湖北省武汉三十九中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（） A． 异面 B． 平行 C． 相交
2
2
D．以上都有可能
2．（5分）圆x+y﹣4x+6y=0的圆心坐标是（） A． （﹣2，3） B． （﹣2，3） C． （﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 3．（5分）关于直线l，m与平面α，β的命题中，一定正确的是（） A． 若l∥m，m?α，则l∥α B． 若l⊥β，α⊥β，则l∥α C． 若l⊥β，α∥β，则l⊥α D． 若l?β，α⊥β，则l⊥α 4．（5分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m等于（） A． 1
B． 2
C． 4
D．
5．（ 5分）一条直线经过两点A（1，0），B（0，1），它的倾斜角是（） A．
B．
C．
D．
6．（5分）直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（） A． ab＞0，bc＜0 B． ab＜0，bc＞0 C． ab＞0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 7．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧面积为（）
A． 18 C． 12 D．18 8．（5分）已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（） A． （﹣1，0）
B． （1，0）
C． （
）
D．（
）
B． 6
9．（5分）直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0（k∈R）所经过的定点是（） A． （5，2）
B． （2，3）
C． （﹣，3）
D．（5，9）
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10．（5分）若点P（3，﹣1）为圆（x﹣2）+y=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（） A． x+y﹣2=0 B． 2x﹣y﹣7=0 C． 2x+y﹣5=0 D．x﹣y﹣4=0
二、填空题（每空5分，共35分） 11．（5分）8251与6105的最大公约数是．
12．（5分）412（5）=（7）．
13．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=2x+5x﹣x+9x+1当x=3时的值的过程中，第三步v3=． 14．（5分）一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取人． 15．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0、1、2、…、99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、…、10，现在用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，若m=5，则在第七组中抽取的号码是．
16．（5分）斜率为3且与圆x+y=10相切的直线方程为．
17．（5分）已知曲线C：y=
围是．
三、解答题（共5小题，总分65分）
18．（12分）输入一个任意正整数n，设计一个程序框图求
程序． 19．（12分）求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．
20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、O分别是AD1、AC中点． （1）求证：PO∥平面CC1D1D （2）求证：AD⊥PO．
的值，并写出
与直线l：x+y﹣m=0有两个交点，则m的取值范
2
2
5
3
2
22
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21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上． （1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A、B两点，且|AB|=2，求a的值． 22．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，PD=DA （1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求直线PD与平面PBC所成的角．
2
湖北省武汉三十九中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共50分） 1．（5分）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（） A． 异面 B． 平行 C． 相交 D．以上都有可能
考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 专题： 证明题．
分析： 根据两个平面平行和相交，以及两条直线的交点情况进行判断． 解答： 解：根据直线位置关系的定义知，
当两个平面平行时，即两条直线没有公共点，则它们平行或异面； 当两个平面相交且两条直线与交线相交与一点时，则它们相交． 故选D．
点评： 本题考查了空间中直线与直线的位置关系，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．
2．（5分）圆x+y﹣4x+6y=0的圆心坐标是（） A． （﹣2，3） B． （﹣2，3） C． （﹣2，﹣3）
22
D．（2，﹣3）
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考点： 圆的标准方程． 专题： 计算题．
