广东省惠州市2017届高三理科第三次调研考试
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 已知全集 ??=??，集合 ??= 1,2,3,4,5 ，??= ??∈?? ??≥2 ，则图中阴影部分所表示的集合为 ??
A. 0,1
B. 1
C. 1,2 D. 0,1,2
2. 已知函数 ??=?? ?? ，??∈??，则“??=?? ?? 是奇函数”是“??= ?? ?? 的图象关于 ?? 轴对称”的 ??
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 ??
A. 7
B. 9
C. 10
D. 11
4. 设直线 ?? 过双曲线 ?? 的一个焦点，且与 ?? 的一条对称轴垂直，?? 与 ?? 交于 ??，?? 两点， ???? 为 ?? 的实轴长的 2 倍，则 ?? 的离心率为 ?? A. 2 1
5
B. 3 C. 2 D. 3
5. 2???2?? 的展开式中 ??2??3 的系数是 ??
A. ?20
B. ?5
C. 5
D. 20
6. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ??
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A. 1
B. 2 C. 3 D. 2
????? ? ???? +???? ?2 7. 若 ?? 为 △?????? 所在平面内任一点，且满足 ???????? =0，则 △?????? 的形状为 ?? A. 等腰三角形 C. 正三角形
8. 函数 ??=cos2??+2sin?? 的最大值为 ??
A.
43
B. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
32
B. 1 C. D. 2
?????≥??,
若 ??=????+?? 的最大值为 4，则 ??= ?? 9. 已知 ??，?? 满足约束条件 ??+??≤2,
??≥0.
A. 3
1
B. 2 C. ?2 D. ?3
10. 函数 ?? ?? = ??? cos?? ?π≤??≤π且??≠0 的图象可能为 ??
??
A. B.
C. D.
11. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ???????? 为正方形，??，?? 分别为 ????，???? 的中点，在
此几何体中，给出下面 4 个结论：
①直线 ???? 与直线 ???? 异面；②直线 ???? 与直线 ???? 异面；③直线 ????∥平面??????；④平面??????⊥平面??????．
其中正确的有 ??
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A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
1
D. 4 个
12. 已知 ?? ?? =??sin??+cos??+??2，则不等式 ?? ln?? +?? ln?? <2?? 1 的解集为 ??
A. e,+∞ C. 0, ∪ 1,e
e
1
B. 0,e D. ,e
e
1
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若复数 ?? 满足 ???i=1+i（i 是虚数单位），则 ?? 的共轭复数是______．
14. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验．根据收集
到的数据（如下表）：
零件数??/个
1020304050
加工时间??/分钟6268758189
由最小二乘法求得回归方程
?? =0.67??+?? ，则 ?? 的值为______．
15. 在 △?????? 中，角 ??，??，?? 的对边分别是 ??，??，??，已知 ??=2，??=2 2，且 ??=，则 △??????
4π
的面积为______．
16. 已知定义在 ?? 上的函数 ??=?? ?? 满足条件 ?? ??+2 =??? ?? ，且函数 ??=?? ???4 为奇函数，
给出以下四个命题：
（1）函数 ?? ?? 是周期函数；
（2）函数 ?? ?? 的图象关于点 ?,0 对称；
43
3
3
（3）函数 ?? ?? 为 ?? 上的偶函数； （4）函数 ?? ?? 为 ?? 上的单调函数．
其中真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）
三、解答题（共7小题；共91分）
17. 已知数列 ???? 中，点 ????,????+1 在直线 ??=??+2 上，且首项 ??1=1．
（1）求数列 ???? 的通项公式；
（2）数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，等比数列 ???? 中，??1=??1，??2=??2，数列 ???? 的前 ?? 项和
为 ????，请写出适合条件 ????≤???? 的所有 ?? 的值．
18. 某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名女同学．在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其
余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率；
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（2）设 ?? 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 ?? 的分布列和数学期望．
19. 如图，四边形 ???????? 的圆柱 ???? 的轴截面，点 ?? 在圆柱 ???? 的底面圆周上，?? 是 ???? 的中点，圆
柱 ???? 的底面圆的半径 ????=2，侧面积为 8 3π，∠??????=120°．
（1）求证：????⊥????；
（2）求二面角 ?????????? 的平面角的余弦值．
??2
??2
2 在椭2
20. 己知椭圆 ??：??2+??2=1 ??>??>0 的左、右焦点分别为 ??1 ?1,0 ，??2 1,0 ，点 ?? 1,
圆 ?? 上．
（1）求椭圆 ?? 的标准方程；
（2）是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 ?? 有两个不同交点 ??，?? 时，能在直线
?若存在，求出直线的方程； =??????=3 上找到一点 ??，在椭圆 ?? 上找到一点 ??，满足 ????
