第十章 统计与统计案例
第一节 统 计
本节主要包括2个知识点：
1.随机抽样； 2.用样本估计总体. 突破点(一) 随机抽样
[基本知识]
1．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法． 2．系统抽样
在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先确定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样(也称为机械抽样)．
3．分层抽样
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
4．三种抽样方法的比较 类别 简单随机抽样 共同点 均为不放回抽样，且系统抽样 抽样过程中每个个体被抽取分层抽样 的机会相等 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取 将总体分成几层，分层按比例进行抽取 相互联系 是后两种方法的基础 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 适用范围 总体中的个数较少 元素个数很多且均衡的总体抽样 总体由差异明显的几部分组成 [基本能力]
1．判断题
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( )
(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( ) (3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( )
(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学
生，这样对被剔除者不公平．( )
(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．填空题
(1)利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．
M41解析：总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝＝＝. N82
1答案：
2
行作业检查，这种抽样方法是________． 答案：系统抽样
(3)某公司共有1 000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了4个员工，则广告部门的员工人数为________．
1 000x解析：＝，x＝50.
804答案：50
x3
解析：设应从高二年级抽取x名学生，则＝.
5010
解得x＝15. 答案：15
[全析考法]
1．抽签法的步骤
第一步，将总体中的N个个体编号；
第二步，将这N个号码写在形状、大小相同的号签上； 第三步，将号签放在同一不透明的箱中，并搅拌均匀； 第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取k次； 第五步，将总体中与抽取的号签的编号一致的k个个体取出． 2．随机数法的步骤 第一步，将个体编号；
简单随机抽样
第二步，在随机数表中任选一个数开始；
第三步，从选定的数开始，按照一定抽样规则在随机数表中选取数字，取足满足要求的数字就得到样本的号码．
[例1] (1)总体由编号为01，02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 3204 A.08 C．02
6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 B．07 D．01
4369 4869 9728 6938 0198 7481 (2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________． ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验． (2)①不是简单随机抽样．因为不满足总体的有限性． ②不是简单随机抽样．因为它是放回抽样．
③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
[答案] (1)D (2)①②③④
系统抽样的步骤
系统抽样
[例2] (1)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 C．25
B．40 D．20
(2)将高一(九)班参加社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．
1 000[解析] (1)由系统抽样的定义知，分段间隔为＝25.故选C.
40
(2)根据系统抽样的概念，所抽取的4个样本的编号应成等差数列，因为在这组数中的间距为41－29＝12，所以所求的编号为5＋12＝17.
[答案] (1)C (2)17 [易错提醒]
用系统抽样法抽取样本，当不为整数时，取k＝??，即先从总体中用简单随机抽样的
n方法剔除(N－nk)个个体，且剔除多余的个体不影响抽样的公平性．
进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
样本容量n该层抽取的个体数(1)＝； 总体的个数N该层的个体数
(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
[例3] (1)(2018·南昌模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200 人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为
分层抽样 Nn?N???
30，那么n＝( )
A．860 C．1 020
B．720 D．1 040
(2)(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．
高一 高二 篮球组 45 15 书画组 30 10 乐器组 a 20 1 200 [解析] (1)根据分层抽样方法，得×81＝30，解得n＝1 040.故选D.
1 000＋1 200＋n(2)本题考查分层抽样方法及用样本估计总体．
300
从丙种型号的产品中抽取的件数为60×＝18.
200＋400＋300＋1001230
(3)由题意知＝，解得a＝30.
45＋1545＋15＋30＋10＋a＋20[答案] (1)D (2)18 (3)30 [方法技巧]
分层抽样的解题策略
(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同． (3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样． 样本容量各层样本数量
(4)抽样比＝＝.
