1..如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90?，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒．
（1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S?25? 4（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y?ax2?10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
2.如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4,tan∠AOB=点（-2，6）
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）直线m与⊙C相切于点A交y轴于点D，动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动，点P的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时,求运动时间t的值
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.
3,抛物线y?ax2?bx经过点A(4，0)与4
3.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标； （2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
13
4.已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=?2x2+mx+n的图象经过A，C两点.
（1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：∠BEF=∠AOE；
（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（22?1） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ．．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.
5.如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°． （1）直接写出直线AB的解析式； （2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（10分）（2015?常州）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合． （1）写出点A的坐标；
（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求
的值．
7．（10分）（2015?常州）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
1.【答案】解：（1）∵?CAO??BAE?90?，∴?CAO??ABE。∴Rt△CAO∽Rt△ABE。
CAAO2ABt，即??，解得t?8。
ABBEAB41 （2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE?t，AE?2。
211t25当0＜t＜8时，S?CD?BD?(2?t)(4?)?，解得t1?t2?3。
222411t25当t＞8时，S?CD?BD?(2?t)(?4)?，
2224∴
解得t1?3?52，t2?3?52（为负数，舍去）。 当t?3或3?52时，S?25。 412（3）过M作MN⊥x轴于N，则MN?CO?2。
当MB∥OA时，BE=MN=2，OA=2BE=4。 ∵y?ax2?10ax=a?x?5??25a，
∴抛物线y?ax2?10ax的顶点坐标为（5，?25a）。 ∴它的顶点在直线x?5上移动。
∵直线x?5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）， ∴1＜?25a＜2。∴?221＜a＜?。 2525【考点】动点问题，旋转的性质，矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的性质。 【分析】（1）由Rt△CAO∽Rt△ABE得到
CAAO，根据点B与点D重合的条件，代入?ABBECA=2AM=2AB，AO=1·t= t，BE（DE）=OC=4，即可求得此时t的值。
（2）分0＜t＜8和t＞8两种情况讨论即可。
（3）求出抛物线y?ax2?10ax的顶点坐标为（5，?25a），知它的顶点在直线x?5上移动。由抛物线y?ax2?10ax的顶点在△ABM内部（不包括边）得1＜?25a＜2，解之即得a的取值范围。
2. 【答案】解：（1）把点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y?ax2?bx，得：
1??16a?4b?0?a? ?，解得，?2。
4a?2b?6???b??2∴抛物线的函数解析式为：y?12x?2x。 2 （2）连接AC交OB于E，过点O作OF⊥AD于点F。
∵直线m切⊙C于A ，∴AC⊥m。
?B?AO? 。∴AC⊥OB。 ∵ 弦AB=AO， ∴ A∴m∥OB。∴∠OAD=∠AOB。
333，∴tan∠OAD=，sin∠OAD=。 44533∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3，OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4。
45∵OA=4，tan∠AOB=
t秒时，OP=t，DQ=2t，若PQ⊥AD， 则FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。 ∴在 △ODF中，t=DF=OD2?OF2?32?2.42?1.8（秒）。 ∴当PQ⊥AD时,运动时间t的值为 1.8秒。
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，点R到OB的距离最大。此时，过点R平行于直线OB的直线与抛物线只有一个交点。
33，∴直线OB为y?x。 443 设过点R平行于直线OB的直线l：y?x+r，
43131x+r?x2?2x，整理得 联立y?x+r和y?x2?2x得
4242 ∵tan∠AOB=
2x2?11x?4r?0。
121。 3212112111?0，解得x?。 将r??代入2x2?11x?4r?0得2x2?11x+328411312155 将x?代入y?x?得y??。
4432321155 ?） ∴R（，。 432 ∵直线l与抛物线只有一个交点，∴△=121+32r?0，解得r??【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆相切的性质，弦和弧的关系，垂径定理，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）将点A(4，0)与点（-2，6）代入抛物线y=ax+bx，得方程组，解之即可得出解析式。
（2）先得到∠OAD=∠AOB ，作OF⊥AD于F，再求出OF的长，t秒时，OP=t,DQ=2t,
若PQ⊥AD 则FQ=OP=t，DF=DQ-FQ=t。在△ODF中，应用勾股定理即可求得结论。
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，点R到OB
的距离最大。此时，过点R平行于直线OB的直线与抛物线只有一个交点。求出直线OB的解析式，设过点R平行于直线OB的直线l：y?2
331x+r，联立y?x+r和y?x2?2x，根据442一元二次方程根的判别式求出r，即可求得点R的坐标。
3. 【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），D（﹣1，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）。
将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1。
∴抛物线的解析式为y=－（x﹣3）（x+1），即y=﹣x+2x+3。 又∵y=－x+2x+3=－（x－1）+4，∴点B（1，4）。 （2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．
