习题一
1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合：
（1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件A表示：平均得分在80分以上。
（2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件A表示：第一颗掷得5点；
设事件B表示：三颗骰子点数之和不超过8点。
（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A表示：取出的三个球中最小的号码为1。
（4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件A表示：至多只要投50次。
（5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。
1.2 在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张。 （1）写出该随机试验的样本点和样本空间；
（2）设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。
试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？
（a）AB ； (b) A?B； (c) B； (d) A?B； (e) BC； (f) B?C 。
1.3 设A、B、C是样本空间的事件，把下列事件用A、B、C表示出来：
（1）A发生； （2）A不发生，但B、C至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。
1.4 设??{1,2,3,?,10}，A?{2,3,5}，B?{3,5,7}，C?{1,3,4,7}，求下列事件： （1）AB ； （2）A(BC) 。
1.5 设A、B是随机事件，试证：(A?B)?(B?A)?AB?AB。
1.6 在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为ability的概率。
1.7 电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2，?，9中的任一个数字（但第一位不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。
1.8 把10本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的3本书恰好放在一起的概率。
１
1.9 为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛。求最强的两个队被分在不同组内的概率。
1.10 在桥牌比赛中，把52张牌任意分给东、南、西、北四家（每家13张），求北家的13张牌中：
（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率。 （2）恰有大牌A、K、Q、J各一张，其余为小牌的概率。
1.11 从0，1，2，?，9十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1）A1?{三个数字中既不含0，也不含5}； （2）A2?{三个数字中不同时含有0和5}； （3）A3?{三个数字中含有0，但不含5}。
1.12 一学生宿舍有6名学生，求：
（1）6个人的生日都在星期天的概率； （2）6个人的生日都不在星期天的概率； （3）6个人的生日不都在星期天的概率。
1.13 将长为a的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。
1.14 A、B是随机事件，已知P(A)?a，P(B)?b，P(AB)?c，求： （1）P(A?B)； （2）P(AB) ； （3）P(AB) ； （4）P(A?B) 。
1.15 设A、B、C是事件，已知P(A)?P(B)?P(C)?1/4，P(BC)?P(AC)?1/8，
P(AB)?0，求A、B、C都不发生的概率。
1.16 设A、B是随机事件，且满足P(AB)?P(AB)和P(A)?p，求P(B)。
1.17 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中至少有一件是不合格品，问：两件都是不合格品的概率是多少？
1.18 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。（1）求任意取出的零件是合格品的概率。
（2）如果已知任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。
２
1.19 已知5%的男性和0.25%的女性患有色盲，随机选取一人，经查确定为色盲。求此人是男性的概率（假定男性和女性各占总人数的一半）。
1.20 设A、B是随机事件，且满足P(BA)?P(BA)，证明事件A、B是相互独立的。
1.21 设A、B是随机事件，且P(A)?0，P(B)?0。证明事件A、B相互独立与互不相容不能同时成立。
1.22 三人独立地破译一个密码，他们各自能译出的概率分别为a，b，c，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
1.23 设A、B是随机事件，假定P(A)?0.4，而P(A?B)?0.7，令P(B)?p。 （1）p取何值时才能使A、B互不相容？ （2）p取何值时才能使A、B相互独立？
1.24 一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7。求：在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的 概率。
