湖南省株洲市十三中学2018届高三12月月考试题理科数学
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一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合M?{y|x2?y,x?R}，集合N?{y|x?y?0,x?R}，则M?N等于 （ ） A．{y|y?R} B．{(?1,1),(0,0)} C．{(0,0)} D．{x|x?0} 2．函数y?sin2x的一个增区间是 （ ） A．????????????????,? B．??,? C．?0,? D．??,0? ?22??44??2??2?m等于 （ ） n3．已知向量a?(2,3)，b?(?1,2)，若ma?nb与a?2b共线，则
A．?2； B．2 C．?11 D． 221?tan10?,b?3，则有 （ ） 4．设a??1?tan10a2?b2a2?b2A．a?b? B．b?a?
22a2?b2a2?b2?b D．b??a C．a?225．把函数y?Asin(x??6)的图象按向量a?(m,0)平移，所得的图象恰好关于原点对称，则m
的最小正值是 （ ）
??5?7? B． C． D.
6636????????????6．已知AB?(3,?1),n?(2,1)，且n?AC?7，则n?BC? （ ）
A．
A．?2 B．0 C．?2或2 D． 2 7．函数y＝ ︳log12x︱的定义域为〔a,b〕，值域为〔0,2〕，则区间〔a,b〕长度b-a的
最小值为 （ ） A．3 B．
31 C．4 D． 44
8．由下列条件解?ABC，其中有两解的是 （ ）
A．b?20,A?45?,C?80? B．a?30,c?28,B?60? C．a?14,c?16,A?45? D．a?12,c?15,A?120?
9．将自然数0，1，2，…按照如下形式进行排列，根据以下规律判定，从2018到2018的箭头方向是 ( )
，
10．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f(x)，一种是平均价格曲线y＝g(x)(如f(2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g(2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是 ( )
y y y y
x x x x A B C D
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若角?,?满足??2??????2，则2???的取值范围是____________．
12．函数f(x)?sin(?11?x)?cosx图象的相邻的两个对称中心的距离是__________． 63313．等差数列?an?中，a3?a5?2a10?4，则此数列的前13项的和等于___________． 14．如图，半圆的直径AB?6，O为圆心，C为半圆
CPA
B的任意一点，若P为半径OC上的动点， 上不同于A、????????????则(PA?PB)?PC的最小值是__________．
O第14题图
B15．若函数f?x?是定义在实数集上的奇函数，且f(x?2)??f(x)，给出下列结论： ①f?2??0；②f?x?以4为周期；③f?x?的图象关于y轴对称；④f(x?2)?f(?x)． 这些结论中正确的有____________（必须填写序号）。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知向量a?，其中x?[0,（tanx，1），b?（sinx，cosx）（1）求函数f(x)的解析式及最大值； （2）若f(x)??3],f(x)?a?b.
??5??,求2sin(?x)?cos(?x)?1的值. 444
17．（本小题满分12分）
数列?an?的前n项和为Sn,a1?1且an?1?2Sn?1(n?N*)． （1）求数列?an?的通项公式；
（2）等差数列?bn?的各项均为正数，其前n项和为Tn，T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3 成等比数列，求Tn．
18．（本小题满分12分）
在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。第一种方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种。根据上述条件，试问：
（1）如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？试说明理由。
（2）如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？
19．（本小题满分13分）
x2(a,b为常数）已知函数f(x)?且方程f(x)?x?12?0有两个实根为x1?3,x2?4。 ax?b（1）求函数f(x)的解析式； （2）解关于x的不等式f(x)?
20．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?x?2ax?5,(a>1)
（1）若f(x)的定义域和值域都是?1,a?，求实数a的值；
2(k?1)x?k.
2?x
（2）若f(x)在区间(??,2]上递减，且对任意x1,x2?[1,a?1]，总有f(x1)?f(x2)?4，求实数a的取值范围。
21．（本小题满分13分） 设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
11x+log2图象上任意两点，且OM=(OA+OB),点M的横221?x坐标为
1. 2n?1i?1（1）求M点的纵坐标； （2）若Sn=
?f(n),n∈N,且n≥2，求S;
*
n
i?2?(n?1)?3（3） 已知an=?n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和，若Tn<λ(Sn+1+1) 对一
1(n?2)???(Sn?1)(Sn?1?1)切n∈N*都成立，求λ的取值范围.
