随机变量及其分布
【知识要点】
一．离散型随机变量的相关概念
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变
量随机变量，常用字母X、Y、?、?等表示；
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以 ，这
样的随机变量叫做离散型随机变量。若?是随机变量，??a??b（a、b是常数），则?也是随机变量。
（3）离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X可能取的值为x1、x2???xi???，X取
每一个值xi?i?1,2,????的概率为P?X?xi??pi，则称表
? P x1 p1 x2 ? ? xi ? pi ? p2 为 ，简称X的分布列。
（4）离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
； 。
二．两点分布：若随机变量X的分布列为:
X P 0 1?P 1 P 则称 . 而称p?P?X?1?为成功概率.
三．超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X
件次品，则 即
X P 0 0n?0CMCN?MnCN 1 ??? ??? ??? m mn?mCMCN?MnCN
若随机变量X的分布列如上表，则称 .
四．条件概率：对任意事件A和事件B， ， 叫做条件概率。记作PBA，读作A发生的条件下B发生的概率.条件概率计算公式 性质：（1） （2）若B与C为互斥事件，则 五．相互独立事件：事件A (或B)是否发生对事件B (或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件
1
??叫做相互独立事件。注：
（1）判断两事件A、B是否为相互独立事件，关键是看A（或B）发生与否对
B（或A）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立.
（2）互斥事件是指 的两个事件；相互独立事件是
指 . （3）如果A、B是相互独立事件，则 、 、 也都
相互独立.
（4）两个相互独立事件A、B同时发生的概率 六．独立重复试验及二项分布
定义：在 进行的，各次之间 的一种试验 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数X是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是 ，
(k?0,1,2,X P ,q?1?p)于是得到随机变量X的概率分布如下：
1 ? k ? n nn0Cnpq 0 00nCnpq 11n?1Cnpq ? kkn?kCnpq ? kkn?k由于Cnpq恰好是二项式展开式：
00n11n?1(p?q)n?Cnpq?Cnpq?kkn?k?Cnpq?nn0?Cnpq中的各项的值，所以称这样
的随机变量X服从 ，记作 .
七．期望：数学期望: 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xn pn ? ? 则称E?? 为X的数学期望，简称期望。数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 八．方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，?，xn，?，且取这些值的概率分别是p1，p2，?，pn，?，那么,
D?＝ ＋?
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E?是随机变量ξ的期望． 方差的性质：（1） ；（2） ；
（3）若 ，则 （4）若 ，则 2
标准差:D?的算术平方根D?叫做随机变量ξ的标准差，记作??．
九．正态分布：
总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
频率/组距总体密度曲线单位Oab
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
式中的实数?、?(??0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，??,?(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．一般地，如果对于任何实数a?b，随机变量X
满足 ,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数?和?确定，因此正态分布常记作N(?,?)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 . 说明：
1、参数?是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；?是衡量
随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．
2、正态分布N(?,?)）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 3、通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 4、正态曲线有以下特点：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交；（2）曲线关于直线x=μ对称；
22（3）当x=μ时，曲线带到峰值
1 ；（4）曲线与x轴之间的面积为1
?2? 3
（5）当?一定时，曲线的位置由?确定，曲线随着?的变化而沿x轴平移.当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；
σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中。
5、标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是
f(x)?12?e?x22，（-∞＜x＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线 6、对于正态总体N(?,?)取值的概率：
268.3%x95.4%x99.7%x2σ4σ6σ
在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别
为68.26%、95.44%、99.74% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分
布情况，而忽略其中很小的一部分 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N的（?，?）2随机变量X只取（μ-3σ，μ+3σ）之间的值，并简称之为3?原则。
【经典例题】
4
例（2012广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
?40,50?,?50,60?,?60,70?,?70,80?,?80,90?,?90,100?
（1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人， 该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为?， 求?的数学期望。
【经典习题】
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确的个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2．袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个，
用X表示取到白球的个数，则X的分布列为（ ）
3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拔，他第一次失败，第二次成
1289 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 101010104．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（ ）Ａ．1.4 Ｂ．0.9 Ｃ．0.6 Ｄ．0.48
5．某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件中6件装成一盒，那么该盒中恰好含一件次品的概率是（ ） 功的概率是（ ）Ａ．
?99?110.01Ａ．? Ｂ． Ｃ．C??6?100?10021
(1-)1007 165
1??1??·1?Ｄ．C???? ?100??100?2624?1?6．设随机变量X~B?6，?，则P(X?3)等于（ ）
?2?Ａ．
5 16Ｂ．
3 165Ｃ．
8Ｄ．
5
7．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为（ ）Ａ．ab Ｂ．a?b Ｃ．1?ab Ｄ．1?a?b
(DX)28．设随机变量X~B(n，p)，则等于（ ）
(EX)2Ａ．p2
Ｂ．(1?p)2
Ｃ．np
Ｄ．p2(1?p)
9．正态分布N(?，?2)在下面几个区间内的取值概率依次为（ ） ①???3?，??3??
②???2?，??2??
③????，????
Ａ．①68.3% ②95.4% ③99.7% Ｂ．①99.7% ②95.4% ③68.3% Ｃ．①68.3% ②99.7% ③95.4% Ｄ．①95.4% ②68.3% ③99.7%
10．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正确的是（ ） Ａ．EX?0.01 Ｃ．DX?0.1
Ｂ．P(x?k)?0.01k?0.9910?k
k Ｄ．P(x?k)?C10·0.01k?0.9910?k
11．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正
态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同 二、填空题
12．若P(X?0)?1?p，P(X?1)?p，则E(2X?3)? ．
13．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰 有1台雷达发现飞行目标的概率为 ．
14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品 数X的均值为 个，方差为 ．
，7?内取值的概率相等时，?? ．15．设X~N(?，?2 )，当x在?13?内取值的概率与在?5，
三、解答题
16．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为X1，X2，且X1和X2的分布列为：
XX0 1 2 0 1 2 613 101010532101010试比较两名工人谁的技术水平更高
6
7．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为（ ）Ａ．ab Ｂ．a?b Ｃ．1?ab Ｄ．1?a?b
(DX)28．设随机变量X~B(n，p)，则等于（ ）
(EX)2Ａ．p2
Ｂ．(1?p)2
Ｃ．np
Ｄ．p2(1?p)
9．正态分布N(?，?2)在下面几个区间内的取值概率依次为（ ） ①???3?，??3??
②???2?，??2??
③????，????
Ａ．①68.3% ②95.4% ③99.7% Ｂ．①99.7% ②95.4% ③68.3% Ｃ．①68.3% ②99.7% ③95.4% Ｄ．①95.4% ②68.3% ③99.7%
10．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正确的是（ ） Ａ．EX?0.01 Ｃ．DX?0.1
Ｂ．P(x?k)?0.01k?0.9910?k
k Ｄ．P(x?k)?C10·0.01k?0.9910?k
11．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正
态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小
Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同 二、填空题
12．若P(X?0)?1?p，P(X?1)?p，则E(2X?3)? ．
13．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰 有1台雷达发现飞行目标的概率为 ．
14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品 数X的均值为 个，方差为 ．
，7?内取值的概率相等时，?? ．15．设X~N(?，?2 )，当x在?13?内取值的概率与在?5，
三、解答题
16．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为X1，X2，且X1和X2的分布列为：
XX0 1 2 0 1 2 613 101010532101010试比较两名工人谁的技术水平更高
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