康杰中学2013年数学（文）模拟训练卷（四）
2013.5
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
21. 设集合A?x|2x?x?0,B??x|x?1?，R为实数集，则(CRB)?A等于（ ）
??A. （0，1） 2. 若复数z?B. [1, 2) C. (0, 1]
D. (-?, 0)
1，则z?i在复平面内对应的点位于（ ） 1?iB. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
A. 第一象好限
????3. 若向量a?(x?3,2x)和向量b?(?1,1)平行，则|a?b|＝（ ）
A.
10
B.
10 2 C.
2
D.
2 24. “a??1”是“直线a2x?y?6?0与直线4x?(a?3)y?9?0”互相垂直的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）
A. r2?r4?0?r3?r1 C. r4?r2?0?r3?r1
B. r4?r2?0?r1?r3 D. r2?r4?0?r1?r3
6. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（ ） A. 2 C.
B. -1 D. 1
1 2
7. 等比数列{an}中，a72?a9且a8?a9，则使得an?A. 10
B. 9
C. 8
1 ?0的自然数n的最大值为（ ）
a1
D. 7
8. 函数y?sin(?x??)(??0且|?|???2?)在区间[,]上单调递减，且函数值从1减小2633 26?2 4到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为（ ） A.
1 2 B.2 2 C. D.
?x?0?9. 设不等式组?y?0在平面直角坐标系中所表示的区域的面积为S，则当k?1时，
?y??kx?4k?kS的最小值为（ ） k?1A. 16 B. 32 C. 48 D. 56 10. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为（ ） A.
43? 276? 8 B.
6? 26? 24
C. D.
x2y211. 已知P是双曲线2?2?1(a?0,b?0)上的点，F1,F2是其焦点，双曲线的离心率是
ab?????????5，且PF1F2的面积为9，则a?b的值为（ ） 1?PF2?0，若?PF4A. 5
B. 6
C.7
D. 8
12. 定义在{x|x?R,x?1}上的函数f(1?x)??f(1?x)，当x?1时，f(x)?()x，则
函数f(x)的图象与函数g(x)?标之间和等于（ ） A. 4 B. 6
1211cos?(x?)(?3?x?5)的图象的所有交点的横坐22
C. 8
D. 10
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图为等
腰直角三角形，侧（左）视图与俯视图为正方形，则该几何
体的表面积为 . 14. 已知函数f(x)?若在x?x?1,g(x)?alnx，
1处函数f(x)与g(x)的图象的切线平4行，则实数a的值为 .
x2y215. 椭圆??1的左、右焦点分别为F1, F2，弦AB过左焦点F1，若△ABF2的内切圆
2516周长为?,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1?y2|值为 . 16. 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 4), (2, 3), (3,
2), (4, 1), …, 则第60个“整数对”为 . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. （本小题满分12分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别a,b,c，且
2(a2?b2?c2)?3ab.
A?B； 2（2）若c?2，求△ABC面积的最大值.
（1）求sin218. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，A1，B1分别是AD，BC
边上的点，且AA1=BB1=1, E，F分别为B1D与AB的中点. 把长方形ABCD沿直线A1B1折成直角二
0面角，且?A1B1D?30.
（1）求证：CD?EF
（2）求三棱锥A1?B1EF的体积.
19. （本小题满分12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5
微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012, PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.
从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值频数如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）：
（I）求空气质量为超标的数据的平均数与方差； （II）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；
2 3 4 5 6 PM 2.5日均值（微克/立方米） 6 0 2 7 0 3 7 8
（III）以这12天的PM2.5日均值来估计2012年的空气质量情况，估计2012年（366天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级.
x2y220. （本小题满分12分）已知抛物线C:y?2px(p?0)的焦点F和椭圆??1的右
432焦点重合，直线l过点F交抛物线于A、B两点. （1）求抛物线C的过程；
（2）若直线l交y轴于点M，且MA?mAF,MB?nBF,对任意的直线l，m?n是否为定值？若是，求出m?n的值；否则，说明理由.
21. （本小题满分12分）已知函数f(x)?(x2?3x?3)?ex，设f(?2)?m,f(t)?n且t??2.