株洲市十三中学2018届高三12月月考试题
参考答案
一、选择题：1 ～ 5 DBCAA 6 ～ 10 DBCCC 二、填空题：11．(?3??,) 12．3? 13．13 229 15．①②④ 214． ?三、解答题：
16．解：（1）∵a=（tanx，1），b=（sinx，cosx），
?f(x)?a·b=tanx?sinx?cosx?∵x?[0,1.……………………3分 cosx
?3],?当x??时,f(x)的最大值为f()?33?1cos?3?2. …………6分
（2）?f(x)?5154,??,则cosx?. 4cosx45
?3?x?[0,],?sinx?.……………………9分
352sin(
?4?x)?cos(?4?x)?1?2cos2(?4?x)?1?cos(2x??2)??sin2x
??2sinxcosx??24.……………………12分 2517．解：（1）当n?2时，an?1?an?(2Sn?1)?(2Sn?1?1)，即有an?1?3an 又a2?2S1?1?2?1?3a1，??an?是公比为3的等比数列，且a1?1， 故an?3n?1．……………………6分
（2）由（1），a1?1,a2?3,a3?9，又T3?b1?b2?b3?15,?b1?b3?2b2?10， 依题a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，有64?(1?b1)(9?b3)?(1?b1)(19?b1)， 解得b1?3或15，因?bn?的各项均为正数，?b1?3,d?2， 故Tn?3n?n(n?1)?n2?2n．……………………12分
18．解：（1）第10年末，依第一方案得：1000+2000+…+10000=55000（元） 依第二方案得：300+300×2+300×3+…+300×20=63000（元）
∵63000-55000=8000（元）∴选择第二种方案比选择第一种方案多加薪8000元。……6分
（2）第n年末，依第一方案得：1000（1+2+3+… +n）=500 n（n+1）（元） 依第二方案得：a（1+2+3+… +2n）= a n（2n+1）（元）……………………8分 由题意a n（2n+1）﹥500 n（n+1）对所有正整数恒成立 ∴a?500(n?1)500(n?1)2502501000,而?250??250??
2n?12n?12n?1331000时，选择第二种方案总是比选择第一种方案加薪多。……………12分 3即当a?19．解：（1）将x1?3,x2?4代入方程f(x)?x?12?0得：
{9??93a?b2x16 ……………………5分 ??8解得：a??1,b?2，∴f(x)?2?x4a?bx2?(k?1)x?k?0 （2）不等式等价于
2?x即(x?2)(x?1)(x?k)?0 ……………………8分
时,解集为x?(k,1)?(2,??) ①当k?1
②当k?1时,解集为x?(2,??)
③当1?k?2时,解集为x?(1,k)?(2,??) ④当k?2时,解集为x?(1,2)?(2,??)
⑤当k?2时,解集为x?(1,2)?(k,??) ……………………13分 20．解：（1）∵f(x)?(x?a)2?5?a2(a?1)
∴f(x)在区间?1,a?上递减。 ……………………2分
f(1)?a{又f(x)的定义域和值域都是?1,a?，∴f(a)?1
解得：a?2 ……………………6分
（2）∵f(x)在区间(??,2]上递减，∴a?2 ……………………8分 又x?a?[1,a?1],(a?1)?a?a?1
∴f(x)max?f(1)?6?2a,f(x)min?f(a)?5?a2 ……………………10分 ∵对任意x1,x2?[1,a?1]，总有f(x1)?f(x2)?4 ∴f(x)max?f(x)min?4，解得：?1?a?3
又a?2，∴2?a?3 ……………………13分
21．解:(1)∵x1+x2=1,∴yM=
f(x1)?f(x2)=
21?log2x1x?log221?x11?x21=； ……3分
22(2)∵对任意x?(0,1)都有f(x)+f(1-x)=1∴f(
n?1i?1iiin?i)+f(1-)=1,即f()+f()=1
nnnn而Sn=
?n?112n?1n?1n?21ii),又Sn=?f()=f()+f()+…+f() f()=f()+f()+…+f(nnnnnnnni?1两式相加得2Sn=n-1,∴Sn=
n?1. …………6分 2(3)n≥2时，an=
4112nn?24??,λ>=4(),Tn=<,而
4n?1n?2n?22(n?1)(n?2)n?4?n=
4n?4?4n≤
42n?4?4n11，等号成立当且仅当n=2,∴λ>. ………… 13分 22