总体容量各层个体数量
[全练题点]
1.[考点一]某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：
其中正确的序号是( ) A．②③④ C．②③
B．③④ D．①②
解析：选C 根据随机数法编号可知，①④编号位数不统一．
2.[考点一、二、三]对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，
p3，则( )
A．p1＝p2 B．p2＝p3 C．p1＝p3 解析：选D 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝ p3. A．10 C．12 B．11 D．16 4.[考点三]某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________． 解析：设从高二年级学生中抽取x人，由题意得学生中抽取的人数为55－20－18＝17人． 答案：17 5.[考点二]为了了解本班学生对网络游戏的态度，高三(6)班计划在全班60人中展开调查，根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60取的学生中最大的编号为________． 解析：由最小的两个编号为03,09可知，抽取时的分段间隔是6.即抽取10名同学，其编号构成首项为3，公差为6的等差数列，故最大编号为3＋9×6＝57. 答案：57 突破点(二) 用样本估计总体 [基本知识] 1．频率分布直方图和茎叶图 (1)作频率分布直方图的步骤 ①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图． (2)频率分布折线图和总体密度曲线 频率分布 折线图 总体密 度曲线 (3)茎叶图的优点 茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来方便． 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图 随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 20 ＝，解得x＝18，则从高三年级360400 x 2．样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众数体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征 中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点 平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 众数 一组数据中重复出现次数最多的数 把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 如果有n个数据x1，x2，…，中位数 平均数 xn，那么这n个数的平均数x＝x1＋x2＋…＋xn n－ (2)标准差、方差 ①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝ 1nx1－x－2－＋x2－x2－＋…＋xn－x2]. 1－2－2－22 ②方差：标准差的平方s＝[(x1－x)＋(x2－x)＋…＋(xn－x)]，其中xi(i＝ n－ 1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数． ③方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度． (3)平均数、方差公式的推广 －2 若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s，则数据mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a－22 的平均数为mx＋a，方差为ms. [基本能力] 1．判断题 (1)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数．( ) (2)在频率分布直方图中，众数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．( ) (3)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数 据可以只记一次．( ) (5)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( ) (6)一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．填空题 (1)某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的有________人． 解析：由频率分布直方图可知45岁以下的教师的频率为5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)． 答案：48 (2)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得： ①[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________； ②据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________． 解析：设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.则志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800＝440. 答案：①0.04 ②440 (3)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是____________． 数为68，最小数为12，极差为68－12＝56. 20＋20 ＝20. 2答案：20 (5)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________． 解析：5个数的平均数x＝ 2 2 4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.512 ＝5.1，所以它们的方差s＝[(4.7 55 2 2 2 －5.1)＋(4.8－5.1)＋(5.1－5.1)＋(5.4－5.1)＋(5.5－5.1)]＝0.1. 答案：0.1 [全析考法] 频率分布直方图 [例1] (2017·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图： (1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． [解] (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 故样本中分数小于50的频率为0.1， 故分数在区间[40,50)内的人数为100×0.1－5＝5. 5 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20. 100(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为 (0.02＋0.04)×10×100＝60， 1 所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30. 2所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40， 男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2. 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. [方法技巧] 1．绘制频率分布直方图时需注意的两点 (1)制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确； 频率 (2)频率分布直方图的纵坐标是，而不是频率． 组距2．与频率分布直方图计算有关的两个关系式 频率(1)×组距＝频率； 组距 频数频数(2)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数． 样本容量频率 1.茎叶图的绘制需注意： (1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一； (2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据． 2．茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等． 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？ 