宿迁青华中学2015届高三数学周练十二
苏州市2014—2015学年第一学期高三期中调研试卷
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置) ．．．1．集合?1,2?的子集个数为 ． 2．“?x?0，x?1?x”的否定是 ． 3．函数f?x??sinxcosx的最大值是 ． 4．已知tan???15,且??(3?,2?)，则cos?＝ ． 2A5．等差数列{an}中，a1?a2?2,a7?a8?8,则该数列前十项的和S10? ． 6．平面向量a?(3,1)，b?(?23,2)，则a与b的夹角为 ． 7．已知f(x)??ax3?cx?2，若f(5)?7，则f(?5)? ． 8．如图，在?ABC中，已知B??4，D是BC边上一点，AD?10， BDCAC?14，DC?6，则AB? ．
9．已知直线ax?by?3?0与f(x)?xex在点P(1,e)处的切线互相垂直， 则10．函数y?lgx?1?1的零点个数是 ．
x11．已知平行四边形ABCD中，AB?2，为 ．
12．已知正实数x,y满足x?2y?4，则
a? ． bABAB?ADAD?3ACAC，则平行四边形ABCD的面积
y1?的最小值为 ． 4xy??x2?2ax(x≥1)13．已知函数f(x)??，若存在两个不相等的实数x1,x2，使得f(x1)?f(x2)，
2ax?1(x?1)?则a的取值范围为 ．
14．若关于x的不等式ax2＋x－2a＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a的取值范围为 ． 二、解答题(本大题共6个小题，共90分，
15．(本题满分14分)已知向量a??3sinx,cosx，b??cosx,cosx?，f(x)?2ab??1．
(1)求函数f(x)的单调递减区间及其图象的对称轴方程； (2)当x??0,??时，若f(x)??1，求x的值．
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16．(本题满分14分)已知△ABC的面积为S，且AB?AC?S．
（1）求tanA的值； （2）若B??4，c?3，求△ABC的面积S．
17．(本题满分14分)如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为100km，
从A到C，必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25km/h，再乘汽车到C，车速为50km/h，记?BDA??．
DB（1）试将由A到C所用的时间t表示为?的函数t(?)； Cθ（2）问?为多少时，由A到C所用的时间t最少？
A
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18．(本题满分16分)已知函数f(x)?x2?1，g(x)?ax?1，F(x)?f(x)?g(x)． (1) a?2，x??0,3?，求F(x)值域； (2) a?2，解关于x的不等式F(x)≥0．
19．(本题满分16分)设函数f(x)?x3?b2x?cx2(b,c?R)．
（1）b?2，c??1，求y?f(x)的单调增区间；
（2）b??6,g(x)?f(x),若g(x)≤kx对一切x??0,2?恒成立,求k的最小值h(c)的表达式；
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20．(本题满分16分)已知等差数列?an?，其前n项和为Sn.若S4?4S2,a2n?2an?1． （1）求数列?an?的通项公式；
（2）对任意m?N*，将数列?an?中落入区间(2m,22m)内的项的个数记为?bm?；
①求数列?bm?的通项公式bm；
Tm?t21，数列的前项和为，求所有使得等式成立 ?Tcm??mm2m?12?bmTm?1?tct?1 的正整数m，t．
②记cm?
