第四章 根轨迹法习题及解答
4-1、已知开环零、极点分布如图4-25所示。试概略绘制相应的闭环根轨迹图。
解：根轨迹如图解4-1所示。 图解4-1
4-2、 已知系统开环传递函数
*[s]试作K从0??的闭环根轨迹，并证明在平面内的根轨迹是圆，求出圆的半径和圆心。 图解4-1
K*(s?3)G(s)?s(s?1)
K*(s?3)G(s)?s(s?1) 解：
D(s)?s(s?1)?K*(s?3)?s2?(K*?1)s?3K*?0
?(K*?1)?j12K*?(K*?1)2?1,2??X?jY2
*K?1X???K*??1?2X2
12K*?(K*?1)212(?1?2X)?(?1?2X?1)2Y??44??(X?3)2?6
22(X?3)?Y?6
根轨迹圆心(?3,0)，半径6的圆，如图解4-2所示。。
2
4-3、设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹图（要求确定分离点坐标d）。
G(s)?
（1）
Ks(0.2s?1)(0.5s?1)
（2）
K*(s?5)G(s)?s(s?2)(s?3)
K10K?s(0.2s?1)(0.5s?1)s(s?5)(s?2)
G(s)?解 ⑴
系统有三个开环极点：p1?0,p2??2,p3??5 ① 实轴上的根轨迹： ???,?5?,
??2,0?
② 渐近 线0?2?57???????a33????(2k?1)????,?a?33 ?：
③ 分离点：
111???0dd?5d?2
解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④ 与虚轴的交点：特征方程为 D(s)?s?7s?10s?10k?0 令 32?Re[D(j?)]??7?2?10k?0?3?Im[D(j?)]????10??0 解得???10??k?7 与虚轴的交点
（0，?10j）。 根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵ 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：
??5,?3?, ??2,0?
0?2?3?(?5)????0??a2????(2k?1)?????a22② 渐近线： ? 1111???③ 分离点： dd?2d?3d?5
用试探法可得
d??0.886。根轨迹如图解4-3(b)所示。
4-4、已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统的根轨迹图（要求算出出射角）。
（1）
K*(s?2)G(s)?(s?1?j2)(s?1?j2)
（2）
K*(s?20)G(s)?s(s?10?j10)(s?10?j10)
K*(s?2)G(s)?(s?1?j2)(s?1?j2) 解 ⑴
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ???,?2? 111??② 分离点：d?1?j2d?1?j2d?2解之得：d
??4.23
③ 起始角：
?p?180??63.435??90??153.43?
1?由对称性得另一起始角为 ?153.43。
根轨迹如图解4-4(a)所示。
K*(s?20)G(s)?s(s?10?j10)(s?10?j10) ⑵
系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：
??20,0?
????② 起始角：??180?45?90?135?0?
根轨迹如图解4-4(b)所示。
4-5、已知系统如图4-26所示。作根轨迹图，要求确定根轨迹的出射角和与虚轴的交点。并
确定使系统稳定的K值的范围。 解：
1Ks(s?KG(s)???2s1?s(s2?2s?2)s(s?2)
2Ks(s?1?j1)(s?1?j1)
n?3有3条根轨迹，且3条全趋于无穷远处。 ①实轴上：(??,0] ??1?j1?1?j12???????a33?????,??a?3?②渐近线：
000?(??135?90)?(2k?1)? p1③出射角：
图解4-5
?0p1??45?p2?450④与虚轴交点：
D(s)?s3?2s2?2s?K?0D(j?)??j?3?2?2?j2??K?0
???Re[D(j?)]??2?2?K?0则有
??Im[D(j?)]???3?2??0 ??????2解得：??K?4 ∴使系统稳定的K值范围为0?K?4
4-6、已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试画出概略根轨迹图。
G(s)?K*（1）
s(s?5) G(s)?K*(s?4)（2）
s(s?5)
K*(s?20)K*G(s)?（3）
s(s?5)G(s)?解：（1）
s(s?5) G(s)?K*解：（1）
s(s?5) n?2，有2条根轨迹且全趋于无穷远处。
①实轴上：[?5,0]
???5??a??2?②渐近线：??????a2 ③分离点：
1d?1d?5?0
图解4-6(1)
d??52
K*G(s)?(s?4)（2）
s(s?5) n?2有2条根轨迹，其中1条趋于无穷远处。
实轴上[?4,0],[??,?5]。
G(s)?K*(s?20)（3）
s(s?5) n?2有2条根轨迹，且1条趋向无穷远处。
图解4-6(2)
①实轴上：(??,?20],[?5,0]
111??②分离点：dd?5d?20 d2?40d?100?D d1??2.68,d2??37.32
4-7、设系统开环传递函数
G(s)?