茎叶图 －－[解] (1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y. －1 由观测结果可得x＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5 20＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， － y＝ 1 ×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋20 1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6. －－ 由以上计算结果可得x>y，因此可看出A药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制如下茎叶图： 7 从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的 107 试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好． 10 [方法技巧] 茎叶图问题的求解策略 (1)由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表问题时，要充分对这个图表提供的样本数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断． (2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图数据求出样本数据的数字特征，进一步估计总体情况． (1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，需先计算数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)，分析稳定情况． (2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，计算平均数、方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性比较方差(标准差)的大小． 考法(一) 与频率分布直方图交汇命题 图． (1)求直方图中x的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数． [解] (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5， ∴直方图中x的值为0.007 5. 220＋240(2)月平均用电量的众数是＝230. 2∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5， 0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224. 样本的数字特征 [方法技巧] 频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 考法(二) 与茎叶图交汇命题 A.7,8 C．8,5 B．5,7 D．7,7 (2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示： 则7个剩余分数的方差为________． [解析] (1)甲组数据的中位数为17, 故y＝7，乙组数据的平均数为 3×10＋20＋ ＋6＋6＋x＋ 5 ＝17.4，解得x＝7. (2)由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得 x＝4.s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝. 36[答案] (1)D (2) 7[易错提醒] 在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义． 考法(三) 与优化决策问题交汇命题 [例5] 甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 17367 甲 乙 丙 丁 平均环数x 方差s 28.3 3.5 8.8 3.6 8.8 2.2 8.7 5.4 从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是( ) A．甲 C．丙 B．乙 D．丁 [解析] 由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C. [答案] C [方法技巧] 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． [全练题点] 1.[考点二]在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面1 积等于其他6个小长方形的面积的和的，且样本容量为80，则中间一组的频数为( ) 4 A．0.25 C．20 B．0.5 D．16 x?x1? 解析：选D 设中间一组的频数为x，依题意有＝?1－?，解得x＝16. 804?80? A.3,5 C．3,7 B．5,5 D．5,7 解析：选A 由两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等， 11 所以×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x＝3. 553．[考点一]为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后， 画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是( ) A．36 C．48 B．40 D．50 解析：选C 由题知，题图中从左到右的前3个小组的频率之和为1－(0.037＋0.013)×5＝0.75.又图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以第1小组的频率为160.75×＝0.125，所以报考飞行员的学生人数是＝48. 1＋2＋30.125 A．84,4.84 C．85,1.6 B．84,1.6 D．85,4 1 解析：选C 依题意，所剩数据的平均数是80＋×(4×3＋6＋7)＝85，所剩数据的方差 51222 是×[3×(84－85)＋(86－85)＋(87－85)]＝1.6. 5 甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9 如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________． 122－－222222 解析：x甲＝x乙＝9，s甲＝×[(9－10)＋(9－8)＋(9－9)＋(9－9)＋(9－9)]＝，s乙 5516222222 ＝×[(9－10)＋(9－10)＋(9－7)＋(9－9)＋(9－9)]＝>s甲，故甲更稳定． 55 答案：甲 空气质量指 数(μg/m) 空气质量 等级 天数 (1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； (2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数． 2040解：(1)∵0.004×50＝，∴n＝100，∵20＋40＋m＋10＋5＝100，∴m＝25.＝n100×50 3[0,50] (50,100] 优 20 良 40 轻度污染 中度污染 10 重度污染 5 m 25105 0.008；＝0.005；＝0.002；＝0.001.由此完成频率分布直方图，如 100×50100×50100×50图： (2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95，∵[0,50)的频率为0.004×50＝0.5－0.2 0.2，[50,100)的频率为0.008×50＝0.4，∴中位数为50＋×50＝87.5. 0.4 [全国卷5年真题集中演练——明规律] A．x1，x2，…，xn的平均数 C．x1，x2，…，xn的最大值 B．x1，x2，…，xn的标准差 D．x1，x2，…，xn的中位数 解析：选B 标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B. 根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：选A 根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确． 3．(2016·全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 解析：选D 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确；故D错误． A．简单随机抽样 C．按学段分层抽样 质量指标 [75,85) [85,95) B．按性别分层抽样 D．