分析： 把圆的方程配方得到圆的标准方程后，找出圆心坐标即可． 解答： 解：把圆的方程化为标准方程得：
22
（x﹣2）+（y+3）=13，
所以此圆的圆心坐标为（2，﹣3）． 故选D
点评： 此题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程，并会从圆的标准方程中找出圆心的坐标，是一道基础题． 3．（5分）关于直线l，m与平面α，β的命题中，一定正确的是（） A． 若l∥m，m?α，则l∥α B． 若l⊥β，α⊥β，则l∥α C． 若l⊥β，α∥β，则l⊥α D． 若l?β，α⊥β，则l⊥α
考点： 直线与平面垂直的判定；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 对选项进行逐个进行验证即可． 解答： 解：对于选项A：
可以出现l?α的情形，故A错误； 对于选项B： 若l⊥β，α⊥β，
则l?β或l∥α，故B错误； 对于选项C：
若l⊥β，α∥β，则l⊥α，正确； 对于选项D： 若l?β，α⊥β， 则l⊥α 故选：C．
点评： 本题考查了空间中直线与直线平行、直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与直线垂直、平面与平面平行和垂直的判定和性质．属于中档题，解题关键是准确理解和掌握判定定理和性质定理． 4．（5分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m等于（）
A． 1 B． 2 C． 4 D．
考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系． 专题： 直线与圆．
分析： 求出两条直线的斜率；利用两直线垂直斜率之积为﹣1，列出方程求出m的值．
解答： 解：直线x﹣2y+5=0的斜率为 直线2x+my﹣6=0的斜率为
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∵两直线垂直 ∴
=﹣1
解得m=1． 故选：A．
点评： 本题考查由直线方程的一般式求直线的斜率、考查两直线垂直斜率之积为﹣1． 5．（5分）一条直线经过两点A（1，0），B（0，1），它的倾斜角是（） A．
B．
C．
D．
考点： 专题： 分析： 解答： ∴
直线的倾斜角． 直线与圆．
由两点求斜率公式求得过AB的直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率得答案． 解：∵两点A（1，0），B（0，1），
，
．
∴经过两点A（1，0），B（0，1）的直线的倾斜角为
故选：C．
点评： 本题考查了由两点求直线的斜率公式，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题． 6．（5分）直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（） A． ab＞0，bc＜0 B． ab＜0，bc＞0 C． ab＞0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
考点： 直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系． 专题： 探究型．
分析： 由题意可得斜率小于0，在y轴上的截距大于0，即 ，即a、b同号，b、
c异号，从而得到答案．
解答： 解：由于直线ax+by+c=0同时要经过第一、二、四象限，故斜率小于0，在y轴上的截距大于0，
故 ，故ab＞0，bc＜0，
故选A．
点评： 本小题主要考查直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题． 7．（5分）一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧面积为（）
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A． 18 C． 12 D．18
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： 利用三视图判断几何体的棱长，然后求解侧面积． 解答： 解：正三棱柱的三视图开学底面边长为：3，高为2， 正三棱柱的侧面积为：3×3×2=18． 故选：A．
点评： 本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的侧面积的求法，考查计算能力． 8．（5分）已知A（﹣3，8）和B（2，2），在x轴上有一点M，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M的坐标为（）
B． 6
A． （﹣1，0） B． （1，0） C． （） D．（）
考点： 两条直线的交点坐标． 专题： 数形结合．
分析： 利用对称知识得到点B（2，2）关于x轴的对称点为B′，连接AB′，根据B′和A的坐标求得直线AB′的方程，求出它与x轴交点坐标即为M的坐标． 解答： 解：找出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′， 与x轴的交于M点，连接BM，此时|AM|+|BM|为最短， 由B与B′关于x轴对称，B（2，2）， 所以B′（2，﹣2），又A（﹣3，8），
则直线AB′的方程为y+2=（x﹣2）
化简得：y=﹣2x+2，令y=0，解得x=1，所以M（1，0） 故选B
点评： 此题考查学生灵活运用对称的性质解决实际问题，会求直线与x轴的交点坐标，是一道中档题．
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9．（5分）直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0（k∈R）所经过的定点是（） A． （5，2）
B． （2，3）
C． （﹣，3）
D．（5，9）
考点： 恒过定点的直线． 专题： 计算题．
分析： 直线方程即（2x﹣y﹣1）?k﹣（x+3y﹣11）=0，根据直线经过的定点的坐标满足
，求出定点的坐标．
