?93?--------------------------------------------------------------------155----7分 （Ⅲ）
优秀 不优秀 合计 甲班 3 17 20 乙班 10 10 20 合计 13 27 40 --------------------------9分
40??3?10?10?17?2K??5.584?5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提
13?27?20?20下可以认为成绩优秀与教学方式有关。
------------------------------------------------------12分 19.解：
（Ⅰ）证明：连结AC、BD交于点O，再连结MO，
2?OM//A1A，且OM?11A1A， 又AF?A1A，故OM//AF且OM?AF， 22? 四边形MOAF是平行四边形，故MF//OA，?MF//平面ABCD-------4分
DA
M
F A D O B C B
C
（Ⅱ）AC?平面BDD1B1，下面加以证明：
在底面菱形ABCD中AC?BD， 又?B1B?平面ABCD，AC?面ABCD ?AC?B1B，?AC?平面BDD1B1，
?MF//AC，?MF?平面ADD1A1 ------------8分
E
（Ⅲ）过点B作BH?AD，垂足H，?A1A?平面ABCD，BH?平面ABCD ?BH?A1A，?BH?平面BDD1B1，
?在Rt?ABH中，?DAB?60，AB?1，故BH?3， 2
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11133--------12分 V三棱锥D?BDF?V三棱锥B?DD1F?S?DD1F?BH???1?1??133221220. 解：
(Ⅰ)设AB所在直线方程为y?kx?m，抛物线方程为x2?2py，且A?x1,y1?，
B?x2,y2?，不妨设x1?0，x2?0 ?x1?x2?4k 即x1?x2?4k
把y?kx?m代入x2?2py得x2?2pkx?2pm?0 ?x1?x2?2pk
?2pk?4k ?p?2 故所求抛物线方程为x2?4y -------------4分
12?12??? (Ⅱ)设C?x3,x3?，D?x4,x4?
4?4???过抛物线上C、D两点的切线方程分别是y?112112x3x?x3，y?x4x?x4 2424?x?xxx??两条切线的交点M的坐标为?34,34?
4??22设CD的直线方程为y?nx?1，代入x?4y得x?4nx?4?0
2?x3x4??4 故M的坐标为??x3?x4?,?1?
?2?点M的轨迹为
y??1-------------------8分
????12??12??FC??x3,x3?1? FD??x4,x4?1?
?4??4?????FC?FD?x3x4??x3x4?1????2??????1212122x3?x4?x3?x4?1 444??121222x3?x4?1??x3?x4?2 442????22x3?x4?2x3x4?x3?x4?1222??2 ?4??x3?x4而FM???0????1?1? ?44?2???????故
FA?FBFM???2??1 -----------------------------------12分
21.解：f?(x)?3ax?2bx?a(a?0).
(Ⅰ)?x1??1,x2?2是函数f(x)的两个极值点，
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?f?(?1)?0,f?(2)?0.?3a?2b?a2?0,12a?4b?a2?0,解得a?6,b??9.
?f(x)?6x3?9x2?36x.----------------------------------------------3分 (Ⅱ)∵x1、x2是 f(x)是两个极值点，?f?(x1)?f?(x2)?0.
∴x1、x2是方程3ax?2bx?a?0的两根.
∵△= 4b + 12a， ∴△>0对一切a > 0，b?R恒成立.
2
3
22x1?x2??2ba,x1x2??,a?0?x1x2?0 3a32b2a4b24?|x1|?|x2|?|x1?x2|?(?)?4(?)??a. 23a339a4b2422由|x1|?|x2|?22得?a?22,?b?3a(6?a). -------------5239a分
?b2?0,?3a2(6?a)?0,0?a?6.
令h(a)?3a2(6?a),则h?(a)??9a2?36a.
0?a?4时,h?(a)?0?h(a)在（0，4）内是增函数； 4?a?6时,h?(a)?0 ∴h (a)在（4，6）内是减函数.
∴a = 4时，h(a)有极大值为96，?h(a)在?0,6?上的最大值是96， ∴
b的最大值是
46.
------------------------------------------------------------8分 (Ⅲ)∵x1、x2是方程f?(x)?0的两根，
a1?f?(x)?3a(x?x1)(x?x2).?x1?x2??,x2?a,?x1??.
33111?|g(x)|?|3a(x?)(x?a)?a(x?)|.?|a(x?)[3(x?a)?1]|
3331∵x1 < x < x2，?|g(x)|?a(x?)(?3x?3a?1)
3
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a?3a?2?1??3a?1?a?3a313a31??22??3a?x???x???3ax???a?a??a?a????3??3?2?434312??22
----------------------------------------------12分22. 解：(Ⅰ)取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO， ∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．………………3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线． --------------------5分 (Ⅱ)设⊙O的半径为r，则在△AOE中，
OA2?OE2?AE2，即(r?23)2?r2?62，解得r?23,
∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°． ∴EC=
111BE??3r??3?23?3． ---------------------------------------222---10分
23.解：(Ⅰ) 直线l普通方程为 y?x?2； ------------------------------2分
x2y2曲线C的普通方程为??1． -------------------------------4分
43 (Ⅱ) ∵F1(?1,0),F2(1,0)，∴点F1到直线l的距离d1?点F2到直线l的距离d2??1?0?22?32, ---6分 21?0?22?2, -------------------------8分 2∴d1?d2?22. --------------------------10分 24解：(Ⅰ)A?a?1?a?7-------------------------------------5分
(Ⅱ)t?7?213,1---------------------------------------10分
????
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