江苏省南京市雨花区梅山二中2018～2018学年度八年级上学期期末数学试卷
一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分） 1．= ． 2．化简： 3．2﹣
（x＞0）= ．
的绝对值是 ．
4．计算：（2+）2﹣（2﹣）2= ．
5．函数y=的定义域为 ．
6．已知函数f（x）=2x﹣，那么f（﹣）= ．
7．直线y=3x﹣1在y轴上的截距是 ．
8．函数y=3xm+1，当m= 时是反比例函数．
9．已知点P（﹣3，4）、Q （3，﹣4），则线段PQ的长为 ．
10．边长为2cm的等边三角形的高为 cm．
11．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，1m，则这个花坛的面积是 cm2．
12．到定点A的距离为9cm的点的轨迹是 ．
13．已知等腰三角形的周长等于20，底边为x，那么它的腰长y与x的函数关系式是 ，x的取值范围是 ．
14．如图，点P在函数y=﹣x的图象上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AP最短时，点P的坐标为 ．
二、选择题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 15．下列方程中，有一个根为﹣1的方程是（ ）
A．x2﹣x=0 B．x2﹣7x+6=0 C．2x2﹣3x﹣5=0 D．3x2+2x﹣5=0
16．下列各式中是一次函数的是（ ） A．y=2（x﹣6）2 B．y=2（x﹣6） C．y=
D．2（x﹣6）=0
17．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A．6、8、10 B．1、1、 C．2、6、 D．7、24、25 18．AB=AC，如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F，则与∠BDC相等的角是（ ）
A．∠DBE B．∠CBE C．∠BCE D．∠A
三、简答题： 19．计算： （1）（2）
﹣2a2
．
20．解方程：x2+4x﹣1=0．
21．如图，点P是一个反比例函数与正比例函数y=﹣2x的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0）．
（1）求这个反比例函数的解析式．
（2）如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标．
22．AB的垂直平分线交BC于点D，DE=6，BD=△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，如图，
AE⊥BC于E，求EC的长．
，
23．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D． （1）∠ECD和∠EDC相等吗？ （2）OC和OD相等吗？
（3）OE是线段CD的垂直平分线吗？
24．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，5），并且与y轴相交于点P，直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求△ABP的面积．
四、解答题：
25．已知BD、CE分别是△ABC的AC边、AB边上的高，M是BC边的中点，分别联结MD、ME、DE．
（1）当∠BAC＜90°时，垂足D、E分别落在边AC、AB上，如图1，求证：DM=EM．
（2）若∠BAC=135°，试判断△DEM的形状，简写解答过程．
（3）当∠BAC＞90°时，设∠BAC的度数为x，∠DME的度数为y，求y与x之间的函数关系式．
江苏省南京市雨花区梅山二中2018～2018学年度八年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分） 1．= ．
【考点】二次根式的性质与化简． 【专题】计算题．
【分析】由于=3，根据二次根式的性质进行解答，便可得所求结果． 【解答】解： ∵=3， ∴
=
=
=
，
故答案为．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：①定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a=0时，=0；当a＜0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根），②性质： 2．化简：
（x＞0）= 3x
．
=|a|．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】直接根据二次根式的性质即可得出结论． 【解答】解：∵x＞0， ∴原式=3x． 故答案为：3x．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简法则是解答此题的关键．
3．2﹣的绝对值是 ． 【考点】实数的性质． 【专题】计算题．
【分析】先判断2﹣的正负值，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数”即可求解．
【解答】解：2﹣的绝对值是|2﹣|=﹣2． 故本题的答案﹣2．
【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际当中．
4．计算：（2+）2﹣（2﹣）2= 8 ． 【考点】二次根式的混合运算．
【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案．
【解答】解：（2+）2﹣（2﹣）2 =（4+3+4）﹣（4+3﹣4） =8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．
5．函数y=的定义域为 x≤ ． 【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于或等于0，可得答案． 【解答】解：由y=，得 1﹣3x≥0， 解得x≤，
故答案为：x≤．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．已知函数f（x）=2x﹣，那么f（﹣）= ﹣ ． 【考点】函数值．
