中考专题复习——路径最短问题
一、具体内容包括：
蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题；
B 二、原理：
两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：
例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是 。
②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 D
C
A B
例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。
B 李庄
A 张村 L
②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。
③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为 。
四、练习题（巩固提高）
张村 李庄
（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
A D
B
B
C B A A
第1题
A
第2题 第3题
2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为 。
3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为 。
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的
A最小值为 。
DPACEB图(2)OPDC B图(3)
第4题 第5题 第6题 第7题
5、在菱形ABCD中，AB=2， ∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 。
6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，
⌒
⌒
⌒
则EC＋ED的最小值为____ ___。
7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD = 2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为____ ___。
（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB
于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。
9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。
10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长 。
11、如图，在锐角△ABC中，AB＝4
2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、
N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．
12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n = 时，AC + BC的值最小．
DCPFA
EB
第11题 第14题 第15题
13、△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥
BC于 F，E、F是垂足，则EF的最小值等于 ．
14、如图，菱形ABCD中，AB=2, ∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为___________.
15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．
OB上
（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明
OB上理由。
17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ； 归纳与发现：
（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平的对称点P′的坐标为 ； 运用与拓广：
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的之和最小，并求出Q点坐标．
18、几何模型：
平面分线l
试在距离
条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．
?的值最小（不必方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于点P，则PA?PB?AB证明）． 模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB?PE的最小值是___________；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA?OB，?AOC?60°，P是OB上一动点，求PA?PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
B
B B A
R A P E C
l
A B O C 图2
P P B O Q A
图1
图3 A?D 19、问题探究
（1）如图①，四边形ABCD是正方形， AB?10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC?PE的最小值；
（2）如图②，若四边形ABCD是菱形， AB?10cm，?ABC?45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC?PE的最小值；
问题解决（3）如图③，若四边形ABCD是矩形， AB?10cm，BC?20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC?PE的最小值；
A P D
A A D
D B B
E
C
C B
C
20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB. （1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号） 解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt△OBD中，∠ODB=90。，OBD=30。. ∴OD=1，DB=3 ∴点B的坐标是（1，3）.
（2）设所求抛物线的解析式为y?ax2?bx?c，由已知可得：
??c?0?a?b?c?3?4a?2b?c?0 ?解得：a?33,b?233,c?0. ∴所求抛物线解析式为y?33x2?233x. （3）存在. 由y?3223333x?3x配方后得：y?3?x?1?2?3
∴抛物线的对称轴为x=－1. （也写用顶点坐标公式求出）
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小. ∵点O与点A关于直线x=－1对称，有CO=CA.
∠
△ BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.
??k?b?3设直线AB的解析式为y?kx?b,则有:?
???2k?b?0解得：k?323323,b?. ∴直线AB的解析式为y?x?. 333333）. . ∴所求点C的坐标为（－1，33当x=－1时， y??43?1，?21、如图，抛物线y?ax2?bx?c的顶点P的坐标为?，交x轴于A、B两点，交y???3??轴于点C(0，?3)．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC． A O 判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小， C 若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意知
y D E B x P
解得a?323，b?? -------------3分 33（列出方程组给1分，解出给2分） ∴抛物线的解析式为y?3223x?x?3 -----------4分 333223x?x?3?0， 33（2）设点A（x1，0），B（x2，0），则解得x1??1，x2?3 -------------5分
∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝
|OB|?3 |OC|∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90° ----------6分 由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD ∴四边形ADBC是平行四边形 ----------------------------7分 又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形 --------------------------8分 （3）延长BC至N，使CN?CB．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．
即FD?FB?DB最小．
∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN ∴FD+FB＝FD+FN． ∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小 ．---------------------10分
1又∵C为BN的中点， ∴FC?AC（即F为AC的中点）．
213又∵A（－1，0），C（0，－3） ∴ 点F的坐标为F（?，?）
2213∴ 存在这样的点F（?，?），使得△FBD的周长最小．---12分
2222. 已知：直线y?11x?1与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y?x2?bx?c与直线交于A、22E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标． （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM?MC|的值最大，求出点M的坐标．
D A O B C x y E 答案：
（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y?12x?bx?c得 23?1?c???b?? 解得?2 ?10??b?c???c?1 ?2123x?x?1． 3分 2213（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为m2?m?1，
2213则E（m，m2?m?1）．
221131又∵点E在直线y?x?1上，∴m2?m?1?m?1．
2222y ∴抛物线的解折式为y?解得m1?0（舍去），m2?4．
∴E的坐标为（4，3）． 4分 过E作EF⊥x轴于F，设P(b,0)． 由?OPA??FPE?90°，得?OPA??FEP．
Rt△AOP∽Rt△PFE．
A B C E F 由
AOOP1b??． 得PFEF4?b3解得b1?1，b2?3．
∴此时的点P的坐标为（1，0）或（3，0）． 6分 （3）抛物线的对称轴为x?33． ∵B、C关于x?对称，∴MC?MB． 22要使|AM?MC|最大，即是使|AM?MB|最大． 8分
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM?MB|的值最大． 易知直线AB的解折式为y??x?1．
3?x??y??x?1?31??2∴由? 得 ∴M（，－）． 10分 ?3122x??y????2??2