若不存在，说明理由．
21. 已知函数 ?? ?? =
??′ 1 e
5
?e????? 0 ???+??2 （ e 是自然对数的底数）．
2
1
（1）求函数 ?? ?? 的解析式
（2）求函数 ?? ?? 的单调区间；
22. 已知曲线 ?? 的极坐标方程是 ??=4cos??．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 ?? 轴的正半轴，
??=1+??cos??,建立平面直角坐标系，直线 ?? 的参数方程是 （?? 为参数）．
??=??sin??
（1）将曲线 ?? 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线 ?? 与曲线 ?? 相交于 ??，?? 两点，且 ???? = 14，求直线 ?? 的斜率角 ?? 的值． 23. 已知函数 ?? ?? = ????? ．
（1）若不等式 ?? ?? ≤3 的解集为 ?? ?1≤??≤5 ，求实数 ?? 的值；
（2）在（Ι）的条件下，若 ?? ?? +?? ??+5 ≥?? 对一切实数 ?? 恒成立，求实数 ?? 的取值范围．
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答案
第一部分
1. B 2. A 3. B 6. C 7. A 8. C 11. B 12. D 第二部分 13. 1+i 14. 54.9 15. 3+1
16. （1）（2）（3） 第三部分
17. （1） 根据已知 ??1=1，????+1=????+2 即 ????+1?????=2=??，
所以数列 ???? 是一个等差数列，????=??1+ ???1 ??=2???1． （2） 数列 ???? 的前 ?? 项和 ????=??2， 等比数列 ???? 中，??1=??1=1，??2=??2=3， 所以 ??=3，????=3???1， 数列 ???? 的前 ?? 项和 ????=????≤???? 即
3???12
1?3??1?3
4. B 9. B 5. A 10. D
=
3???12
，
≤??2，又 ??∈???，
所以 ??=1或2．
18. （1） 设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件 ??，则
\\（\\[P\\left（ A \\right） = \\dfrac{{{\\mathrm{C}}_3^1 \\cdot {\\mathrm{C}}_7^2 + {\\mathrm{C}}_3^0
\\cdot{\\mathrm{ C}}_7^3}}{{{\\mathrm{C}}_{10}^3}} = \\dfrac{49}{60}，\\]\\）
所以，选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率为 60．
（2） 随机变量 ?? 的所有可能值为 0,1,2,3，因为
\\（\\[P\\left（ {X = k} \\right） =
\\dfrac{{{\\mathrm{C}}_4^k \\cdot{\\mathrm{ C}}_6^{3 - k}}}{{{\\mathrm{C}}_{10}^3}}\\left（ {k = 0，1，2，3} \\right），\\]\\）
所以，随机变量 ?? 的分布列是
\\（\\[\\begin{array}{|c|c|c|c|} \\hline X&0&1&2&3 \\\\ \\hline
P&\\frac{1}{6}&\\frac{1}{2}&\\frac{3}{10}&\\frac{1}{30} \\\\ \\hline
\\end{array}\\]\\）
随机变量 ?? 的数学期望
\\（\\[E\\left（ X \\right） = 0 \\times \\dfrac{1}{6} + 1 \\times \\dfrac{1}{2} + 2 \\times \\dfrac{3}{10} + 3 \\times \\dfrac{1}{30} = \\dfrac{6}{5}.\\]\\）
19. （1） 解法一：由题意可知 8 3π=2×2π×????，解得 ????=2 3， 在 △?????? 中，????= 22+22?2×2×2cos120°=2 3， 所以 ????=????，又 ?? 是 ???? 的中点， 所以 ????⊥????.???① 因为 ???? 为圆 ?? 的直径，
49
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所以 ????⊥????．
由已知得 ????⊥底面??????， 所以 ????⊥????， 所以 ????⊥平面??????， 所以 ????⊥????.???②
所以由 ①② 可知：????⊥平面??????， 所以 ????⊥????．
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 8 3π=2×2π×????，解得 ????=2 3． 则 ?? 0,0,0 ，?? 0,4,0 ，?? 0,0,2 3 ，?? 3,3,0 ， 因为 ?? 是 ???? 的中点， 所以可求得 ??
