第十章 曲线积分与曲面积分
一、 基本内容要求
1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、
面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法；
3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系；
4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重
积分；
5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数，
注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少；
6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭
区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM是从O（0，0）到点M（1，1）的直线段，则与曲线积分I=不相等的积分是：（ ） A) C)
?omex2?y2ds??10e22x2dx B)
??101eer2y2dy 2dr
0etdt D)
0 2．设L是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I=
?L?ydx?xdy等于（ ）
A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L为下半圆周x2?y2?R2(y?0)，将曲线积分I= 积分的正确结果是：（ ） A) C)
?L(x?2y)ds化为定
???00R2(cost?2sint)dt B)
2??R??3?2202(cost?2sint)dt
???R(?sint?2cost)dt D)
R2(?sint?2cost)dt
4．设L是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA方向，
则
?L(3x?y)dx?(x?2y)dy等于：（ ）
A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB是由点A(-1,0) 沿上半圆 y?积分I=
则曲线1?x2经点E(0,1)到点B(1,0)，
?AEBy3dx等于：（ ）
A) 0 B)2三、 填空
?BEy3dx C) 2?EBy3dx D) 2?EAy3dx
1．cos?,cos?,cos?是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有
???[(?Q?P?R?Q?P?R?)cos??(?)cos??(?)cos?]ds= 。 ?y?z?z?x?x?y 2．设L是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
?L(x?2y)dx?(4x?3y)dy??9，则L 所围成的平面闭区域D的面积等
于 。
3．设函数P(x,y,z,)在空间有界闭区域Ω上有连续的一阶偏导数，又Σ是Ω的光滑边界面的外侧，则由高斯公式，有
??P(x,y,z)dydz? 。
? 4．设Σ是球面x2?y2?z2?a2的外侧，则积分
??ydxdy? 。
? 5．设L是xoy 面上的圆周x2?y2?1的顺时针方向，则I1=x3ds与I2=
?L?Ly5ds
的大小关系是 。
?? 6．设力F的模|F|?x2a21x2?y2?????, F的方向与???yi?xj相同，则在力F的作用
下，质点沿曲线L:
?y2b2??1正向绕行一周，力F所做的功可用曲线积分表示
为: 。 四、 计算
1． 计算曲线积分
OABO. 2． 计算
?L(x?y)ds，其中L为连结O(0,0),A(1,0),B(0,1) 的闭曲线
?L(x2?2xy)dx?(y2?2xy)dy，其中L由直线段AB与BC 组成，路
径方向从点A(2,-1) 经点B(2,2)到点C(0,2). 3． 求 I=
?Ano(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy, 其中AnO为由点A(a,0)到
点O(0,0) 上半圆周x2?y2?ax. 4． 验证：当 x2?y2?0时，
ydx?xdyx2?2y2是某二元函数U(x,y) 的全微分，并求
U(x,y). 5． 计算
???xdydz，Σ是球面x2?y2?z2?R2在第一卦限部分的上侧。
6． 设在xoy 面内有一分布着质量的曲线弧L，在点(x,y)处它的线密度为ρ(x,y)，
用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy； （2）这曲线弧的重心坐标。 7． 计算下列对弧长的曲线积分：
（1）
??L(x2?y2)nds，其中L为圆周x=acost ,y=asint 0?t?2?；
x2?y2（2）eLds，其中 L为圆周x2?y2?a2，直线y=x 及 x 轴在第一
象限内所围成的扇形的整个边界；
（3）x2yzds，其中?为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点(0,0,0) , (0,0,2) ,
??(1,0,2) , (1,3,2) .
8． 计算下列对坐标的曲线积分：
（1）
??Lxydx，其中L 为圆周(x?a)2?y2?a2(a?0)及 x 轴所围成的
在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）； （2）
(x?y)dx?(x?y)dyx2?y2 ，其中 L为圆周x2?y2?a2（按逆时针方向
L绕行）； （3）线。
9．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：圆x2?y2?2ax. 10．证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值：
??xdx?ydy?(x?y?1)dz，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直
??(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy
11．利用格林公式，计算下列曲线积分：
(x2ycosx?2xysinx?y2ex)dx?(x2sinx?2yex)dy, 其中L为正向星形线
Lx23?y23?a(a?0).
23 12．验证下列 P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数U(x,y)的全微分，
并求这样的一个U(x,y) ： 4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy 13．计算下列对面积的曲面积分：
（1）分；
（2）(xy?yz?zx)ds，其中Σ为锥面z?????(2xy?2x2?x?z)ds，其中Σ为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部
??x2?y2被柱面x2?y2?2ax所截得的有限部分。 14．求抛物面壳z?12此壳的面密度的大小为ρ=z. (x?y2) (0?z?1)的质量，
2 15．计算下列对坐标的曲面积分：
（1）
???zdxdy?xdydz?ydzdx，其中∑是柱面x2?y2?1被平面z=0及z=3
所截得的在第一卦限内的部分的前侧；
（2）
??xzdxdy?xydydz?yzdzdx，其中∑是平面x=0 ,y=0 ,z=0 ,x+y+z=1所围
?成的空间区域的整个边界曲面的外侧。 16．利用高斯公式计算曲面积分：面x2?y2?z2?a2的外侧。 五、 证明
已知f(u)连续，且L为逐段光滑的简单封闭曲线，证明：
???x3dydz?y3dzdx?z3dxdy , 其中∑为球
?六、 应用
Lf(x2?y2)(xdx?ydy)?0
