【规范解答】A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B. 【总结与反思】仔细观察，图象与定义域值域一一对应
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【例题4】
【题干】已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。
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【规范解答】∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；∴0?x?1?2 ； ∴f(x)的定义域为[0,2]；
∴f(2x-1)中，0?2x?1?2，∴?13?13?2?x?2，∴f(2x-1)的定义域为??x|?2?x?2??
【总结与反思】本题旨在考查复合函数的定义域（1）定义域是指x的取值范围（2）“（）”内的范围相同
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【例题5】
【题干】求f(x)?x?x?1的值域
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【规范解答】带有根号的函数利用换元法求值域 令t?x?1(t?0),t2?1?x，
y?t2?1?t?(t?152)2?4,t?0,y??1
【总结与反思】带根号的函数都利用换元法转化成二次函数即可
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函数的概念及其三要素（定义域、值域和解析式） 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 高中数学 人教A版 适用年级 课时时长（分钟） 高中一年级 60 函数的定义、两个函数的相等、映射的定义 （1）理解函数的概念； （2）函数的三要素； （3）会求简单函数的定义域、值域和它的表达式 教学重点 教学难点 函数概念的理解，能根据概念判断对应、图象是否为函数 会求简单函数的定义域 了解分段函数、抽象函数、复合函数
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教学过程
一、预习导入
函数及其三要素的知识网络图：
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二、复习预习
初中函数的定义：
一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定了一个y值，那么称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量。 初中学过哪些函数？ 一次函数y=kx+b（k?0）； 反比例函数y=k/x（k?0）； 二次函数y=ax2+bx+c（a?0）。
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三、知识讲解
考点1 函数的定义
设A、B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。
其中，x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域，值域是B的子集。 注意：
1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○
2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． ○
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考点2 函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（2）三要素的运用之判断两个函数的相等：当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.
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考点3 区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 ［a,b］ {x|a
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{x|x 考点4 函数的定义域 (1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集). (5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 8 考点5 求值域的方法 （1）配方法， （2）换元法， （3）分离常数法 9 考点6 求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式。例如：一次函数、二次函数、反比例函数。——待定系数法； （2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)——复合函数换元法 1f()（3）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，例如：f(?x)或者x。此时需构造另个等式——解 方程组法 10 四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列各题中，函数f(x)与g(x)是不是同一函数？说明理由。 ①f(x)?x2?1x?1，g(x)?x?1； ②f(x)?x2，g(x)?x； ③f(x)?x?2，g(x)?x2?4x?4； ④f(x)?1，g(x)?x0； 11 【规范解答】 ①?f(x)的定义域是?x?R|x?1?，而g(x)的定义域是R，f(x)与g(x)的定义域不同，?f(x)与g(x)是两个不同的函数。 f(x)?x2?xf(x)g(x)②与的定义域都是R，又，即f(x)与g(x)的对应法则边相同，所以f(x)与g(x)是相同函 数。 g(x)?x?2③由于f(x)?x?2，，它们对应法则不同，所以f(x)与g(x)是不同函数。 ④是不同函数，f(x)的定义域是R，而g(x)的定义域是?x?R|x?0? 【总结与反思】注意：定义域、值域、对应法则是函数的三大要素，定义域与对应法则确定则值域也随而定，故两个函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则（在本质上）相同。 12 【例题2】 【题干】已知函数f(x)=x?3+1x?2, (1)求函数的定义域; 2(2)求f(-3),f(3)的值; (3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值. 13 ?x?3?0,【规范解答】(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足?解得-3≤x<-2或x>-2, x?2?0.?即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞). (2)f(-3)=-3?3+ 1221333?3?=-1;f()==?. 2?3?23382?23(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞), 即f(a),f(a-1)有意义. 则f(a)=a?3+ 111;f(a-1)=a-1?3?=a?2?. a?2a?1?2a?11有意义的自变量的取x?2【总结与反思】(1)函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使x?3和 1有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组. x?222(2)f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()表示自变量x=时对应的函数值. 33值范围;x?3有意义,则x+3≥0, (3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值. 分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值. 14 【例题3】 【题干】设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（ ） y2yyy222-2oxA2-2oB2x-2oC2x-2oD2x 15 课程小结 1.判断所给对应是否是函数的基本步骤 （1）集合A、B是否是非空数集， （2）集合A中数x的任意性，集合B中数y的唯一性.即：A中元素必须用尽，B中元素可以有剩余。（3）对应可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。 2.函数的定义域 (1)整式,那么函数的定义域是实数集R. (2)分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 (5)对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约. 3.求值域的方法 21 （1）配方法， （2）换元法， （3）分离常数法。 4.求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式。例如：一次函数、二次函数、反比例函数。——待定系数法； （2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)——复合函数换元法 1f()（3）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，例如：f(?x)或者x。此时需构造另个等式——解 方程组法 22