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宿迁青华中学2015届高三数学周练十二 (附加)
?10?21．已知曲线C: y2?2x，在矩阵M???对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵?02?N??0?1???10?对应的变换作用下得到曲线?C2，求曲线C2的方程．
22. 已知曲线C?1的极坐标方程为?cos??????3????1，??22cos???????4??，判断两曲线的位置关系．
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线C2的极坐标方程为曲
23．在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD?DP，
CD?平面ADPQ，AB?AQ?（1）求证：PQ?平面DCQ；
1DP． 2C B （2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．
D P
A
Q
24．某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去A,B,C三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员． （1）求甲、乙同时去A班听课的概率；
（2）设随机变量?为这五名评估员去C班听课的人数，求?的分布列和数学期望．
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高三数学参考答案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．4 2．?x?0,使x?1?x 3．1 4． 5． 30 6． 7．-3
2438．56 9．-12?123 10．3 11．23 12．1 13．?0,??? 14． [,) 2e77二、解答题 (本大题共6个小题，共90分)
15．(本题满分14分)
解：解：（1）f(x)?2(3sinxcosx?cos2x)?1?3sin2x?cos2x
?2sin(2x?) …………………………………………………………………………2分
6??3??2?2k???2x??2k???k???x?k??，…………………………5分
26263?2?],k?Z-------------------------------------6分 即函数f(x)的单调递减区间[k??,k??63??k???，------------------------------------------------------------8分 令2x??k???x?6226k???,k?Z-----------------------------------------------9分 即函数f(x)的对称轴方程为x?26??1（2）f(x)??1，即2sin(2x?)??1?sin(2x?)??-------------------------------10分
662??13?x??0,???2x??[,]；
666?7???x?----------------------------------------------------------------------------------12分
662?11?5??x? 2x??-------------------------------------------------------------------------------14分
666（注：k?Z漏写扣1分） 2x??16．(本题满分14分)
（1）设△ABC的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
?1?AB?AC?S,?bccosA?bcsinA,-----------------------------------------------------------3分
21?cosA?sinA, ?tanA?2. ------------------------------------------------------------6分
2（2） ?tanA?2,0?A??2,
?sinA?255,cosA?. --------------------------------------------------------------------------9分 55
?sinC?sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB?25252310????.-----------------------------------------------------------11分 525210 第 7 页 共 12 页
由正弦定理知：
cbc??b??sinB?5,---------------------------------13分 sinCsinBsinC1125S?bcsinA?5?3??3.----------------------------------------------------------14分
22517．(本题满分14分) 解：（1）AD?DB2θ---------------------------------------------------2分 t1?sin?5050c?os50cos? BD?， ?CD?100?BD?100?tan?s?insin?cos? 所以D到C所用时间t2?2?---------------------5分
sin?A2?cos? 所以t(?)?t1?t2??2------------------------6分
sin?2sin??(2?cos?)cos?1?2cos?? （2）t?(?)?----8分 2sin?sin2???1?? 令t?(?)?0?cos??????；所以??(,)，t(?)单调增；------10分
32232 令?BCA??0，则同理?0???所以??50，所以A到D所用时间 sin?C?3，t?(?)?0，t(?)单调减-----------------------12分
?3，t(?)取到最小值；---------------------------------------------------------13分
答：当???3时，由A到C的时间t最少----------------------------------------------14分
注：若学生写0???18．(本题满分16分)
?3，t?(?)?0，t(?)单调减，不扣分
?x2?2x?1(1?x?3)解：（1）F(x)?f(x)?g(x)?x?1?2x?1??2；-----------------2分
?x?2x?3(0?x?1)1?x?3，x2?2x?1??0,4?；--------------------------------------------------------------------------4分
20?x?1，x2?2x?3???3,0?；------------------------------------------------------------------------6分
所以F(x)?f(x)?g(x)的值域为[?3,4]；-----------------------------------------------------------7分
?(x?1)(x?1?a)(x?1)（2）F(x)??；-----------------------------------------------------------9分
(x?1)(x?1?a)(x?1)? x?1，F(x)?0，a?2，得x?1或x?a?1；?x?a?1或x?1--------------------------12分 x?1，F(x)?0，得x??a?1或x?1；?x??a?1------------------------------------------14分 综上：F(x)?0?x??a?1或x?a?1或x?1--------------------------------------------------16分
19．(本题满分16分)
?1?5?1?5)x(x?)?0 解： （1）f(x)?x3?x2?x?x(x2?x?1)?(x?22?1?5?1?5?x?0或 x? ?-------------------------------------------------------1分 22 第 8 页 共 12 页
f?(x)?3x2?2x?1?(x?1)(3x?1)?0?x??1或x? 所以(1-----------------------------2分 3?1?5?1?5,?1)与(,??)为y?f(x)单调增区间；----------------------3分 22?1?5?1?5 同理 f(x)?0?x?或0?x?----------------------------------------4分
221 f?(x)?0??1?x?----------------------------------------------------------------------5分
31 所以(0,)为y?f(x)单调增区间---------------------------------------------------------6分
3?1?5?1?51,?1)， (0,)， (,??)-----7分 综上 y?f(x)的单调增区间为(22332（2）g(x)≤kx即|x?3x?cx|≤kx．
当x?0时，上式对一切x?[0,2]恒成立；
当x?(0,2]时，即|x2?3x?c|≤k对一切x?(0,2]恒成立．
∴h(c)?|x2?3x?c|max，x?(0,2]--------------------------------------------------------9分
9I）当c≥时，|x2?3x?c|max在x?0时取得，∴h(c)?c---------------------10分
49 II）当c?时，
4 （ⅰ）若c?0
9 则c??c?2?c?0
49 所以|x2?3x?c|max??c-------------------------------------------------------------12分
49 （ⅱ）0?c?