【分析】把自变量x的值代入函数关系式进行计算即可得解． 【解答】解：f（﹣
）=2×（﹣
）﹣
，
=﹣2+， =﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了函数值，是基础题，熟记函数值的定义以及求解方法是解题的关键．
7．直线y=3x﹣1在y轴上的截距是 ﹣1 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直线与y轴的交点坐标的横坐标为0． 【解答】解：∵y=3x﹣1， ∴当x=0时，y=﹣1，
∴直线y=3x﹣1在y轴上的截距是﹣1． 故答案是：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为
0）b）常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，；与y轴的交点坐标是（0，．直
线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
8．函数y=3xm+1，当m= ﹣2 时是反比例函数． 【考点】反比例函数的定义．
【分析】根据反比例函数的定义可得m+1=﹣1，再解方程即可求解． 【解答】解：∵y=3xm+1是反比例函数， ∴m+1=﹣1， 解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数的三种形式y=，k=xy，y=kx﹣1（k为常数，k≠0）．
9．已知点P（﹣3，4）、Q （3，﹣4），则线段PQ的长为 10 ． 【考点】坐标与图形性质． 【专题】计算题．
【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：线段PQ的长=
=10．
故答案为10． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．解决本题的关键是记住两点间的距离公式．
10．边长为2cm的等边三角形的高为 cm． 【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，即可求得BD的长，又由勾股定理即可求的高．
【解答】解：如图：过点A作AD⊥BC于D， ∵等边三角形△ABC的边长为2cm， ∴DC=DB=1cm， ∵AB=2cm， ∴AD=故答案为
．
=
cm．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意熟练掌握等边三角形的性质是解此题的关键． 11．12cm，1m， 测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，则这个花坛的面积是 30 cm2．【考点】勾股定理的应用． 【专题】应用题．
【分析】根据三角形花坛的三边长可知符合勾股定理的逆定理的表达式，根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形，再代入直角三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵52+122=132，∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为5cm和12cm， ∴花坛面积=×5×12=30（cm2）． 【点评】本题主要是根据勾股定理的逆定理推出此三角形为直角三角形，再根据直角三角形的面积解答．
12．到定点A的距离为9cm的点的轨迹是 以A为圆心，以9cm为半径的圆 ． 【考点】轨迹．
【分析】根据到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，据此即可解答．
【解答】解：到定点A的距离为9cm的点的轨迹是：以A为圆心，以9cm为半径的圆． 故答案是：以A为圆心，以9cm为半径的圆．
【点评】本题考查了点的轨迹，正确理解圆的定义是关键．
13．已知等腰三角形的周长等于20，底边为x，那么它的腰长y与x的函数关系式是 y=﹣x+10 ，x的取值范围是 0＜x＜10 ．
【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围．
【分析】等腰三角形的腰长=（周长﹣底边长）÷2，根据腰长大于0可得x的取值范围． 【解答】解：腰长y与x的函数关系式是y=
=﹣x+10，
由题意得：，
解得：x＜10
则x的取值范围是0＜x＜10． 故答案为：y=﹣x+10，0＜x＜10．
【点评】考查了一次函数关系式；根据腰长的代数式得到底边长的取值范围是解决本题的难点．
14．如图，点P在函数y=﹣x的图象上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AP最短时，点P的坐标为 （
） ．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短． 【专题】探究型．
【分析】根据点到直线的所有线段中吹线段最短，可以找到线段AP最短时点P所在的位置，由点A的坐标为（1，0），可以求得点P的坐标，从而本题得以解决． 【解答】解：∵点P在函数y=﹣x的图象上运动，点A的坐标为（1，0）， ∴当线段AP最短时，AP⊥PO于点P，∠AOP=45°， 作PB⊥x轴于点B，如下图所示：
∵AP⊥PO于点P，∠AOP=45°， ∴BP=OB=
，
∵点A的坐标为（1，0）， ∴BP=OB=，
又∵点P在第四象限， ∴点P的坐标是（故答案为：（
）．
），
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和垂线段最短，解题的关键是明确直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短，利用数形结合的思想明确点P所在的象限，可以判断出点P横纵坐标的正负．
二、选择题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 15．下列方程中，有一个根为﹣1的方程是（ ）
A．x2﹣x=0 B．x2﹣7x+6=0 C．2x2﹣3x﹣5=0 D．3x2+2x﹣5=0 【考点】一元二次方程的解．
【分析】分别利用因式分解法解方程，进而判断得出答案． 【解答】解：A、x2﹣x=0 x（x﹣1）=0，