试作出b从0??变化时的根轨迹。
解：做等效开环传递函数
G(s)
?20(s?4)(s?b)
?b(s?4)s2?4s?20
① 实轴上的根轨迹：(??,?4]
111??② 分离点：d?2?j4d?2?j4d?4
解得：d1??0.472(舍去)，d2?8.472
图解4-7 根轨迹图 如图解4-7所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。
4-8、设系统的闭环特征方程
（1） 当a?10时，作系统根轨迹，并求出系统阶跃响应分别为单调、阻尼振荡时（有
复极点）K的取值范围。
（2） 若使根轨迹只具有一个非零分离点，此时a的取值？并做出根轨迹。 （3） 当a?5时，是否具有非零分离点，并做出根轨迹。 解：D(s)?s(s?a)?K(s?1)?0（1）a?10
2s2(s?a)?K(s?1)?0
(a?0)
(a?0)
D(s)?s2(s?10)?K(s?1)?0
K(s?1)G*(s)?2s(s?10) 做等效开环传递函数
n?3有3条根轨迹，有2条趋向无穷远处。
①实轴上：[?10,?1]
?10?19???????a22??????a?2②渐近线：?
图解4-8(1)
211??③分离点：dd?10d?1
解得：
d1??2.5 d2??4
dd?10Kd1?11?31.25d1?1 dd2?10Kd2?2?32d2?1
当31.25?K?32时系统阶跃响应为单调。
当0?K?31.25及K?32时系统阶跃响应为阻尼振荡。
2D(s)?s(s?a)?K(s?1)?0 （2）
22K(s?1)s2(s?a) 211??分离点：dd?ad?1 G*(s)?2d2?(a?3)d?2a?0 ?(a?3)?(a?3)2?16ad?2
要使系统只有一个非零分离点，则(a?3)?16a?0即a?9，a?1（舍去） （3）a?5
2D(s)?s2(s?5)?K(s?1)?0
K(s?1)G*(s)?2s(s?5) 作等效开环传递函数
n?3有3条根轨迹其中2条趋向无穷远处 ①实轴上：[?5,?1]
图解4-8(2)
?5?1?????2??a2??????a?2②渐近线：?
③分离点：
无解，故无分离点。
211??dd?5d?1 d2?4d?5?0
图解4-8(3)
4-9、试作图4-27所示系统K从0??时的系统根轨迹图，并确定使系统稳定的K值范围。
解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ?0.5,7/4? ② 渐近线：
????a??1?1?7/4?(?0.5)?1?24???(2k?1)???? ??a22
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?4317s?7s2?(2K?107)s?K?1?0
把s?j?代入上方程，令
??Re(D(j?))?K?1?12?7??0??Im(D(j?))?(2K?107)??47?3?0
????2???0??解得： ??K?1 ， ??K?97 根轨迹如图解4-9所示。由图解4-9可知使系统稳定的K值范围为 1?K?97。
4-10、做出图4-28所示系统的根轨迹，图中H(s)分别为 （1） H(s)?1 （2）
H(s)?s?1
(3)
H(s)?s?3
解：
G(s)H(s)?KKs(s2?3s?9)?（1）
s(s?32?j273272)(s?2?j2)
?K*s(s?32?j2.6)(s?32?j2.6)n?3
有3条根轨迹且全趋向于无穷远处。
①实轴上：(??,0]
图解4-②起始角：?30
033????22??1??a?3?????a??,?3③渐近线：?
④与虚轴相交：
D(s)?s3?3s2?9s?K?0
D(j?)??j?3?3?2?j9??K?0 Re[D(j?)]??3?2?K?0 Im[D(j?)]???3?9??0
????3???0??K?27?K?0 解得：?K(s?1)K(s?1)G(s)H(s)??s(s2?3s?9)s(s?3?j2.6)(s?3?j2.6)图解4-10(1)
22（2）
[?1,0]①实轴上： 33???j2.6??j2.6?1?22??1??a?2???????a2②渐近线：?
③出射角：
33?1?1800?tg?12?12100° 2.6?1?180??tg?11.5=120°
100°-（?p1+120°+90）°=（2k+1）?
图解4-10(2)
?p=70°
1K*(s?3)K*(s?3)G(s)H(s)??2s(s?3s?9)s(s?3?j2.6)(s?3?j2.6)22（3）
①实轴上：[?3,0]
33???j2.6??j2.6?3?22?0??a?2?????a??2②渐近线：?
③出射角：
图解4-10(3)
?1?tg?12.62.6?60??1?180??tg?11.51.5=120°， ，
?3?90?
60°-（?p2+120°+90）°=（2k+1）?