1.25 已知某篮球运动员每次投篮的命中率为0.7，求该运动员五次投篮，至少投中两次的概率（假设各次投篮都是独立的随机事件）。
1.26 某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，对某批产品检验时，用如下方法：随机取50个，如果发现其中的次品不多于一个，则认为该批产品是合格的。问：用这种方法认为该批产品合格的概率是多少？
1.27 已知每支枪射击飞机时，击中飞机的概率为p?0.004，各支枪能否击中飞机是相互独立的。求：
（1）250支枪同时进行射击，飞机至少被击中一次的概率；
（2）需要多少支枪同时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机？
1.28 甲、乙、丙三人相互独立地向同一飞机射击，设每个人击中飞机的概率都是0.4。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。
３
习题解答
习题一
1.1（1）样本空间可以表示为??{0，1,2,3,?,100}；事件A?{81,82,?,100}。
（2）样本空间可以表示为??{3,4,5,?,18}；事件A?{7,8,?,17}，B?{3,4,?,8}。 （3）样本空间可以表示为??{(1,2,3),(1,2,4),(,1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),
(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}；事件A?{(1,2.3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。
（4）样本空间可以表示为??{10,11,12,?}；事件A?{10,11,12,?,50}。 （5）样本空间可以表示为??{(x,y,z)x?y?z?1,x?0,y?0,z?0}。
1.2 （1）设样本点?i表示“抽到i号卡片”(i?1,2,?,8)，样本空间可以表示为
??{?1,?2,?,?8}；
（2）AB?{?2,?4}表示“抽到标号不大于4且是偶数的卡片”；
A?B?{?1,?2,?3,?4,?6,?8}表示“抽到标号不大于4或者是偶数的卡片”； B?{?1,?3,?5,?7}表示“抽到标号是奇数的卡片”；
A?B?AB?{?1,?3}表示“抽到标号不大于4而且是奇数的卡片”；
BC?{?1,?2,?3,?4,?5,?7,?8}表示“抽到标号不能同时既是偶数又能被3整除（即标号不是6的倍数）的卡片”；
B?C?BC?{?1,?5,?7}表示“抽到标号是奇数而且不能能被3整除的卡片”。
1.3（1）A；
（2）A(BC?BC?BC) 或A(B?C)； （3）ABC?ABC?ABC；
４
（4）ABC?ABC?ABC?ABC 或AB?AC?BC； （5）ABC 或A?B?C；
（6）ABC?ABC?ABC?ABC 或BC?AC?AB； （7）ABC 或A?B?C。
1.4（1）AB?A?B?{2,3,5,7}；
（2）A(BC)?A?BC?{1,3,4,6,7,8,9,10}。
1.5 由事件差的定义、德摩根定律及分配律可知：
(A?B)?(B?A)?AB?BA?(A?B)(B?A)
?AB?AA?BB?BA?AB?AB。
1.6 在11张卡片中任意抽7张，依次排成一列，有 P11 种不同的方法。
要得到ability，每次取一张卡片，如果取卡时，这种字母的卡片只有1张，则只有1种取法，如果取卡时，这种字母的卡片有2张，则有2种取法。所以，
7P{连抽7张，排列结果为ability}=
1?2?2?1?1?1?11?。 7415800P111.7 由6位数字组成的首位不能为0的有重复的排列（作为电话号码）共有9?10种，其中满足条件的（电话号码是由完全不相同的数字组成）的有9?9?8?7?6?5种。
所以，所求概率为：
5P{满足条件的电话号码}?
9?9?8?7?6?59?8?7?6?5??0.1512 。 559?1010101.8 10本不同的书任意在书架上放成一排，排法的总数为 P10?10! 。
为了使指定的3本书放在一起，我们可以想象把这三本书“捆绑”在一起作为一个整体看待，于是10本书就变成了8个物体，8个物体的排法总数有P8?8!种；但这3本书还可以有P3?3!种排法，所以，满足条件的排法共有8!?3!种。
因此，所求概率
38 ５
P{其中指定的3本书恰好放在一起}=
8!?3!1??0.0667。 10!15
1.9 解法一 我们先来求把20个球队任意分成两组的方法数。注意到每种这样的分法可以这样得到：从20个球队中任意取出其中的10个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有C2010种不同的分法。
再求满足要求“最强的两个队被分在不同组内”的分法数。每种这样的分法可以这样求得：先从2个强队中任意取出1个队，有C2种取法，再从18个不是强队的球队中任意取出9个队，有C18种取法，这样取出的10个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有C2C18种不同分法。
因此，所求概率为
19C2C10?0.5263 。 P{最强的两个队被分在不同组内}=1018?19C209191解法二 将20个球队任意分成两组（每组10队），可以看作是有两个组，每个组有10
个空位子，共有20个空位子，从这20个空位子中任意选2个位子放强队（其余位子自然是放其他的队），共有C20种不同做法。
最强的两个队被分在不同组内，相当先于从第一个组的10 个空位子中任意选1个位子放1个强队，再从第二个组的10 个空位子中任意选1个位子放1个强队（其余位子自然是放其他的队），有C10C10种不同做法。