解得：x1=0，x2=1，故此选项错误； B、x2﹣7x+6=0 （x﹣6）（x﹣1）=0，
解得：x1=6，x2=1，故此选项错误； C、2x2﹣3x﹣5=0 （2x﹣5）（x+1）=0，
解得：x1=﹣1，x2=2.5，故此选项正确； D、3x2+2x﹣5=0 （3x+5）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣，x2=1，故此选项错误． 故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握因式分解法解方程是解题关键．
16．下列各式中是一次函数的是（ ） A．y=2（x﹣6）2 B．y=2（x﹣6） C．y=
D．2（x﹣6）=0
【考点】一次函数的定义．
【分析】根据一次函数的定义解答即可．
【解答】解：A、y=2（x﹣6）2，是二次函数，故此选项错误； B、y=2（x﹣6），是一次函数，故此选项正确； C、y=
，不符合一次函数形式，故此选项错误；
D、2（x﹣6）=0，是一元一次方程，故此选项错误． 故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
17．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ） A．6、8、10 B．1、1、 C．2、6、 D．7、24、25 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
【解答】解：A、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故此选项错误． B、∵12+12=（）2，∴能构成直角三角形，故此选项错误；
C、∵（）2+22≠62，∴不能构成直角三角形，故此选项正确； D、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故此选项错误． 故选C． 【点评】主要考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
18．AB=AC，如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F，则与∠BDC相等的角是（ ）
A．∠DBE
C．∠BCE D．∠A
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠BEC=∠ABC．根据三角形的内角和即可得到结论． 【解答】证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠BEC=∠ACB， ∴∠BEC=∠ABC． 又∵∠BCE=∠DCB，
B．∠CBE
∴∠BDC=180°﹣∠ABC﹣∠DCB，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠ECB， ∴∠BDC=∠EBC， 故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三、简答题： 19．计算： （1）（2）
﹣2a2
．
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用完全平方公式计算和分母有理化，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式=
﹣2a
+
=﹣a；
（2）原式=﹣+3﹣2+1+2（=﹣+3﹣2+1+2﹣2 =﹣+2．
﹣1）
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．解方程：x2+4x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解． 【解答】解：∵x2+4x﹣1=0 ∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=1+4 ∴（x+2）2=5 ∴x=﹣2±
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
21．如图，点P是一个反比例函数与正比例函数y=﹣2x的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0）．
（1）求这个反比例函数的解析式．
（2）如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）因为PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0），所以点P的横坐标为2，把其代入正比例函数y=﹣2x求出其纵坐标，再用设反比例函数的解析式为
，求出k的值
即可；
（2）设△MPQ的高为h，因为△MPQ的面积为6，所以可求出h的值，再分：当点M在直线PQ右侧时和当点M在直线PQ左侧时求出点M的坐标即可． 【解答】解：（1）当x=2时，y=﹣2×2=﹣4，∴P（2，﹣4）， 设反比例函数的解析式为 则
，k=﹣8，
； ，
∴反比例函数的解析式为
（2）设△MPQ的高为h． ∵∴
， ，h=3，
当点M在直线PQ右侧时，M（5，）；
当点M在直线PQ左侧时，M（﹣1，8）．
【点评】此题考查的是正比例函数和反比例函数的交点问题以及用待定系数法求反比例函数的解析式，比较简单． 22．AB的垂直平分线交BC于点D，DE=6，BD=△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，如图，，AE⊥BC于E，求EC的长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】首先作出辅助线连接AD，再利用线段垂直平分线的性质计算． 【解答】解：连接AD，
已知DF垂直且平分AB?BD=AD，
∠B=22.5°，∠C=60°?∠BAC=97.5°，
根据三角形外角与外角性质可得， ∠ADE=∠B+∠DAB=45°，AE⊥BC， 故∠DAE=45°?△AED为等腰三角形， 根据等腰三角形的性质可得DE=AE=6， ∵∠C=60°，
∴∠CAE=90°﹣60°=30°， ∴AC=2CE，