?p2=30°
4-11、设控制系统如图4-29所示，为了使系统闭环极点为s1,2??1?j3，试确定增益K和
速度反馈系数Kh的数值，并利用Kh值
绘制系统的根轨迹图。 解：
G(s)H(s)?K(Khs?1)s2
D(s)?s2?KKhs?K?(s?1?j3)(s?1?j3)?s2?2s?4?K?4?KKh?2????1K?4K??h??2 ∴有
1KK(s?1)(s?2)22G(s)H(s)??s2s2
n?2有2条根轨迹，1条趋向无穷远处。 ①实轴上：(??,?2]
②分离点：
21?dd?2 d??4
4-12、为了使图4-30所示系统的闭环极点的希望位置为s1,2??1.6?j4，在前向通路中串入一个校正装置作补偿，其传递函数为
Gc(s)?图中
s?2.5s?a
G(s)?试确定（1）所需的a值。 (2) 所希望的闭环极点
上的K值。
(3) 第三个闭环极点的位置。解：
Ks(s?1)
G(s)Gc(s)?K(s?2.5)s(s?1)(s?a)
D(s)?s(s?1)(s?a)?K(s?2.5)
?s3?(a?1)s2?(a?K)s?2.5K
(s?1.6?j4)(s?1.6?j4)?s2?3.2s?18.56
?2.5K?18.56a?40.832?0?∴?K?2.2a?11.52?0
?a?5.28?解得：?K?23.14
4-13、设负反馈系统的开环传递函数为
?3??(a?2.2)??3.06
（1）试作系统的根轨迹。
K*(s?2)G(s)?s(s?1)(s?3)
（2）求当??0.5时，闭环的一对主导极点值，并求其K及另一个极点。 （3）求出满足(2)条件下的闭环零、极点分布，并求出其在阶跃作用下的性能指标。
K*(s?2)G(s)?s(s?1)(s?3) 解：
（１）、n?3有３条根轨迹，其中２条趋向无穷远处。
①实轴上：[?3,?2],[?1,0]
?1?3?2?????1??a2??????a??2②渐近线：
③分离点：
1111???dd?1d?3d?2 d?(?1,?0.5)
试根得：d?-0.5344
2(???,?1??) ??0.5nn设阻尼线与根轨迹交点为
图解4-13
另一实根为?3??p3
D(s)?s(s?1)(s?3)?K*(s?2)?s3?4s2?(3?K*)s?2K*?(s???n?j?n1??2)(s???n?j?n1??2)(s?p3)?(s2?2??ns??n2)(s?p3)?(s2??ns??n2)(s?p3)?s3?(?n?p3)s2?(?n2?p3?n)s?p3?n2
??n?p3?4??n?1.36??*23?K???p???p3?2.64n3n??*2*p??2K有?3n解得：?K?2.44
?1,2????n?j?n1??2??0.68?j1.178
4-14、图4-31所示的随动系统，其开环传递函数为
G(s)?为了改善系统性能，分别采用在原系统中加比例-微分串联校正和速度反馈校正两种不同方案。
（1）试分别绘制这三个系统的根轨迹。
（2）当K?5时，根据闭环零、极点分布，试比较两种校正对
系统阶跃响应的影响。 解：（１）
Ks(5s?1)
G(s)?（ａ）
K0.2K?s(5s?1)s(s?0.2)
实轴上：[?0.2,0]
G(s)?（ｂ） （ｃ）（２）K?5
K(0.8s?1)0.16K(s?1.25)?s(5s?1)s(s?0.2)
图解4-14(a)
G(s)H(s)?K(0.8s?1)0.16K(s?1.25)?s(5s?1)s(s?0.2)
图解4-14(b)
51?s(5s?1)s(s?1)5 （a）
5?(s)?25s?s?5
D(s)?s2?0.25?1?0 ?1,2??0.1?j1
G(s)?G(s)?（b）
s(0.8s+1)4s+50.8(s?1.25)??s(5s?1)s(5s?1)s(s?0.2)
K(0.8s+1)K(0.8s+1)0.8s+1s(5s?1)?(s)??2?2K(0.8s+1)5s?(0.8K?1)s+Ks?s?11?s(5s?1)
32
K(0.8s+1)G(s)?s(5s?1) （c）
?1,2???j12图解4-14（2）
KK1s(5s?1)?(s)??2?2K(0.8s+1)5s?(0.8K+1)s?Ks?s?11?s(5s?1)
?1,2???j1232
比较：（b）与（a）相比附加了开环零点，因此影响了系统的闭环极点，改变了阶跃响应中的模态，使得超调量减小，调节时间缩短。
（b）与（c）相比开环传递函数相同，只是前者附加了闭环零点，不影响极点，不影响单位阶跃响应中的各模态，但会改变各模态的加权系数，从而影响系统的动态性能。（b）附加了闭环零点后，比（c）的峰值时间提前，超调量稍有增加。 4-15、 系统的开环传递函数为
试绘制系统的根轨迹，并确定系统输出为等幅振荡时的闭环传递函数。
K*G(s)?s(s?2)(s2?2s?2)
K*K*G(s)??2s(s?2)(s?2s?2)s(s?2)(s2?1?j1)(s?1?j1) 解：
（1）实轴上：[?2,0]
?2?1?j1?1?j1?????1??a4????(2k?1)????a?44（2）渐近线：?
（3）分离点：
1111????0dd?2d?1?j1d?1?j1 解得：d1?d2?d3?1
（4）与虚轴交点：
D(s)?s4?4s3?6s2?4s?K*?0
42*令：Re[D(j?)]???6??K?0 Im[D(j?)]?4?3?4??0
???0???1?*?*K?0?K?5 解得：?根轨迹如图。
输出为等幅振荡时的闭环传递函数即为根轨迹与虚轴相交处对应的闭环极点。
?1,2??j
?3,4?D(s)?s2?4s?52s?1
?所求闭环传递函数为
?(s)?1(s2?1)(s2?4s?5)
