高三年级第五次月考
数学试卷（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至5页.考试时间120分钟，满分150分. 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷的答题卡上.
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卷面清洁，不折叠，不破损.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1?ai
为实数，则a? 2?i
11A.?2 B.? C. D.2
222.下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是
1.已知a?R，若A．y?x B．y?xsinx C．y?lg1?xx?xD．y?e?e 1?x
?x?0?3.已知实数x、y满足?x?y?2?0，则z?x?2y的最大值为
?x?y?1?0?A.
1 2
B. 1 C. 2 D. 4
224.直线x?y?m?0与圆x?y?2x?1?0有两个不同交点的一个充分不必要条件
是
A．0?m?1 B．?4?m?2 C．m?1 D．?3?m?1 5.已知sin??2cos??3，则tan??
A.
2 B.
22 C. ?2 D. ?
226.执行如图所示的程序框图，若输入p?5,q?6，则输出的a,i值分别为
A.5，1 B.5，2 C.15，3 D.30，6 7.将函数f(x)?sin(2x??)(|?|??2)的图象向左平移
?个单位后6的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,?]上的最小值为 2A.?1133 B.? C. D.
2222????????8.在菱形ABCD中，对角线AC?4，E为CD的中点，则AE?AC?
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 5.5
10.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有 A.144种 B.150种 C.196种 D.256种
x2y211.设F1,F2为椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，且|F1F2|?2c，若椭圆上存
ab2在点P使得|PF1|?|PF2|?2c，则椭圆的离心率的最小值为
A.
1123 B. C. D. 3223x12.设函数f(x)?e(2x?1)?ax?a，其中a??1，若关于x不等式f(x)?0的整数解
有且只有一个，则实数a的取值范围为 A. (?1,?3] 2e B．(?1,333] C．(?,?] 2e42e D． (?33,] 42e一、CDCAB DACBB DA 二、13.?55 14.
9?27 15. 16.4
164第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上. 13.在(1?x)6?(2?x)的展开式中含x的项的系数是 ．
3an?1?ana?2，则n的最小值为 ．
nn15.已知正方体ABCD?A1C的中点，则三棱锥 1B1C1D1的棱长为1，点E是线段B14.已知数列{an}满足a1?15，
A?DED1外接球体积为 ．
y2?1的右焦点，C的右支上一点P到一条渐近线的距离为2，16.F是双曲线C:x?42在另一条渐近线上有一点Q满足FP??PQ，则?? ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
在锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A,B,C依次成等差数列，且
????????b?3, 求a?c的取值范围.
17.解：? 角A,B,C成等差数列 ?B??3 ……………………………2分
abc???2 sinAsinBsinC?a?2sinA,c?2sinC
根据正弦定理的
?a?c?2sinA?2sinC?2sinA?2sin(A?)
3?33??2(sinA?cosA)?23sin(A?) …………………………6分
226又?ABC为锐角三角形，则
?6?A???23,?A??6?2? …………… ……8分 3?3?sin(A?)?(,1]
62?a?c?(3,23] …………………………10分
18.（本小题满分12分）
已知数列{an}的各项均是正数，其前n项和为Sn，满足Sn?4?an(n?N*). （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?31(n?N*)，数列{bn?bn?2}的前n项和为Tn，求证：Tn?.
42?log2an18.解：（1）由Sn?4?an，得S1?4?a1，解得a1?2…………2分 而an?1?Sn?1?Sn?(4?an?1)?(4?an)?an?an?1，即2an?1?an
?an?11? ………………………………4分 an21的等比数列. 2可见数列{an}是首项为2，公比为
11?an?2?()n?1?()n?2； ……………………………… 6分
22（2）?bn?111??
2?log2an2?(2?n)n?bnbn?2?1111?(?)， ………………8分
n(n?2)2nn?2故数列{bnbn?2}的前n项和
111111111??11??1Tn?[(1?)?(?)?(?)?(?)??????????]
23243546?n?1n?1??nn?2??11111311(1???)?(??) ………10分 22n?1n?222n?1n?231113??(?)? ……………………12分 42n?1n?24
19.（本小题满分12分）
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1?50名和951?1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1?50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：
n(ad?bc)2K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2
19. （1）设各组的频率为fi(i?1,2,3,4,5,6)，
由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分 因为后四组的频数成等差数列，
所以后四组频数依次为27,24,21,18 ……………………………2分 所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为1000?82?820 …………………………3分 100100?(41?18?32?9)2300??4.110?3.841 （2）k?50?50?73?27732因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分 （Ⅲ）依题意9人中年级名次在1?50名和951?1000名分别有3人和6人，
X可取0、1、2、3 …………………7分
321C6C6C34520， P(X?1)?， P(X?0)?3??384C984C9123C3C6C3181， P(X?2)??P(X?3)??338484C9C9X的分布列为 X P 0 1 2[来 3 20 8445 8418 841 84………………11分
X的数学期望E(X)?0?
2045181?1??2??3??1 ………………12分 84848484
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，AD//BC,AD?CD，且
AD?CD?22,BC?42，PA?2，点M在PD上.