系统抽样 [95,105) 值分组 频数 6 26 38 22 8 (1)作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 解：(1)如图所示： (2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s＝(－20)×0.06＋(－10)×0.26＋0×0.38＋10×0.22＋20×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0．38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定． [课时达标检测] [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 随机抽样 A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法 解析：选B 在①中，文科考生、理科考生、艺术和体育类考生会存在差异，采用分层抽样法较好；在②中，抽取的样本个数较少，宜采用简单随机抽样法． 2．某校高三年级共有学生900人，编号为1,2,3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一A．10 C．12 B．11 D．13 2 2 2 2 2 解析：选C 系统抽样，是抽多少人就把总体分成多少组，于是抽样间隔就是用总体数 A．93 B．123 C．137 D．167 4．高三(3)班共有学生56人，座号分别为1,2,3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( ) A．30 C．32 B．31 D．33 解析：选B 由系统抽样的特点，得到样本中的座号形成一个以3为首项，公差为17－3＝14的等差数列，则第三个座号是17＋14＝31.故选B. 5．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号________________________________________________________________________ (下面摘取了随机数表第7行至第9行)． 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 舒适型 标准型 轿车A 100 300 轿车B 150 450 轿车C z 600 按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则 z的值为________． 5010 解析：由题意可得＝， 100＋300＋150＋450＋z＋600100＋300解得z＝400. 答案：400 30 解析：系统抽样的抽取间隔为＝6，设抽到的最小编号为x，则x＋(6＋x)＋(12＋x) 5＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3. 答案：3 对点练(二) 用样本估计总体 1．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，－ 得分(十分制)如图所示，假设所得分数的中位数为me，众数为m0，平均值为x，则( ) － A．me＝m0＝x － C．me － B．me＝m0 D．m0 解析：选D 由图可知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中－位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5；5出现的次数最多，故m0＝5；x＝－ (3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)÷30≈5.97.于是得m0 2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A.32 34 32 C．34 45 32 B．33 45 35 D．33 36 35 解析：选B 观察茎叶图，16个数已经按大小顺序列出，从上往下数第8个数和第9个数是最中间两个数，它们是32和34，中位数是它们的平均数：33.再读茎叶图，45出现次数最多，共3次，故为众数．极差等于最大值减最小值：47－12＝35.故选B. 3．(2017·九江二模)已知一组数据x1，x2，…，xn的方差为2，若数据ax1＋b，ax2＋b，…， axn＋b(a>0)的方差为8，则a的值为( ) A．1 C．2 2 B.2 D．4 解析：选C 根据方差的性质可知，a×2＝8，故a＝2. 4．(2018·湖北黄冈质检)已知数据x1，x2，x3，…，xn是某市n(n≥3，n∈N)个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这(n＋1)个数据中，下列说法正确的是( ) A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 解析：选B ∵数据x1，x2，x3，…，xn是某市n(n≥3，n∈N)个普通职工的年收入，xn＋1 * * 为世界首富的年收入，则xn＋1远大于x1，x2，x3，…，xn，故这(n＋1)个数据中，年收入平 均数大大增大；中位数可能不变，也可能稍微变大；由于数据的集中程度受到xn＋1的影响比 较大，更加离散，则方差变大． ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A．①③ C．②③ B．①④ D．②④ 26＋28＋29＋31＋31 解析：选B ∵x甲＝＝29， 5 x乙＝ 28＋29＋30＋31＋32 ＝30， 5 ∴x甲 2 9＋1＋0＋4＋41824＋1＋0＋1＋4 ＝，s乙＝＝2， 555 ∴s甲>s乙．故可判断结论①④正确. 6.五一期间，某淘宝店趁势推出了“抢红包”的促销活动．已知每人有5次抢红包的机会，每次可得到1元至30元不等的红包．甲、乙二人在这5次抢红包活动中获得的红包金额的茎叶图如图所示．若甲5次获得的红包金额的均值为x1，乙5次获得的红包金额的均值为 x2，则x1－x2＝________. 1＋2＋5＋10＋30 红包金额的均值x2＝＝9.6，所以x1－x2＝13－9.6＝3.4. 5答案：3.4 7．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示． (1)直方图中x的值为________； 解析：(1)由频率分布直方图总面积为1，得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x＋0.006 0)×50＝1，解得x＝0.004 4. 数为100×0.7＝70. 答案：(1)0.004 4 (2)70 8．已知x是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数且1,2，x，－y这四个数据的平均数1 为1，则y－的最小值为________． 2 x 122 解析：由题意1＋2＋x－y＝4，所以y＝x－1.由中位数定义知，3≤x≤5，所以y－＝xx2－1－.当x∈[3,5]时，函数y＝x2－1与y＝－均为增函数，所以y＝x2－1－ xxx123?1?在[3,5]上为增函数，所以?y－?min＝8－＝. 33?x?23 答案： 3 [大题综合练——迁移贯通] 你认为选派谁参赛更合适？并说明理由． 解：根据茎叶图可知，甲的平均成绩 － 111 x甲 ＝ 79＋84＋85＋87＋87＋88＋93＋94＋96＋97－ ＝89，乙的平均成绩x10 乙 ＝ 75＋77＋85＋88＋89＋89＋95＋96＋97＋99 ＝89，甲、乙的平均成绩相等． 10 又甲成绩的方差s甲＝ 2 2 2 122222[(79－89)＋(84－89)＋(85－89)＋(87－89)＋(87－89)＋10 2 2 2 (88－89)＋(93－89)＋(94－89)＋(96－89)＋(97－89)]＝30.4， 乙成绩的方差s乙＝ 2 2 2 122222 [(75－89)＋(77－89)＋(85－89)＋(88－89)＋(89－89)＋(8910 2 2 2 －89)＋(95－89)＋(96－89)＋(97－89)＋(99－89)]＝60.6，故甲成绩的方差小于乙成绩的方差，因此选派甲参赛更合适． 2．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下： (1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数； (2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题： ①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%? ②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由． 解：(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40. (2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.
