2016寒假二次函数
125x?2x?与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D为抛物线22的顶点，过点D的对称轴交x轴于点E.
已知如图：抛物线y??（1）如图1，连接BD，试求出直线BD的解析式；
（2）如图2，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC的面积最大时，线段CP交
BD于点F，求此时DF:BF的值；
（3）如图3，已知点K(0,?2)，连接BK，将?BOK沿着y轴上下平移（包括?BOK）在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得?GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由. ACyDCyDCy DCFPAOEBxAOEBx图1图2 yDONKEMBxAOEBxK图3备用图 12515x?2x?,∴令?x2?2x??0,得x1??1,x2?5 222y259∴A(?1,0),B(5,0),C(0,),D(2,) D22解：（1）?y??,∴设BD的解析式为，y?kx?b(k?0) C?5k?b?0?∴?9 ? 2k?b???23?k????2 ?15?b???2AOEBx图1 ? BD的解析式为：y??315x? ………………………………..4分 22yP（2）连接BC,过P作PH?x轴交BC于点H,则SPBAC?S?ABCD?S?BCP 5115?AB?6,OC??S?ABC?AB?OC?, 222∴?BCP的面积最大时四边形PBAC的面积最大
ACFEBxO125设P(m,?m?2m?)，(0?m?5)， 22151515?BC:y??x??H(m,?m?)， ?PH??m2图?2m 2222221525?S?BCP?S?CPH?S?BPH?|xB?xC|?PH??m2?m 2445b5535???,?当m?时，?BCP的面积最大，四边形PBAC的面积最大，此时P(,)22a228 y35535设CP:y?kx?，代入P(,),k?， D422835?y?x? C42315又BD的解析式为：y??x? AOEx22MB35315202025N?x???x?，?x?，?F(,) 4222996K过点F作FQ?DE于点Q, 图3925?DFDQDFDQ262………….8分 FQ//BE,??,????25BFQEBFQE2561010（3）G1(2,?7),G2(2,),G3(2,?),G4(2,?3)…………..12分
37
如图，抛物线y?428，与y交于点C，?BAC的平分线与y轴x?x?4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）
33交于点D，与抛物线相交于点Q，P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线，分别交AD，AC于点E，F，连接BE，BF．
（1）如图1，求线段AC所在直线的解析式；
（2）如图1，求△BEF面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）如图2，以EF为边，在它的右侧作正方形EFGH，点P在线段AB上运动时正方形EFGH也随之运动和变化，当正方形EFGH的顶点G或顶点H在线段BC上时，求正方形EFGH的边长．
yyy APOBxxxAPOBAOB EEH DDDQFGQQ F CCC 26题图
26题图26题备用图
解：（1）抛物线的解析式为：1 y?2 483x2?3x?4
令x?0，则y??4，
?C?0,?4?．……………………………………………………………（1分）
令y?0，则
43x2?83x?4?0， 解得，x1??3,x2?1．
?A??3,0?，B?1,0?．……………………………………………………（2分）
设直线AC所在直线解析式为：y?kx?b?k?0?， 将A??3,0?，C?0,?4?代入可得，
???3k?b?0?4 解得??b??4?k??3， ??b??4直线AC所在直线解析式为：y??43x?4．…………………
（2）过点D作DI?AC于点I，如图1．
?A??3,0?C?0,?4?，?OA?3．?OC?4．
在Rt?AOC中，AC?OA2?OC2?32?42?5． 在?ADI与?ADO中
??DIA??DOA?90?，?DAI??DAO，DA?DA，
??ADI≌?ADO，
?AI?AO?3，DI?DO．
4分）
（设DI?DO?m，则DC?OC?OD?4?m． ?IC?AC?AI， ?IC?5?3?2． 在Rt?CDI中，
?ID2?IC2?DC2， ?m2?22??4?m?，
解得，m?23． 2?OD?3． 23???D?0,??．
2??设直线AD所在直线解析式为：y?kx?b?k?0?，
3??将A??3,0?，D?0,??代入可得，
2??1?k??;??3k?b?0;???2 解得? ?33b??.??b??.2??2?直线AD所在直线解析式为：y??x?123．…………………………（5分） 2y又?直线AC的解析式为：y??x?4．