49 因为2?c??c，且c?2?c所以c?2不会是最大值；---------------------13分
49?9c(?c?),?9?84 所以|x2?3x?c|max?max{c,?c}??----------------------------15分
994??c(c≤).?8?49?c(c?),??8 由I），II），得h(c)??---------------------------------------------------16分
99??c(c≤).?8?4
20．(本题满分16分) 解：（１）S4?4S2?2a1?5d?6a1?3d，即d?2a1；------------------------------1分
a2n?2an?1?an?nd?1； ------------------ ------------------------------------2分
所以a1?1,d?2，an?2n?1；------------------ ------------------------------------4分
（２）2?2n?1?2m2m?2m?1?2n?22m?1------------------ -----------------6分
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11?n?22m?1??2m?1?1?n?22m?1；------------------ -------------8分 22得bm?22m?1?2m?1； ------------------ ------------------------------------------------9分
212?m?1?()m?2；------------------ -------------------------------------10分 cm?2m?122?bm2?2m?1?1?，------------------ -------------------------------------------------------------11分 m?2?T?tc211由m，得1?m?1?1?ct，化简得， ??(4?t)2m?42t?2Tm?1?tct?1Tm?t得Tm?4?1???即(4?t)2m?4?2t?1，即(4?t)2m?4?2t?1．------------------------------------------- 13分（*）
?4?0，所以(4?t)?2m?0，所以t?4， *因为t?N，所以t?1或2或3．
m当t?1时，由（*）得3?2?5，所以无正整数解；
m当t?2时，由（*）得2?2?6，所以无正整数解；
m当t?3时，由（*）得2?8，所以m?3．
综上可知，存在符合条件的正整数m?t?3．-------------------------------------------16分
因为2
B．(矩阵与变换, 本题满分10分) 解：设A?NM
?0?1??10??0?2?则A????02???10?， ………………………………………………………3分 10??????设P?x', y'?是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P?x, y?， ?x??0?2??x'???2y'?则 ??????y'???x'?， 10y????????x'?y,?x??2y',??即?∴?1x. ……………………………7分 y'??y?x',???2又点P?x', y'?在曲线C: y2?2x上，∴ (?1x)2?2y，
2即y?1x2．………………………………10分
8t?1
C．(极坐标与参数方程, 本题满分10分)
解：将曲线C1,???C2化为直角坐标方程得：
C1:??x?3y?2?0，----------------------------------------------------------------------3分
C2:?x2?y2?2x?2y?0-------------------------------------------------------------------6分
即C2:??x?1???y?1??2，
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22
圆心到直线的距离d?1?3?21?2?3?2?3?3?2，-------------------------8分 2∴曲线C1与C2相离．-----------------------------------------------------------------------10分
22．(本题满分10分)
（1）由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ……………………1分 设AB?a，则D(0,0,0)，C(0,0,a)，Q(a,a,0)，P(0,2a,0)，
故DC?(0,0,a)，DQ?(a,a,0)，PQ?(a,?a,0)， ………………2分 因为DC?PQ?0，DQ?PQ?0，故DC?PQ，DQ?PQ， 即DC?PQ，DQ?PQ， 又DCDQ?D ……4分
所以，PQ?平面DCQ． ………………………5分
（2）因为DC?平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量
为n1?(0,0,1)， --------------------------------6分 点B的坐标为(a,0,a)，则QB?(0,?a,a)，QC?(?a,?a,a)， 设平面BCQ的一个法向量为n2?(x,y,z)，则n2?QB?0，n2?QC?0，
??????ay?az?0,??y?z?0,故?即?取y?z?1，则x?0，
?ax?ay?az?0,?x?y?z?0,???故n2?(0,1,1)． -------------------------------------------------------------------------------------------8分
????n1?n212设n1与n2的夹角为?，则cos?????．-------------------------------------- 9分 ?|n1||n2|22?所以，平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小为-------------------------------------- 10分
4
23．(本题满分10分)
（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班
3322级各两个、另一个班级一个。故总共的听课可能性有C5A3?3C5C3?150种，其中甲乙同时去A2211班听课的可能性有C3A2?C3C2?12种 -------------------------------------2分
所以所求概率为P?122? 15025---------------------------------------------4分
（2）?可取值为1，2，3
112C52?C4?C47P???1???
150151C52?2?C36P???2???
15015?? 第 11 页 共 12 页
31C5C22P???3??? ----------------------------------------------8分
15015从而?分布列为：
? 1 2 3 762P 1515157625?E????1??2??3?? -------------------------------------10分
1515153
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