22.与圆有关的角
知识考点：
1、掌握与圆有关的角，如圆心角、圆周角、弦切角等概念； 2、掌握圆心角的度数等于它所对弧的度数； 3、掌握圆周角定理及其推论；
4、掌握弦切角定理及其推论；
5、掌握各角之间的转化及其综合运用。
精典例题：
【例1】如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝1000，点P在△ABC的外部，并且PC＝BC，求∠APB的度数。
分析：注意条件AC＝BC＝PC，联想到圆的定义，画出以点C为圆心，AC为半径的圆，问题则得以解决。
解：∵AC＝BC，PC＝BC
∴A、B、P三点在以C为圆心，AC为半径的圆上
若P、C在AB的同侧，则∠APB＝
0
0
C?PB12∠ACB
A∵∠ACB＝100，∴∠APB＝50
若P、C在AB的异侧，则∠APB＝1800－50＝1300
0
P?例1图 【例2】如图，在△ABC中，∠B＝90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC切于点D，直线ED交BC的延长线于F，若AD∶AE＝2∶1，求cot∠F的值。
分析：由AD∶AE＝2∶1和△ADE∽△ABD有DE∶DB＝1∶2，而∠F＝∠EBD，则cot∠F＝cot∠EBD＝
BDDE，故结论得证。
F解：连结BD
∵AC为⊙O的切线，∴∠1＝∠2
∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABD ∴∴
ADAEDBDE??BDDE21CD1AEO?，即
ADAE?21
2B?2
0
∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90
∴∠2＋∠BEF＝900，∵∠F＋∠BEF＝900，∴∠2＝∠F ∴cot∠F＝cot∠2＝
BDDE例2图 ＝2
【例3】如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F、G，连结AF并延长交△BGF的外接圆于H，连结GH、BH。
（1）求证：△DFA∽△HBG；
（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE＝33，CF∶FB＝1∶2，求AB的长； （3）在（2）的条件下，又知AD＝6，求tan∠HBG的值。 分析：（1）证∠DAF＝∠AFB＝∠BGH，∠DFA＝∠HFG＝∠HBG即可；
（2）由DC∥AG，得CF∶FB＝CD∶BG＝1∶2，则AB∶AG＝1∶3，由切割线定理得AB＝3；
（3）由（2）知AB＝3，AG＝9，过A作AQ⊥DG于Q。由DG?AQ?2112AD?AB得AQ?181313。
所以DF＝
13DG＝13。由ADAQFQ2?DQ?DG得DQ?121313，所以QF?1313。故tan∠HBG＝tan∠HFG
＝tan∠QFA＝＝18。
DQFCHPCDABGEAO?B例3图
问题一图
探索与创新：
【问题一】如图，已知，半圆的直径AB＝6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由。 分析：本题有一定难度，连结BC（或AD）可构成直角三角形，这是遇直径常用的辅助线。 解；连结BC
?∵CD为定长，虽CD滑动，但CD的度数不变，∴∠PBC为定值 ∴∠P＝∠ACP－∠PBC＝900－∠PBC为定值 ∵∠PCD＝∠PBA，∴△PCD∽△PBA ∴
PCPB?CDBA?26?13
PCPB1在Rt△PBC中，cos∠P＝?1222，∴sin∠P＝1?()?
333评注：本题是在变中寻不变，有一定的难度，但考虑到常用的辅助线――直径，问题便迎刃而解了。
变式：如图，BC与AD交于E，其它条件与上题一致，问∠P与∠DEB的大小关系？ 分析：∵AB为直径，则∠PCB＝∠ADB＝900，而cos∠P＝
PCPB?CDAB，又∵△CED∽△AEB，∴
CDAB?DEEB＝cos∠DEB。∴cos∠P＝cos∠DEB，故∠P与∠DEB的大小相等。
PCDEAO?P?CP?AOBBD问题一变式图
问题二图
【问题二】如图，AB是⊙O的直径，弦（非直径）CD⊥AB，P是⊙O上不同于C、D的任一点。 （1）当点P在劣弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请证明你的结论；
（2）当点P在优弧CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？并证明你的结论（不讨论P与A重合的情形）。
分析：（1）P在劣弧CD上运动时，∠APC＝∠APD，利用垂径定理及圆周角定理易证；（2）P在优弧CD上运动时，∠APC＋∠APD＝180，∠APC所对的弧是ADC，∠APD所对的弧是AD，而AD?AC，
????0
????ADC?AD的度数和等于ADC?AC的度数和，等于360，由圆周角定理易证明得到结论。
0
跟踪训练：
一、选择题：
1、下列命题中，正确的命题个数是（ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；
②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90的圆周角所对的弦是直径；
④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、已知AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A＝500，点P是⊙O上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是（ ） A、650 B、1150 C、650或1150 D、1300或500
3、O为锐角△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D、E、F，则OD∶OE∶OF为（ ） A、a∶b∶c B、
1a0
∶
1b∶
1c
0
C、cosA∶cosB∶cosC D、sinA∶sinB∶sinC
4、如图，AB是⊙O的直径，DB、DC分别切⊙O于B、C，若∠ACE＝25，则∠D为（ ） A、500 B、550 C、600 D、650
ABO?AO?OCAECD1O??DxBCDB700
第4题图
第5题图
第6题图
5、如图，⊙O经过⊙O1的圆心O1，∠ADB＝?，∠ACD＝?，则?与?之间的关系是（ ） A、?＝? B、??1800?2? C、??12(900??) D、??12(1800??)