4313?4????设P?n,0?，则E?n,?n??，F?n,?n?4?，
22?3???APEOBx?BP?1?n，
3??45?1?5 EF???n?????n?4??n?，
2??32?2?6FDQC?S?BEF?11?55?EF?BP??n???1?n? 22?62?26题答图2
5255n?n???3?n?1?．…………………（6分） 1264 ?该函数的对称轴是直线x??1．
5 ?当x??1时， S?BEF的最大值＝．………………………（7分）
3A??此时，P??1,0?．………………………………………………………………（8（3）由B?1,0?，C?0,?4?可得直线BC的解析式为：y?4x?4． ①当顶点G在线段BC上时，如图3．
FEyPxOHDQGB分）
C26题答图3 13?44???1??设P?t,0?，则E?t,?t??， F?t,?t?4?，G??t,?t?4?．
3322????3??3??45?1?5?EF???t?????t?4??t?，
2??32?2?614FG??t?t??t．
33554?EF?FG，?t???t，
62315解得，t??．
134?15?20． ?FG???????3?13?1320?15?．…………（10分） ?顶点G在线段BC上时，P??,0?，正方形的边长为13?13?②当顶点H在线段BC上时，如图4．
13?4513????1?设P?t,0?，则E?t,?t??， F?t,?t?4?，H??t?,?t??．
3822?22????8?y3??45?1?5?EF???t?????t?4??t?，
2??32?2?6PAO5?95?1EH???t???t??t?．
8?88?8HE?EF?EH，
D5595?t???t?， 6288F45解得，t??． C475?45?580． ?EF???????6?47?247BxQG26题答图4
80?45?．…… （12分） ?顶点H在线段BC上时，P??,0?，正方形的边长为
4747??20?15??45?综上所述，顶点G在线段BC上时，P??,0?，正方形的边长为；顶点H在线段BC上时，P??,0?，
13?13??47?80正方形的边长为．
47
在y??428x?x?4直角坐标系xoy中,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C 连接AC,BC. 33（1）求?ACO的正弦值.
（2）如图1,D为第一象限内抛物线上一点，记点D横坐标为m,作DE//AC交BC于点E, DH//y轴交BC于
点H，请用含m的代数式表示线段DE的长，并求出当CH:BH?2:1时线段DE的长.
（3）如图2,P为x轴上一动点（P不与点A、B重合）,作PM//BC交直线AC于点M,连接CP，是否存在点
P 使S?CPM?2,若存在,请直接写出点P的坐标, 若不存在，请说明理由.
解：（1）∵y?? 428x?x?4 33428∴C（0，4）令y=0，?x?x?4?0
334x-8x-12=0
2
x-2x-3=0 (x-3)(x+1)=0
x1=-1 x2=3 ∴A(-1,0) B(3,0) ∴OA=1,OC=4
∴Rt△ACO中，AC?OA2?OC2?17 OA117 ……4分 ==AC1717（2）∵DE//AC，∴∠1+∠2＝∠3＝∠4+∠5
又∵∠2＝∠4 ∴∠1＝∠5 ∴0A∶OC＝EM∶DM 过点E作EM⊥DH于M
2
∴sinDACO=428m?m?4） 334直线BC∶y??x?4
3设D（m,?44∴H(m,-m+4) ∴DH=-m2+4m ……5分
33设EM＝x，则DM＝4x
∠MEH＝∠B ∴HM?∴
4x 34x?4x?DH 33DH16 x=DH x?316 图2 317DH31742?(?m?4m) ∴DE?17x?16163172317m?m ……7分 ＝?44当CH∶BH＝2∶1，延长DH至K，则OK∶KB=2∶1,OK=2 ∴m=2
∴DE??17?（3）P1(1,0)
31717 ……9分 ?22 P2(22?1,0)
P3(1?22,0) ……12分
．如图1，抛物线y??3223，交y轴于点C．将直线x?x?3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）
33AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交抛物线于另一点E． （1）求直线AE的解析式；
（2）点F是第一象限内抛物线上一点，当△FAD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E重合），使
FG＋
11GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG＋GE的最小值； 22（3）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒23个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为3t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．