因此，所求概率为
11C10C1010??0.5263 。 P{最强的两个队被分在不同组内}=219C20112
1.10 北家的13张牌是52张牌中取出13张的组合，共有C52种可能。
（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花，相当于从13张黑桃、13张红心、13张方块、13张草花中分别取5、4、3、1张，组合数是：C13C13C13C13 。所以，
5431C13C13C13C13?0.0054。 P{恰有5黑桃4红心3方块1草花}=13C52543113（2）北家的13张牌中恰有大牌A、K、Q、J各一张，相当于先要从4张A、4张K、4
11114张Q、4张J中各取1张，有C4C4C4C4?4?4?4?4?4种不同取法，再从36张小牌中
取9张，有C36种不同取法，这种情况的组合数是：4?C36。所以，
949 ６
944?C36?0.0380 。 P{恰有大牌A、K、Q、J各一张}=13C52
1.11 从10个数字中任意选出3个不同数字，有C10种不同的选法。
（1）选出三个数字中既不含0，也不含5，相当于从除了0和5以外的其余8个数字中任意选3个，有C38种选法，所以，
3C837P(A1)?3?；
C10153（2）选出三个数字中不同时含有0和5，相当于全部C10种选法中扣除同时含有0和5的情形。同时含有0和5的情形，相当于先取1个0，再取1个5，再从其余8个数字中任意选1个，有CCC?C11111818种选法，所以，
31C10?C814P(A2)??； 315C10（3）选出三个数字中含有0，但不含5，相当于先取一个0，再从除了0和5以外的8个数字中任意选2个，有CC?C112828种选法，所以，
C827P(A3)?3?。
C1030
1.12 6个学生，每个人的生日可以是星期天、星期一、??、星期六中的任何一天，都有7种不同的选择，所以，共有7种不同的情形。
（1）6人生日都在星期天，每人只有一种选择，所以：
6P{6人生日都在星期天}=
1； 676（2）6个人的生日都不在星期天，每人有除星期天外的6种选择，总共有6种情形。P{6
66人生日都不在星期天}=6；
7（3）6个人的生日不都在星期天，只要从全部7种情形中除去“6人生日都在星期天”这一种情形就可以了。所以：
676?11P{6人生日不都在星期天}=6?1?6。
77
1.13 设三段长为x，y，z，它们满足x?y?z?a，x?0，y?0，z?0。上述条件可简写为x?0，y?0，x?y?a（由于z?a?x?y?0）。所以，样本空间为
??{(x,y)x?0,y?0,x?y?a}，
７
?对应的区域是一个直角边长为a的等腰直角三角形，面积为S??a2/2。
三段长要构成一个三角形，必须满足x?y?z，y?z?x，x?z?y，由于
z?a?x?y，上述条件等价于x?y?a/2，x?a/2，y?a/2。
所以，所求事件
A={三段长能构成三角形}={(x,y)x?y?a/2,x?a/2,y?a/2}，
A对应的区域即图中的阴影部分，它的面积为SA?a2/8。
SAa2/81??。 因此，所求的概率为P(A)?S?a2/24
1.14 （1）P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?1?c ；
（2）P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)] ?1?a?b?c ；
（3）P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)?b?c ；
（4）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?a?b?(b?c)?1?a?c 。
1.15 因为ABC?AB，所以0?P(ABC)?P(AB)?0，可见必有P(ABC)?0； 因此，事件A、B、C都不发生的概率为
P(A?B?C)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)
=1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]
８
=1?(?
1.16 由
1411111??0???0)? 。 44882P(AB)?P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)
得
P(B)?1?P(A)?1?p。
iC4C62?i1.17 记Ai?{取出的两件中有i件不合格品}，则P(Ai)?（i?0,1,2）。 2C10在已知取出的两件中至少有一件是不合格品的前提下，两件都是不合格品的概率是：
22C4/C10P(A2)P(A2)1P(A2A1?A2)???112?。 22P(A1?A2)P(A1)?P(A2)C4C6/C10?C4/C105
1.18 记Ai?{取自第i台车床}（i?1,2） ，B?{任意取出的零件是合格品} 。 （1）已知 P(A1)?2/3，P(A2)?1/3，P(BA1)?0.97，P(BA2)?0.98， 由全概率公式得
P(B)=P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?21?0.97??0.98?0.973 。 33（2）在已知取出零件是废品的条件下，它是第二台车床加工的概率，也就是P(A2B)。 由贝叶斯公式可知
P(A2B)P(A2)P(BA2)P(A2B)?? 。
P(B)P(B) 其中，P(A2)?1/3，P(BA2)?0.02，上面（1）中已求出P(B)?0.973，所以，
P(B)?1?P(B)?1?0.973?0.027，代入上式，得
1P(A2B)P(A2)P(BA2)3?20?0.247。 P(A2B)???P(B)P(B)0.027810.02?
