长泰一中2015-2016学年上学期期中考试
高二理科数学试卷
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，合计60分,答案用2B铅笔在机读答题卡上填涂。)
1.已知命题p：?x∈R，x>sinx，则p的否定形式为（ ）
A．?p：?x∈R，x B．?p：?x∈R，x≤sinx C．?p：?x∈R，x≤sinx D．?p：?x∈R，x 2.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是（ ） A．一条直线和一条双曲线 B．两条双曲线 C．两个点 D．以上答案都不对 3.对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（ ） A．都可以分析出两个变量的关系 B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C．都可以作出散点图 D．都可以用确定的表达式表示两者的关系 4. 口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ） A．0.45 B．0.67 C．0.64 D．0.32 5.已知p：x2－x<0，那么p的一个必要不充分条件是（ ） 12 A．0 23 1 D. 6．某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现 有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7.在如图的程序框图中，输入n＝60，按程序运行后输出的结果是（ ） 1 A．0 B．3 C．4 D．5 8.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是（ ） A.17 B.15 C. 1715 D. 44 9.将一根长10 cm的铁丝用剪刀剪成两段，然后再将每一段剪成等长的两段，并用这四段铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积大于6 cm2的概率等于（ ） 1234 A. B. C. D. 5555 10.已知命题p：?x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立． 若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（ ） A．m≥2 B．m≤－2或m>－1 C．m≤－2或m≥2 D．－1＜m≤2 x2y2 11.已知F1、F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点， ab 过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线 12.已知抛物线y2＝4x上两个动点B、C和点A(1,2)，且∠BAC＝90°，则动直线BC必过定点（ ） A．(2,5) B． (－2,5) C．(5，－2) D．(5,2) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案直接写在答题卷相应位置 上。) x2y2 13.若椭圆25＋16＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是 ▲ . 14.课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ▲ ． 15.在1,2,3,4,5这5个自然数中，任取2个不同的数，它们的积是偶数的概率是 ▲ . 16.已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为 ▲ . 三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试，测得 他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下： 甲 乙 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36 试判断选谁参加某项重大比赛更合适? 2 218.（本小题满分12分）设p：方程x?mx?1?0有两个不等的负实根， q：方程4x?4(m?2)x?1?0无实根， 若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围． 2 19.（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为23. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围。 20.（本小题满分12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为6的概率； （2）两数之积是6的倍数的概率。 （3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在直线x-y=3的下方区域的概率。 21.（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下： (Ⅰ）试确定x,y的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）； (Ⅱ）完成相应的频率分布直方图. (Ⅲ）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由. 3 22.（本小题满分12分） 3x2y2 如图，椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线x??a和y??b所围成的 2ab矩形ABCD的面积为8. （1）求椭圆M的标准方程； （2）设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T,求 |PQ|的最大值及取得最大值时m的值． |ST| 4 参考答案 一、选择题：（每题5分，共60分） 题号 答案 1 C 2 C 3 4 5 B 6 A 7 D 8 A 9 A 10 B 11 C 12 C C D y2y21212解析：设B(，y1)，C(，y2)，BC的中点为D(x0，y0)，则y1＋y2＝2y0， 44 2y1x－ 4y－y1 直线BC：22＝，即：4x－2y0y＋y1y2＝0 ①；又AB·∴y1y2＝－4y0－20，AC＝0，y2y1y2－y1 －44 代入①式得：2(x－5)－y0(y＋2)＝0，则动直线BC恒过x－5＝0与y＋2＝0的交点(5，－2)． 二、填空题：（每题5分，共20分） 7 13．4 14．2 15． 16．4 10 16解析：依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4. 三、解答题（共6个小题，满分70分） 17．解：x甲＝33，x乙＝33 2s甲?38472＞s乙?，乙的成绩比甲稳定，应选乙参加比赛更合适。………10分 332???m2?4?018．解：若方程x?mx?1?0有两个不等的负实根，则?， …2分 ?x1?x2??m?0所以m?2，即p:m?2． ………3分 若方程4x?4(m?2)x?1?0无实根，则??16(m?2)?16?0， ……5分 即1?m?3， 所以p:1?m?3． …………………6分 因为p?q为真，则p,q至少一个为真，又p?q为假，则p,q至少一个为假． 所以p,q一真一假，即“p真q假”或“p假q真”． …………8分 22?m?2?m?2 所以?或? …………………10分 m?1或m?31?m?3?? 所以m?3或1?m?2． 故实数m的取值范围为(1,2][3,??)． ……12分 5 x2y2 19．解：(1)设双曲线C的方程为2－2＝1(a>0，b>0)．由已知得：a＝3，c＝2，再 abx22 由a＋b＝c，∴b＝1，∴双曲线C的方程为－y＝1. ……4分 3 2 2 2 2 x22 (2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入－y＝1， 3得：(1－3k2)x2－62kx－9＝0. ……7分 ?Δ＝－k，?62k 由题意知?x＋x＝<0， 1－3k－9?xx＝?1－3k>0， 2 A B 2AB 21－3k2≠0， 解得 3 20．解：（1）两数之和为6的概率为 5； …………………3分 36 （2）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，则由下面的列表可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，所以P（A）=答：两数之积是6的倍数的概率为 155 ?， 36125。 ………………7分 126-5-45-4-3-3-2-10123-2-101234-10123450123456第一次654321积654321112101815129633242016128443025201510363024181286422第4-3-2 2次3-2-12-1101第一次与第二次的差0125566 （3）此问题中含有36个等可能基本事件，记“点(x,y)在直线x-y=3的下方区域”为事件B，则由下列的列表可知，事件B中含有其中3个基本等可能基本事件，∴P（B）=答：点(x,y)在直线x-y=3的下方区域的概率为21．解： (Ⅰ)x?4,y?0.3， 众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.……4分 (Ⅱ）其频率分布直方图如图所示： 31?，36121。 …………………12分 12 6 ……8分 (Ⅲ)样本的平均数为 7.5?0.1?22.5?0.3?37.5?0.2?52.5?0.2?67.5?0.1?82.5?0.1?40.5 因为40.5?35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进. ………12分 c3a2?b23??……①…………1分 22．解：(1)e??a2a24矩形ABCD面积为8，即2a?2b?8……② 由①②解得：a?2,b?1， …3分 x22∴椭圆M的标准方程是?y?1. ………………………4分 4?x2?4y2?4,?5x2?8mx?4m2?4?0， (2)??y?x?m,84m2?4设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??m,x1x2?， …………………6分 5522由??64m?20(4m?4)?0得?5?m?5. ……………………7分 4m2?442?8?|PQ|?2??m??4?5?m2. ………………8分 55?5?当l过A点时，m?1，当l过C点时，m??1. ……………9分 2①当?5?m??1时，有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?2(3?m)， |PQ|45?m2446?????1， |ST|5(3?m)25t2t13245|PQ|5. 其中t?m?3，由此知当?，即t?,m???(?5,?1)时，取得最大值t4533|ST|②由对称性，可知若1?m?5，则当m?③当?1?m?1时，|ST|?22，由此知，当m?0时， 52|PQ|5. 时，取得最大值35|ST||PQ|2?5?m2， |ST|52|PQ|5. ……11分 取得最大值5|ST|7 52|PQ|5.………………12分 综上可知，当m??和0时，取得最大值35|ST| 8