解：（1）在y??y C F y C C?A O D B x A O D A?B x D?E 26题图1
26题图2
E 32233223x?x?3中，令y=0，得?x?x?3?0． 3333解得x1??1，x2?3，
∴ 点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为(3，0) ，即OA＝1．………（1分） 在y??3223x?x?3中，令x＝0，得 y＝3， 33 ∴ 点C的坐标为（0，3）， 即OC＝3． 在Rt△AOC中，tan∠CAO?OC?3，∴ ∠CAO＝60°， OA 又∵∠CAD＝90°，∴∠OAD＝30°． 在Rt△AOD中，tan∠OAD＝
ODOD3，即tan30°＝，∴OD＝， OA13 ∴ 点D的坐标为（0，?3）．………………………………….....………（2分） 3设直线AE的解析式为y＝kx＋b（k≠0），∵点A、点D在直线AE上，
???k?b?0,?k????∴ ?3解得?.?b???b??3??? ∴ 直线AE的解析式为y??3.33,3
33．……………………………....……（4分） x?33 （2）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如答图1），
过点D作DM⊥FK于点M． 设点F的坐标为（x，?3223， x?x?3）3333）， x?33y C F H A O D M G K Q P 26题答图1
E B 则点K的坐标为（x，?x ∴FK＝?322333) x?x?3－(?x?33333243＝? x?3x?33∴S△FAD＝S△FAK－S△FDK＝
11FK?AH?FK?DM22
11＝FK(AH?DM)?FK?AO22
＝?32323……………………………………...…...（5分） x?x?623b3＝时，S△FAD有最大值， 2a2353)．………………...…..……………...….. …（6分） ∴此时点F的坐标为(，24∴当x＝? 点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，GP⊥EQ于点P， 则∠PEG＝30°，GP＝
11GE，FG+GE＝FG＋GP． 221过点F作EQ的垂线，交AE于点G，此时FG+GE的值最小，
2533）∴此时点G的坐标为（，?．……...... ....... ……...........................…（7分） 621353GE的最小值为．……....... …... .………...............................…（8分） 212 FG+
（3）连结CC?，过点C?作C?F⊥y轴于点F（如答图2）．
则CC?＝231333t，CF＝2CC?＝3t，FC?＝2CC?＝t． y ∴点C?的坐标为（t，3?33t）． C F C? 由（2）知：点E的坐标为（4，?
53A 3
）． D O B x A? ∴AE2?100242D?3 ， AC??3t?4 ，
EC?2?4t240112E 3?3t?3． ?26题答图2 ① 当AC=EC?时，
43t2?4?43t2?4011253t?3，解得t?2．.............. ..... ..... ..... ..... ..... ......…（9分）
②当AC?＝AE时， 43t2?4?1003，解得 t1?22，t2??22（舍去）．….........................…（10分） ③当AE=EC?时
100?4t2?40t?112， 解得t 33331?5?22 t2?5?22．
综上所述，当△AC?E为等腰三角形时，t?52或t?22t?5?22．…..........................................................................................................（12分）
或t?5?22或
如图1，抛物线y?ax2?bx?4交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y于点C，连接AC、BC，其中CO?BO?2AO.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作E?AC交BC于E,作QN?x轴于N，交BC于M，当?EMQ的
周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；
(3) 如图2，在（2）的结论下，连接AQ分别交BC于F,交OC于G,四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时
点P从C开始沿折线CO?OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的2倍，当点P到达点B时四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当?PFF1为等腰三角形时，求B1F长度.