1.19 设A?{确定为色盲}，B?{此人为男性}，B?{此人为女性}。
由题意可知P(B)?P(B)?1，P(AB)?0.05，P(AB)?0.0025。 2９
由贝叶斯公式，得
1?0.05P(B)P(AB)202P(BA)?≈0.9524 。 ??1121P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?0.05??0.002522
1.20 由全概率公式和已知条件P(BA)?P(BA)，得
P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)
?[P(A)?P(A)]P(BA)?P(BA)，
所以，事件A、B是相互独立的。
1.21 因为P(A)?0，P(B)?0，所以若A、B相互独立，则有P(AB)?P(A)P(B)?0；若A、B互不相容，则有AB??，于是P(AB)?P(?)?0，与上面P(AB)?0矛盾，可见A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立。
1.22 记Ai?{第i人译出密码}（i?1,2,3）。已知P(A1)?a，P(A2)?b，P(A3)?c。 显然，A1、A2、A3相互独立，所以，三人中至少有一人能将此密码译出的概率是
P(A1?A2?A3)?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)
?1?[1?P(A1)][1?P(A2)][1?P(A3)]?1?(1?a)(1?b)(1?c) 。
1.23 （1）要使A、B互不相容，必须有
0.7?P(A?B)?P(A)?P(B)?0.4?p，
所以，p?0.7?0.4?0.3。
（2）要使A、B相互独立，必须有P(AB)?P(A)P(B)，从而
0.7?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.4?p?0.4p，
所以，p?0.5。
1.24 记Ai?{一小时内第i台车床需要工人照管}（i?1,2,3），这些事件显然是相互独立的。
１０
根据题意，
P(A1)?0.9，P(A2)?0.8，P(A3)?0.7，
P(A1)?1?0.9?0.1，P(A2)?1?0.8?0.2，P(A3)?1?0.7?0.3。
在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率为：
P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.9?0.8?0.7?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.902 。
1.25 这是一个p?0.7的独立试验序列。5次投篮恰投中k次的概率为
（k=0，1，2，?，5）。 P{5次投篮恰投中k次}=C5k?0.7k?0.35?k，所以，五次投篮至少投中两次的概率为
P{至少投中两次}=1?P{最多投中一次}=1?P{投中0次}?P{投中1次}
01?1?C5?0.70?0.35?C5?0.71?0.34?1?0.00243?0.02835?0.96922。
1.26 这是一个p?0.05的独立试验序列。检验n?50个产品，恰发现k个次品的概率为
k?0.05k?0.9550?k，（k=0，1，2，?，50）。 P{50次检验恰发现k个次品}=C50所求的认为该批产品合格的概率等于
P{发现次品不多于一个}=P{发现0个次品}?P{发现1个次品}
01?C50?0.050?0.9550?C50?0.051?0.9549?0.0769?0.2025?0.2794。
1.27 这是一个p?0.004的独立试验序列。n支枪同时射击，没有一支击中飞机的概率为
00p(1?p)n?(1?p)n?(1?0.004)n?0.996n， P{n支枪击中飞机0次}?Cn至少击中飞机一次的概率为
P{n支枪至少击中一次}?1?P{n支枪击中飞机0次}?1?0.996n 。
（1）P{250支枪至少击中一次} ?1?0.996250?0.63286；
（2）设需要n支枪同时进行射击。要求至少击中一次飞机的概率大于99%，即
P{n支枪至少击中一次}=1?0.996n?0.99，
１１
即要有0.996?0.01，由此可得到n?log0.9960.01?1149。所以，至少需要1149支枪同时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机。
1.28 记Ai?{恰有i人同时击中飞机}（i?0,1,2,3），各人击中飞机的事件是相互独立的，这可以看作是一个p?0.4的独立试验序列。
i?0.4i?0.63?i，（i?0,1,2,3）。 P(Ai)?P{3人中恰有i人击中飞机}?C3n即有
0P(A0)?C3?0.40?0.63?0.216， 1P(A1)?C3?0.41?0.62?0.432，
P(A2)?C32?0.42?0.61?0.288，
3P(A3)?C3?0.43?0.60?0.064。
又记B?{飞机被击落}。根据题意，P(BA0)?0，P(BA1)?0.2，P(BA2)?0.6，
P(BA3)?1。
由全概率公式，可得到所求飞机被击落的概率为：
P(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)
?0.216?0?0.432?0.2?0.288?0.6?0.064?1?0.3232。
１２