在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2， 即4CE2=62+CE2， ∴CE2=12， 解得EC=2．
【点评】本题关键是作出辅助线提示：连接AD．考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．
23．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D． （1）∠ECD和∠EDC相等吗？ （2）OC和OD相等吗？
（3）OE是线段CD的垂直平分线吗？
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质结合全等三角形的性质解答． 【解答】解：（1）∠EDC与∠ECD相等
∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴EC=ED，
∴△CED是等腰三角形， ∴∠EDC=∠ECD；
（2）OC与OD相等 ∵EC⊥OA，ED⊥OB， ∴∠ODE=∠OCE=90°
在Rt△ODE和Rt△OCE中，OE=OE（公共边），DE=CE ∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL）
∴OD=OC
（3）OE是线段CD的垂直平分线 ∵EC=ED，
∴E点在线段CD的垂直平分线上 ∵OC=OD，
∴O点在线段CD的垂直平分线上， ∴OE是线段CD的垂直平分线．
【点评】解答此题，要从已知条件和图形中找出相关信息，利用垂直、全等等性质解答．
24．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，5），并且与y轴相交于点P，直线y=﹣x+3与x轴相交于点B，与y轴相交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称． （1）求这个一次函数的表达式； （2）求△ABP的面积． 【考点】一次函数的性质． 【专题】计算题． 【分析】（1）先利用y轴上点的坐标特征求出Q点坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标特征确定P点坐标，然后利用待定系数法求直线AP的解析式； （2）先利用y=﹣x+3求出B点坐标，再求出直线y=﹣4x﹣3与x轴的交点坐标，则可把△ABP分成两个三角形，然后利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣x+3=3，则Q（0，3）， ∵点Q恰与点P关于x轴对称， ∴P（0，﹣3）， 把P（0，﹣3），A（﹣2，5）代入y=kx+b得
，解得
，
所以这个一次函数解析式为y=﹣4x﹣3；
（2）当y=0时，﹣x+3=0，解得x=6，则B（6，0），
当y=0时，﹣4x﹣3=0，解得x=﹣，则直线y=﹣4x﹣3与x轴的交点坐标为（﹣，0）， 所以△ABP的面积=×（6+）×5+×（6+）×3=27．
【点评】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
四、解答题：
25．已知BD、CE分别是△ABC的AC边、AB边上的高，M是BC边的中点，分别联结MD、ME、DE．
（1）当∠BAC＜90°时，垂足D、E分别落在边AC、AB上，如图1，求证：DM=EM．
（2）若∠BAC=135°，试判断△DEM的形状，简写解答过程．
（3）当∠BAC＞90°时，设∠BAC的度数为x，∠DME的度数为y，求y与x之间的函数关系式．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 【分析】（1）根据已知条件知，MD是Rt△BCD斜边BC上的中线，ME是Rt△BCE斜边BC上的中线，所以根据直角三角形斜边上的中线的性质进行证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，由三角形的外角的性
∠CMD=2∠DBM，质得到∠BME=2∠BCE，根据三角形的内角和得到∠DBC+∠ECM=45°，
即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE，由三角形的外角的性
∠CMD=2∠DBM，质得到∠BME=2∠BCE，根据三角形的内角和得到∠DBC+∠ECM=180°
﹣x，根据平角的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点， ∴在Rt△BDC中，MD是斜边BC上的中线， ∴MD=BC； 同理，得 ME=BC， ∴ME=MD；
（2）∵BM=CM=DM=EM，
∴∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE， ∴∠BME=2∠BCE，∠CMD=2∠DBM， ∵∠BAC=135°，
∴∠DBC+∠ECM=45°， ∴∠BME+∠CMD=90°， ∴∠DME=90°，
∴△DEM是等腰直角三角形；
（3）∵BM=CM=DM=EM，
∴∠DBM=∠BDM，∠MEC=∠MCE， ∴∠BME=2∠BCE，∠CMD=2∠DBM， ∵∠BAC=x，
∴∠DBC+∠ECM=180°﹣x， ∴∠BME+∠CMD=360°﹣2x，
∴∠DME=180°﹣（∠BME+∠CMD）=2x﹣180°， 即y=2x﹣180°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定，三角形的内角和，三角形外角的性质，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：jingjing；CJX；Joyce；蓝月梦；gbl210；2300680618；星
nhx600；HLing；gsls；ZJX；ljj；zhjh；sd2011；lanyan；zcx；wd1899；期八；张国明；王学峰；haoyujun；csiya；lf2-9（排名不分先后） 网
2月15日
参与本试卷答题和审题的老师有：jingjing；CJX；Joyce；蓝月梦；gbl210；2300680618；星
nhx600；HLing；gsls；ZJX；ljj；zhjh；sd2011；lanyan；zcx；wd1899；期八；张国明；王学峰；haoyujun；csiya；lf2-9（排名不分先后） 网
2月15日