二、填空题：
6、如图，四边形ABCD内接于⊙O，则x＝ 。
7、如图，A、B、C是⊙O上的三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论 （任写一个）。 8、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝ 。
EDOAC?A1O?B2DBO?CPABC第9题图
9、如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于C，延长PO交⊙O于点B，PA＝AB，PD平分∠APB交AB于点D，则∠ADP＝ 。
第7题图 第8题图 10、如图，已知直径AB⊥CD于E，∠COB＝?，则
ABBEsin2?2＝ 。
11、如图，⊙O1与⊙O2为两个等圆，O1在⊙O2上，O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过B的直
线交⊙O1于C，交⊙O2于D，过C作⊙O1的切线CE与过D作⊙O2的切线DE交于E，则∠E＝ 。 三、计算题或证明题：
?12、如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP与AB相交于点M，C为AB上一点。求证：∠OPC＝∠OCM。
ACAO1AOEB??O2MPD?BCOCBDE
第10题图
第11题图
第12题图
13、如图，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，点O1在⊙O2上，⊙O2的弦O1C交AB、⊙O1于D、E。求证： （1）AO1?O1D?O1C； （2）E为△ABC的内心。
CAEA?2FECO1?DOO2B?AGCDPO?BBD第13题图
第14题图 第15题图
14、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC。
（1）求证：FB＝FC； （2）FB2?FA?FD；
（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝1200，BC＝6cm，求AD的长。
15、如图，⊙O的直径AB＝6，P为AB上一点，过P作⊙O的弦CD，连结AC、BC，设∠BCD＝m∠ACD，当
BPAP?7?43时，是否存在正实数m，使弦CD最短？若存在，请求出m的值；若不存在，请
说明理由。
16、如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF∶FD＝4∶3。
（1）求证：AF＝DF；
（2）求∠AED的余弦值；
（3）如果BD＝10，求△ABC的面积。
AFM?BDCE第16题图
跟踪训练参考答案
一、选择题：ACCAD 二、填空题：
6、1400；7、OC∥AB等；8、900；9、450；10、1；11、1200 三、计算题或证明题：
12、提示：连结OA，OA22?OM?OP?OC，∴
OCOM?OPOC，又∠O是公共角，△OCM∽△OPC。
13、略证：（1）连结，O1B，由O1A＝O1B可得∠O1AD＝∠O1CA，∠AO1D是公共角，∴△O1AD∽△O1CA；（2）连结AE、BE，由∠ABE＝
12∠AO1C＝
12∠ABC，∠BAE＝
12∠BO1E＝
12∠BAC。
14、（1）（2）略；（3）43cm。
15、解：连结OD，设存在正实数m，则在⊙O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。∴CP⊥AB于P。
∵
BPAP?7?43，设AP＝k，则BP＝(7?43)k，又AB＝6
∴(7?43?1)k?6，解得k?6?332332
∴OP＝OA－AP＝3?6?332＝
在Rt△POD中，cos∠POD＝
OPOD?0
32，∴∠POD＝30，∠ACD＝15
00
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90 ∴∠BCD＝900－150＝750 ∵∠BCD＝m∠ACD
∴m＝5，即存在正实数m，使CD弦最短。
16、（1）先证∠ADE＝∠DAE；（2）作AN⊥BE于N，设FE＝4x，FD＝3x，可求DE＝5x，由
AD?EF?DE?AN得：AN＝4.8x，可得EN＝1.4x，cos∠AED＝
725；（3）△CAE∽△ABE，S?ABC?72。
15、解：连结OD，设存在正实数m，则在⊙O中过P点的所有弦中，只有垂直于直径的弦最短。∴CP⊥AB于P。
∵
BPAP?7?43，设AP＝k，则BP＝(7?43)k，又AB＝6
∴(7?43?1)k?6，解得k?6?332332
∴OP＝OA－AP＝3?6?332＝
在Rt△POD中，cos∠POD＝
OPOD?0
32，∴∠POD＝30，∠ACD＝15
00
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90 ∴∠BCD＝900－150＝750 ∵∠BCD＝m∠ACD
∴m＝5，即存在正实数m，使CD弦最短。
16、（1）先证∠ADE＝∠DAE；（2）作AN⊥BE于N，设FE＝4x，FD＝3x，可求DE＝5x，由
AD?EF?DE?AN得：AN＝4.8x，可得EN＝1.4x，cos∠AED＝
725；（3）△CAE∽△ABE，S?ABC?72。