（1）求证：AB?PC；
?（2）若二面角M?AC?D的大小为45，求BM与平面PAC所成角的正弦值.
20.解：⑴取BC中点E，连结AE,则AD?EC,AD//EC，所以四边形AECD为平行 四边形，故AE?BC，又AE?BE?EC?22,所以?ABC??ACB?45,故 AB?AC,又AB?PA，AC?PA?A,所以AB?平面PAC,故有 AB?PC ………………5分
⑵如图建立空间直角坐标系A?xyz
则A?0,0,0?,B22,?22,0,C22,22,0,P?0,0,2?, 设PM??PD?0,2??????2?,?2???0???1?,易得M?0,22?,2?2?
???n1?AC?22x?22y?0设平面AMC的一个法向量为n1??x,y,z?，则?
??n1?AM?22?y??2?2??z?02?令y?2,得x??2,z?，
??12???即n1???2,2,………………8分 ???1? ?又平面ACD的一个法向量为n2??0,0,1?，
cosn1,n2?n1?n2n1?n2?2???1?2??4?????1??2?cos45?，解得??
1
， 2
即M0,2,1，BM??22,32,1， 而AB?22,?2?????2,0?是平面PAC的一个法向量，
?8?124?33?53. 953…………………12分
9
设直线BM与平面PAC所成的角为?， 则sin??BM,AB?故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为
x2y2121.（本小题满分12分） 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，以原点Oab2为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x?y?6?0相切． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A,B两点，且kOA?kOBb2??2，判断?AOBa的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
42c2a2?b21c122a?b ?（1）由题意知e??，∴e?2?，即24a2aa3又b?61?12?3， 2分
y2x2∴a?4,b?3， ?椭圆的方程为??1 4分
432?y?kx?m?222(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2y2得 (3?4k)x?8mkx?4(m?3)?0，
?1??3?4??64m2k2?16(3?4k2)(m2?3)?0，3?4k2?m2?0.
8mk4(m2?3)x1?x2??,x1?x2?. 6分
3?4k23?4k23(m2?4k2)y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?.
3?4k222
kOA?kOB3(m2?4k2)34(m2?3)y1y2333???，??,??, y1y2??x1x2,223?4k43?4k44x1x2448?4k2?m2?3?3?4k224?1?k2?3?4k22m2?4k2?3, 8分
AB?1?k2?x1?x2?2?4x1x2?1?k2?
d?m1?k2 10分
21124?1?k?m1S??ABd??223?4k21?k22?3?4k??1?k?2224?1?k2?m2?3 12分
22.（本小题满分12分）
121x?x?ln(x?a)，其中常数a?0. 4a（1）讨论函数f(x)的单调性；
1（2）已知0?a?，f?(x)表示f(x)的导数，若x1,x2?(?a,a),x1?x2，且满足
2已知函数f(x)?f?(x1)?f?(x2)?0，试比较f?(x1?x2)与f?(0)的大小，并加以证明.
22．解：（1）函数f(x)的定义域为(?a,??)，
111x(ax?2?a2)f?(x)?x???(x??a,a?0)
2ax?a2a(x?a)2?a2由f?(x)?0,得x1?0，x2?，……………2分
a当a?2时，f?(x)?x22(x?2)?0，所以f(x)在(?2,??)上为增函数；……3分
2?a22?a2?0，所以f(x)在(0,??)，(?a,)上为增函当a?2时， ?a?x2?aa2?a2,0)上为减函数；………4分 数；在(a2?a22?a2?0，所以f(x)在(,??)，(?a,0)上为增函数；在当0?a?2时， aa2?a2(0,)上为减函数；…………5分
a（2）令g(x)?f?(x)?111x??(?a?x?a) 2ax?a11(x?a)2?2则g?(x)?? ?2(x?a)22(x?a)21??a?x?a,?0?x?a?2a,?(x?a)2?4a2?1(?0?a?)，
2?g?(x)?0,?g(x)在(?a,a)上为减函数，即f?(x)在(?a,a)上为减函数
以题意，不妨设x1?x2，又因为f?(0)?0,f?(x1)?f?(x2)?0，………8分 所以，?a?x1?0?x2?a，所以，0?x1?a?a,且?a?x1?x2?a， 由f?(x1)?f?(x2)?0，得
x1?x2211， ???2ax1?ax2?a?f?(x1?x2)?x1?x211， ??2ax1?x2?a1111???， ………10分 ax1?x2?ax1?ax2?a?
令t?x1?a，h(t)?1111???(0?t?a) at?x2tx2?a11(t?x2)2?t2(2t?x2)x2则h?(t)???2???0， ………11分 22222(t?x2)t(t?x2)?t(t?x2)?t所以，h(t)在(0,a)内为增函数，又因为t?x1?a?(0,a) 所以，h(t)?h(a)??0， 即：
1a?1x?1?1?0 1?x2?ax1?ax2?a所以，f?(x1)?f?(x2)?f?(0). ……………12分