在Rt△AOE中，OA=OE=3，
∴∠1=∠2=45°，AE= OA2+OE2 =32。 在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，
∴∠MEB=∠MBE=45°，BE= EM2+BM2 =2。 ∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°。 ∴AB是△ABE外接圆的直径。 在Rt△ABE中，tan ?BAE=2
2
2
BE1==tan? CBE，∴∠BAE=∠CBE。 AE3在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°。∴∠CBA=90°，
即CB⊥AB。
∴CB是△ABE外接圆的切线。
（3）存在。点P的坐标为（0，0）或（9，0）或（0，﹣）。 （4）设直线AB的解析式为y=kx+b．
13?3k+b=0将A（3，0），B（1，4）代入，得?，解
?k+b=4?k=?2得?。
b=6?∴直线AB的解析式为y=﹣2x+6。
过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，
得x=
33，∴F（，3）。 22情况一：如图2，当0＜t≤
3时，设△AOE平移到△DNM的位置，MD2交AB于点H，MN交AE于点G。
则ON=AD=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．
由△AHD∽△FHM，得
tHKADHK，即，解得HK=2t。 ==33?HKFMHL?t2∴S阴?S?MND?S?GNA?S?HAD
111322×3×3﹣（3﹣t）﹣t?2t=﹣t+3t。 22221情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交
2=
AB于点I，交AE于点V。
由△IQA∽△IPF，得
3?tIQAQIQ．即， ==33?IQFPIPt?2解得IQ=2（3﹣t）。
∴S阴?S?IQA?S?VQA
=
2
1121×（3﹣t）×2（3﹣t）﹣（3﹣t）=（3﹣t）
222=
129t﹣3t+。 223?32? t+3t(0 二次函数性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，圆的切线的 判定，相似三角形的性质，平移的性质。 【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，从而能得到顶点B的坐标。 （2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE 都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，从而得证。 （3）在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=cos∠BAE=1310，10310。 10若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形。 ①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合。 由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3， 即tan∠DEO==tan∠BAE， 即∠DEO=∠BAE，满足△DEO∽△BAE的条件。 因此 O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）。 ②DE为短直角边时，P2在x轴上。 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似 ∠DEP2=∠AEB=90°sin∠DP2E=sin∠BAE=1310。 1010=10，OP2=DP2﹣10而DE=12+32=10，则DP2=DE÷sin∠DP2E=10÷OD=9。 即P2（9，0）。 ③DE为长直角边时，点P3在y轴上。 若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似， 则∠EDP3=∠AEB=90°cos∠DEP3=cos∠BAE=310。 103101011=，则EP3=DE÷cos∠DEP3=10÷OP3=EP3﹣OE=。即P3（0，﹣）。 10333综上所述，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）。 13 （4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个五边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解。 4. 【答案】解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。 不成立。 ∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=22。 ∵OC=AB，∴OC=22， 即C （0， 22）。 ∵抛物线y=-2x2+mx+n的图象经过A、C两点，得 ????42?2m?n?0，解得：??m??2。 ???n?22??n?22∴抛物线的表达式为y=－2x2－2x+22。 2）证明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。 又 ∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE ， ∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。 3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论 ①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°， 在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。 又∵∠AOB＝90°，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况 ②如图①， 当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。 在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°， ∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。 ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。 又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。 ∴BF=EF。∴EF=BF=OF= 12OB=12×2＝1 。∴ E(－1， 1)。 ③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H ， 在△AOE和△BEF中， （（ ∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF， ∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。 ∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。 ∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。 在 ∴EH=BH=BEcos45°=2×Rt△BEH 中 ， ∵∠BEH=∠ABO=45° ， 2=2。 2∴OH=OB－BH=2－22。∴ E(－2， 2－2)。 综上所述， 当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(－1， 1)或E(－ 2， 2－2)。 （4） P(0， 22)或P （－1， 22）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】（1）应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。 （2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。 （3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。 （4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(－2， 2－2)。 如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2－2。 由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。 过点F作FN∥x轴，交PG于点N。 易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。 依题意，可得S△EPF=（22?1）S△EDG=（22?1）S△EFN， ∴PE：NE=22?1。 过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－2。 ∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE=22?1。 ∴PT=（22?1）ST=（22?1）（2－2）=32－2。 ∴PM=PT+TM=22，即点P的纵坐标为22。 ∴22=－2x2－2x+22，解得x1=0，x2=－1。 ∴P点坐标为(0， 22)或（－1， 22）。 综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG 面积的（22?1）倍，点P的坐标为(0， 22)或（－1， 22）。 5. 【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得 ?4k+b=0?k=?1，解得。 ??b=4b=4??∴直线AB的解析式为y=﹣x+4。 （2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G， ∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形。 又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。 ∴△ADG为等腰直角三角形。 ∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。 ∴D（2，6）。 （3）存在。 由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4）， 将D（2，6）代入，得a=?。∴抛物线解析式为y=?x（x﹣4）。 由（2）可知，∠B=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2）。 设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x， ①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似， 过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。 则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x， 将E（x，x）代入抛物线y=?x（x﹣4）中， 3232323210∴P（，0）。 3得x=?x（x﹣4），解得x=0或 10， 3②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF 为等腰直角三角形。 则PE=MC=2， 326?266+263得2=?x（x﹣4），解得x=或。 3326+26∴P（，0）。 36+2610综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）。 33将E（x，2）代入抛物线y=?x（x﹣4）中， 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式。 （2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D点坐标。 （3）存在。已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛 物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。 6.考点： 圆的综合题． 解答： 解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4， 所以点A的坐标为（4，0）； （2）存在． 理由：如图下图所示： 将x=0代入y=﹣x+4得：y=4， ∴OB=4， 由（1）可知OA=4， 在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB=∵△BOQ≌△AQP． ∴QA=OB=4，BQ=PA． ∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4， ∴PA=4﹣4． ∴点P的坐标为（4，4﹣4）． （3）如下图所示： =4 ． ∵OP⊥OM， ∴∠1+∠3=90°． 又∵∠2+∠1=90°， ∴∠2=∠3． 又∵∠OAP=∠OAM=90°， ∴△OAM∽△PAO． ∴ ， ， 设AP=m，则：∴AM= ． 在Rt△OAP中，PO=， ∴S1= = = = ， ， 在Rt△OAM中，OM= ∴S2= ==， ∴=+=1+=． 点评： 本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得AM和PA的长度是解题的关键． 7．考点： 反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 解答： 解：（1）k=4，S△PAB=15． 提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1， 把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y=，得k=4． 解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1）， 则点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP， ∴S△PAB=2S△AOP． 设直线AP的解析式为y=mx+n， 把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC =OC?AR+OC?PS =×3×4+×3×1= ， ∴S△PAB=2S△AOP=15； （2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2． 设直线PB的解析式为y=ax+b， 把点P（1，4）、B（4，1）代入y=ax+b，得 ， 解得： ， ∴直线PB的解析式为y=﹣x+5． 当y=0时，﹣x+5=0， ∴x=5，点N（5，0）． 同理可得M（﹣3，0）， ∴MH=1﹣（﹣3）=4，NH=5﹣1=4， ∴MH=NH， ∴PH垂直平分MN， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形； （3）∠PAQ=∠PBQ． 理由如下： 过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3． 可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有 ， 解得：， ∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1． 当y=0时，x+﹣1=0， 解得：x=c﹣4， ∴D（c﹣4，0）． 同理可得E（c+4，0）， ∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4， ∴DT=ET， ∴QT垂直平分DE， ∴QD=QE， ∴∠QDE=∠QED． ∵∠MDA=∠QDE， ∴∠MDA=∠QED． ∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM． ∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED， ∴∠PAQ=∠PBQ．