解答： 解：由（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0，得（2x﹣y﹣1）?k﹣（x+3y﹣11）=0．
所以直线经过的定点的坐标满足
，
联立方程组解得，
故直线所经过的定点是（2，3）， 故选B．
点评： 本题主要考查直线过定点问题，利用了直线（ax+by+c）+k?（a′x+b′y+c′）=0经过的定点坐标是方程组
的解，属于中档题．
10．（5分）若点P（3，﹣1）为圆（x﹣2）+y=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（） A． x+y﹣2=0 B． 2x﹣y﹣7=0 C． 2x+y﹣5=0 D．x﹣y﹣4=0
考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 计算题．
分析： 设圆心C（2，0），连接PC，由P（3，﹣1）为圆的弦的中点可得AB⊥PC，由
22
可求KAB=1，从而 可求直线AB的方程．
解答： 解：设圆心C（2，0），连接PC 由P（3，﹣1）为圆的弦的中点可得AB⊥PC ∵
∴KAB=1
直线AB的方程为x﹣y﹣4=0 故选D．
点评： 本题主要考查了利用直线垂直关系求解直线的斜率，主要应用了圆的性质：垂直于（平分）弦的直径平分（垂直于）弦
二、填空题（每空5分，共35分）
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11．（5分）8251与6105的最大公约数是1．
考点： 用辗转相除计算最大公约数． 专题： 算法和程序框图．
分析： 利用辗转相除法即可得出．
解答： 解：∵8251=6105+2146，6105=2146×2+1813，2146=1813+333，1803=333×5+138，343=138×2+67，
138=67×2+4，67与4互质，
∴8251与6105的最大公约数是1． 故答案为：1．
点评： 本题考查了辗转相除法，属于基础题．
12．（5分）412（5）=212（7）．
考点： 进位制． 专题： 计算题．
分析： 先把5进制的数412（5）化为十进制数再变为七进制数，用除k取余法．
012
解答： 解：412（5）=2×5+1×5+4×5=2+5+4×25=107
01 2
∵107=2×7+1×7+2×7
∴把5进制的数412（5）化为7进制是212（7） 故答案为：212（7）
点评： 本题考查进位制之间的换算，熟练掌握进行制的变化规律是正确解题的要诀，属于基础题．
13．（5分）用秦九韶算法求多项式f（x）=2x+5x﹣x+9x+1当x=3时的值的过程中，第三步v3=68．
考点： 秦九韶算法． 专题： 算法和程序框图．
分析： 根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，代入所给的数据求出结果，注意运算中数据不要出错．
532
解答： 解：f（x）=2x+5x﹣x+9x+1=（（（（2x+0）x+5）x﹣1）x+9）x+1， 当x=3时，v0=2， v1=6， v2=23， v3=68，
故答案为：68．
点评： 本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键，本题是一个比较简单的题目，运算量也不大，只要细心就能够做对． 14．（ 5分）一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取16人．
考点： 分层抽样方法．
532
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专题： 计算题．
分析： 先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．
解答： 解：∵运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的∴男运动员应抽取56×=16；
故答案为16．
点评： 本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比． 15．（5分）一个总体中有100个个体，随机编号为0、1、2、…、99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1、2、…、10，现在用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，若m=5，则在第七组中抽取的号码是62．
考点： 系统抽样方法． 专题： 概率与统计．
分析： 根据抽样的定义，确定m，即k，即可． 解答： 解：由题意，第1组抽取的号码为5； 第7组抽取的号码为5+7=12，个位数为2， 即62，
故答案为：62
点评： 本题考查了系统抽样方法，解答的关键是对题目给出的系统抽样的定义的理解，是基础题．
16．（5分）斜率为3且与圆x+y=10相切的直线方程为3x﹣y+10=0或 3x﹣y﹣10=0．
考点： 圆的切线方程． 专题： 直线与圆．
分析： 设所求的直线的方程为y=3x+b，根据圆心（0，0）到直线的距离等于半径求得k的值，可得所求的直线方程．
解答： 解：设所求的直线的方程为y=3x+b，即 3x﹣y+k=0，
22
则由圆心（0，0）到直线的距离等于半径可得=，
求得k=10，或k=﹣10，故所求的直线方程为3x﹣y+10=0或 3x﹣y﹣10=0， 故答案为：3x﹣y+10=0或 3x﹣y﹣10=0． 点评： 本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
17．（5分）已知曲线C：y=围是[﹣1，﹣1+]．
考点： 直线与圆的位置关系．
与直线l：x+y﹣m=0有两个交点，则m的取值范
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专题： 直线与圆．
分析： 先将直线与曲线化简，做出图象，然后利用图象找出符合题意的直线的位置，一条过（﹣2，0），一条与半圆弧相切，求出对应的m值，得出答案． 解答： 解：曲线C：y=
化简为（x+1）+y=1（y≥0），是以（﹣1，0）为圆