如图1
如图2
备用图
．如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接M Q′，P Q′．当△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM1
面积的4时，求□APQM面积．
图1 图2 备用图
解：（1）令－x2+2x+3=0，解得x1=－1，x2=3，∴A（－1，0），C（0，3）， ∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D（2，3）， ∴直线AD的解析式为：y=x+1； （2）设点F（x，－x2+2x+3），∵FH∥x轴，∴H（－x2+2x+2，－x2+2x+3）， 199∴FH=－x2+2x+2－x=－（x－2）2+4，∴FH的最大值为4， 9+92
易得△FHG为等腰直角△，故△FGH周长的最大值为4；
（3）①当P点在AM下方时，如图，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
1
∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的4，∴PQ′必过AM中点N（0，2），∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，故□APQM是矩形， 19∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，而MQ⊥AM，过M，∴直线QQ′：y=－2x+2， 19115
∴4+p=－2×2+2，∴p=－2，（注：此处也可用AM2+AP2=MP2得出p=－2），∴PN=2， 115
∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4×2×PN×AO=4×2×2×1=5；
②当P点在AM上方时，如图，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），
13p∵△PM Q′与□APQM重合部分的面积是□APQM面积的4，∴PQ′必过QM中点R（2，4+2）， 1
易得直线QQ′：y=－2x+p+5，
??y=2x+26+2p22+4p6+2p22+4p
1联立?解 得：x=5，y=5，∴H（5，5）， y=－x+p+5?2?
2+4p24+3p∵H为QQ′中点，故易得Q′（5，5），
3p8p由P（0，p）、R（2，4+2）易得直线PR解析式为：y=（3－3）x+p， 2+4p24+3p8p24+3p8p2+4p
将Q′（5，5）代入到y=（3－3）x+p得：5=（3－3）×5+p， 整理得：p2－9p+14=0，解得p1=7，p2=2（与AM中点N重合，舍去）， ∴P（0，7），∴PN=5， 11
∴S□APQM=2S△AMP=2×2×PN×∣xM －xA∣=2×2×5×2=10． 综上所述，□APQM面积为5或10．
123
如图1，抛物线y=－3x2－3x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，－1），直线AD交抛物线于另一点E；点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H．
（1）求线段DE的长；
311
（2）设d=PQ－4PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+2EK的值最小，求出点K的坐标和PK+2EK的最小值；
（3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN、QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．
123
解：（1）令－3x2－3x+3=0，得x1=－33，x2=3，∴A（3，0），B（－33，0）， 33
设lAD：y=kx－1，∴k=3，∴直线AD解析式：y=3x－1，
?y=33x－1∴由?123
y=－x－?33x+
2
?x1 =－43?x=3
解得 ? ，?2 ，∴DF=48+16=8；
?y2=0?y1=－5
（2）∵PQ⊥x轴，PG⊥AE，∴显然△AOD∽△PGQ∽△PFH，∵OA=3，OD=1，∴∠OAD=30o， PF33
∴∠P=30o，∴PH=2，∴PF=2PH， 31
∴d=PQ－4PH= PQ－2PF，
1233
设P（x，－3x2－3x+3），则Q（x，3x－1），F（x，0），
1233112319∴d=（－3x2－3x+3）－（3x－1）－2（－3x2－3x+3）=－6（x+23）2+2， 9
∴当x=－23时，d取得最大值2，此时P（－23，3）， 如图所示，作KM∥y轴，EM∥x轴，则KM⊥EM，
11
∴∠KEM=∠OAD=30o，∴KM=2EK，故当PK+2EK=PK+KM最小时，P、K、M应共线，即K点与Q点重合，此时K（－1
23，－3），∴PK+2EK最小为3+5=8；
（3）存在，理由如下：
①如图1，当AQ′=QQ′时，易知PA=PQ=QA， ∴PQ′垂直平分AQ，△APQ是等边△， ∴∠APQ′=∠PAF=30o， ∴PM=AM=23，FM=3， ∵PN平分∠FPM，
∴FN∶MN=PF∶PM，即FN∶（3－FN）=3∶23，∴FN=6－33， ∴N（6－53，0）；
如图2，当AQ′=QQ′时，∵PN垂直平分QQ′，x轴垂直平分PQ，易得△PQQ′≌△PAQ′，故∠QPQ′=150o， ∴易得∠PNF=15o，在FN上取点M，使FM=FA，连接PM，易得∠PMF=30o，PM=6，PM=NM=6， MF=FA=33，∴N（－6－53，0）；
②当AQ=QQ′时，如图3，显然此时N与B重合，即N（－33，0）； ③当AQ=AQ′时，如图4，显然此时N与A重合，即N（3，0）； 综上所述，符合条件的N点坐标为（6－53，0），（－6－53，0），（－33，0），（3，0）．
图1 图2