（1）试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数； （2）试判断m,n的大小，并说明理由；
（3）求证：对于任意的t??2，总存在x0?(?2,t)，满足这样的x0的个数.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D. 已知BC＝4， AD＝6， AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为??2,?2?22?cos(??（I）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程. （II）求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)?|x?3|?|x?a|,a?R. （I）当a?0时，解关于x的不等式f(x)?4；
（II）若存在实数x使得不等式|x?3|?|x?a|?4成立，求实数a的取值范围.
????????????????f?(x0)2?(t?1)2，并确定x0e3?4)?2.
数学（文）（四）答案
一、选择题
1. C 解析：因为A?(0,2),B?(1,??),可得(CRB)?(??,1]，故(CRB)?A＝(0, 1]
z?11?i?1?i2，则z?i＝
2. B 解析：本题考查复数的计算和复数的坐标表示. 所以z?i在复平面内对应的点为(?1?i1i?i???，22211,)，位于第二象限. 22??3. C 解析：依题意得，x?3??2x，解得x??1，所以(a?b)?(2,?2)?(?1,1)?(1,?1)，则
??|a?b|?12?(?1)2?24. A 解析：∵两直线垂直 ∴4a2，选C.
?a?3?0 ∴a??1或
34，故选A.
5. A 解析：由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知：r26. A 解析：由题意得，S＝?1,?r4?0?r3?r1.
11,2,?1,,2,...，故输出的S的值为2，选A. 227.
8. A 解析：
y?sin(?x??)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[?2?6,3]上单调递减，且
函数值从1减小到－1，可知式为
2???2?2???为半周期，则周期为?,????2，此时原函数362T?y?sin(2x??)，又由函数y?sin(?x??)的图象过点（
?6，代入可得??,1）
?6，因此
函数为
?1y?sin(2x?). 令x?0，可得y?62，故选A.
9.
二、填空题 13.
148?162 解析：该几何体为直三棱柱，S??4?4?2?(4?4?42)?4
2＝48?162 1?1af?(x)?x2,g?(x)?2x，由
14.
14 解析：
111f?()?g?()，则a?.
444
三、解答题
3a2?b2?c2317. 解：（1）?a?b?c?ab ?cosC?? （2分）
22ab42222?A?B???C ?sinA?B1?cos(A?B)1?coCs7??? （6分） 22283322222（2）?a?b?c?ab且c?2，?a?b?4?ab，
22322又?a?b?2ab，?ab?2ab?4 ?ab?8 （8分）
233272，?sinC?1?cosC?1?()? （10分） 444?cosC?1?△ABC＝absinC?7. （12分）
218. 解：（I）证明：因为AA1=BB1=1, 且AA1//BB1，所以四边形ABB1A1为矩形，故AA1⊥A1B1，
取A1B1的中点G，边接EG，FG，因为F为AB的中点，所以AF//A1G，且AF＝A1G，可得四边形AFGA1是平行四边形，所以FG//AA1，故FG⊥A1B1 ,同理可得EG⊥A1B1,所以A1B1⊥面EFG，可得A1B1⊥EF. 因为CD//A1B1，所以CD⊥EF. （6分） （II）因为∠A1B1D=30°，所以tan30??A1DA1D， ?A1B12，因为二面角A－A1B1－D为直二面角，由（I）可知FG⊥
可得
A1D?2313,EG?A1D?323面A1B1E, 所以VA?BEF111133 （12分） ?VF?A1B1E??1???2?323919. 解：（I）空气质量为超标的数据有四个：77，79，84，88 平均数为x77?79?8?488?82 （2分）
4122222方差为s??[(77?82)?(79?82)?(84?82)?(88?82)]?18.5 （4分）
4?（II）空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68
任取两个有十种可能结果：{47，50}，{47，53}，{47，57}，{47，68}，{50，53}， {50，57}，{50，68}，{53，57}，{53，68}，{57，68}. 两个数据和小于100的结果有一种：{47，50}. 记“两个数据和小于100”为事件A，则P(A)?1 101 （8分） 1082?（10分） （III）空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为
123即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为
336?
2?244，所以2012年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天. (12分) 3