2
2
心，1为半径的半圆弧，
直线l：x+y﹣m=0，化为斜截式；y=﹣x+m，斜率为﹣1的直线，m为直线在y轴上的截距， 有图象可知，当直线过（﹣2，0）时，与半圆相交，且在y轴上截距为﹣2，故m≥﹣2，
2222
将直线方程代入圆的方程得（x+1）+（﹣x+m）=1，化简得2x+2（1﹣m）x+m=0，
2
当直线与圆相切时，由△=m+2m﹣1=0，解得m=﹣1﹣（舍去），或m=﹣1+， 综上，m的取值范围是﹣2≤m≤﹣1+． 故答案为：[﹣1，﹣1+]．
点评： 本题考察直线与圆的位置关系，解题关键为对曲线方程的化简，y≥0的立即，得出曲线为半圆弧．
三、解答题（共5小题，总分65分）
18．（12分）输入一个任意正整数n，设计一个程序框图求程序．
考点： 设计程序框图解决实际问题；循环语句． 专题： 应用题．
的值，并写出
分析： 由已知程序的功能是求的值，我们可以借助循环来实现该功能，
结合累加项的通项公式为，且首项为1，末项为n，步长为1，设置出循环体中各语句和循环条件，即可得到程序． 解答： 解：程序框图如下：
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点评： 本题是设计程序解决实际问题，考查的知识点是循环语句，其中根据程序功能分析出循环变量的首项，末项及步长是解答本题的关键． 19．（12分）求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程．
考点： 直线的截距式方程．
分析： 截距相等，有两种情况，一是直线过原点，一是直线的斜率是﹣1，分别求出直线方程即可．
解答： 解：因为直线l经过点P（2，3），且在x轴，y轴上的截距相等，所以 （1）当直线l过原点时，它的方程为3x﹣2y=0；
（2）当直线不过原点时，设它的方程为，由已知得，
所以，直线l的方程为x+y﹣5=0．
综上，直线l的方程为3x﹣2y=0，或者x+y﹣5=0．
点评： 本题考查直线的截距式方程，当心过原点的情况，是基础题．
20．（13分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、O分别是AD1、AC中点． （1）求证：PO∥平面CC1D1D （2）求证：AD⊥PO．
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考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）证明PO与平面CC1D1D 内的直线D1C 平行， （2）先证AD垂直CD1，由（1）知∥PO，可证得． 解答： 证明：连接D1C，
∵P、O分别是AD1、AC中点． ∴PO∥D1C，
又PO?平面CC1D1D，D1C?平面CC1D1D， ∴PO∥平面CC1D1D；
（2）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面CC1D1D， ，∴AD⊥D1C，
又由（1）知 PO∥D1C， ∴AD⊥PO．
点评： 本题主要考查线面平行的判定，线线垂直的判定，属于基础题．
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上． （1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A、B两点，且|AB|=2，求a的值．
考点： 直线与圆的位置关系；圆的标准方程． 分析： （1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A、B两点，且|AB|=2，求a的值．
2
解答： 解：（1）由y=x﹣6x+5=0得，x=1或x=5，即x轴上的交点坐标为（1，0），（5，0），
当x=0时，y=5，即y轴上的交点坐标为（0，5），
22
设圆C的方程为x+y+Dx+Ey+F=0；
2
则，
解得D=﹣6，E=﹣6，F=5，
22
即圆C的方程为x+y﹣6x﹣6y+5=0
2222
（2）根据（1）的结论x+y﹣6x﹣6y+5=0转化为标准式：（x﹣3）+（y﹣3）=13， 圆心C（3，3），半径r=，
若圆C与直线x﹣y+a=0交于A、B两点，且|AB|=2， 则圆心到直线x﹣y+a=0的距离d=即
，则|a|=2
，
，
则a=．
点评： 本题考查圆的方程的求解，利用用待定系数法求圆的一般式，点与圆的位置关系的判定，最短弦与弦心距之间的关系及相关的运算问题． 22．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，PD=DA
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（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求直线PD与平面PBC所成的角．
考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）要证BC与面PDC垂直，只需证BC⊥DC，BC⊥PD，根据已知不难证明； （2）先找到所求的线面角，可过点D作DH⊥PC于H，易证∠DPH即为所求，结合直角三角形易求之为45°． 解答： 解：（1）因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BC．又底面ABCD为正方形，故BC⊥DC， 又PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．
（2）由（1）得BC⊥面PDC，所以面PBC⊥面PDC于PC． 作DH⊥PC于H，所以DH⊥面PBC． 所以PH就是PD在面PBC内的射影， 故∠DPH即为所求的线面角．
又PD=DA．PD⊥DC，故△PDC为等腰直角三角形． 故∠DPH=45°．
即直线PD与平面PBC所成的角为45°．
点评： 本题考查了空间垂直关系的转化以及线面角的求法．前者强调垂直间的转化，后者是先作出该角，然后解直角三角形．
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