33
,, 3 ． 22
= 3,3, 3 ． = 0,?4,2 3 ， ????????22
? = 3,3, 3 ? 0,?4,2 3 =0， 所以 ????????22所以 ????⊥????．
（2） 解法一：由（1）知：????⊥平面??????， 所以 ????⊥????，????⊥????，
所以 ∠?????? 是二面角 ?????????? 的平面角．
????=????=× 2????= 6，????=????=2，∠??????=90°，
2
2
1
1
所以 ????= ????2+????2= 10， 所以 cos∠??????=????=
????
6 10=
15． 5
= 3,3, 3 ，???? = ? 3,?3, 3 ， = 3,?5, 3 ， = 3,?1,0 ， 解法二：????????????222222 =0， ????? ????? =0， 因为 ???????? 是平面 ?????? 的法向量． 所以 ????
=0，?? =0， 设 ?? = ??,??,1 是平面 ?????? 的法向量，由 ?? ? ???? ? ????解得 ?? = ?2,0,1 ，
????????2 3 15 ,??cos ???? = ==?．
???? ? ??
2 55
所以二面角 ?????????? 的平面角的余弦值为 20. （1） 设椭圆 ?? 的焦距为 2??，则 ??=1， 因为 ?? 1,
2 在椭圆 ?? 上， 2
15． 5
所以 2??= ????1 + ????2 =2 2， 因此 ??= 2，??2=??2???2=1， 故椭圆 ?? 的方程为 2+??2=1．
（2） 不存在满足条件的直线，证明如下：设直线的方程为 ??=2??+??，
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??2
设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ，?? ??3, ，?? ??4,??4 ，???? 的中点为 ?? ??0,??0 ，
3由 ??2
2
5
??=2??+??,
2
消去 ??，得 9??2?2????+??2?8=0，
+??=1
2????
2 ??2?8 >0， ，且 ??=4???3699
所以 ??1+??2=故 ??0=
??1+??22
=，且 ?3
得 ??1???3,??1?5 = ??4???2,??4???2 ， =????由 ????3所以有 ??1?=??4???2，??4=??1+??2?=???．
3
3
9
3
5
5
2
5
知四边形 ???????? 为平行四边形，而 ?? 为线段 ???? 的中点，因此，?? 也为线段 ???? =????（也可由 ????的中点，所以 ??0=
5
+??43
2
=9，可得 ??4=
73
??2???159
）
又 ?3
与椭圆上点的纵坐标的取值范围是 ?1,1 矛盾． 因此不存在满足条件的直线． 21. （1） 由已知得 ??′ ?? =?? 0 =
??′ 1 e
??′ 1 ??
ee
??? 0 +??，所以 ??′ 1 =??′ 1 ??? 0 +1，即 ?? 0 =1．又
，所以 ??′ 1 =e，
1
从而 ?? ?? =e?????+2??2．
（2） 显然 ??′ ?? =e???1+?? 在 ?? 上单调递增且 ??′ 0 =0， 故当 ??∈ ?∞,0 时，??′ ?? <0；当 ??∈ 0,+∞ 时，??′ ?? >0． 所以 ?? ?? 的单调递减区间是 ?∞,0 ，单调递增区间是 0,+∞ 22. （1） 由 ??=4cos?? 得 ??2=4??cos??． 因为 ??2+??2=??2，??=??cos??，??=??sin??，
所以曲线 ?? 的直角坐标方程为 ??2+??2?4??=0，即 ???2 2+??2=4．
??=1+??cos??, （2） 将 代入曲线 ?? 的方程得 ??cos???1 2+ ??sin?? 2=4，
??=??sin??化简得 ??2?2??cos???3=0．
设 ??，?? 两点对应的参数分别为 ??1，??2，
??+??2=2cos??,则 1
??1??2=?3.所以
???? = ??1???2
= ??1+??2 2?4??1??2= 4cos2??+12= 14.所以 4cos2??=2，cos??=±解得 ???3≤??≤??+3．
又已知不等式 ?? ?? ≤3 的解集为 ?? ?1≤??≤5 ．
2，??2
=4或
π3π4
．
23. （1） 由 ?? ?? ≤3，得 ????? ≤3，
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