2018届上海高三年级八校联考（第二次）数学试卷
（松江二中、青浦、七宝、育才、市二、行知、进才、位育）
一、 填空题：
1、 已知复数z满足z?z?1?3i，则z? 4?3i 。 2、 方程log24x?2?1?log22x?5的解是x? 2 。 3、 抛物线y?x2?x的焦点坐标为 ?,0? 。
?????1??2?4、 在极坐标系中，直线?cos??3截圆??4cos?所得的弦长为 23 。
5、 某校要组建一个20人的志愿者服务队，全校18个班级每班至少有1人参加，则志愿者服务队中有3人来自同
一个班级的概率为
2 。（结果用分数表示） 19512n，则limx?x???x? ? 。
n??236、 若?1?x?的展开式的中间项为
6??7、 对一切正整数n，不等式
2x?1n恒成立，则实数x的取值范围是 x?1 。 ?xn?128、 已知y??4?x在区间M上的反函数是其本身，则区间M可以为 ??2,0? 。（或??2,0?等）
9、 在?ABC中，已知cosA?10、已知函数f?x??Asin2132，且BC?3，则?ABC面积的最大值为 。 34??x????A?0?的最大值为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f?1??f?2??
?f?3????f?100?? 100 。
11、已知f?x?是定义在???,???上的函数，m,n????,???，请给出能使命题：“若m?n?0，则f?m?? ?f?n??f??m??f??n?”成立的一个充分条件：函数f?x?在???,???上单调递增 。
12、哥德巴赫(Goldbach.C.德 1690-1764)曾研究过“所有形如
1?n?1?m?1?n,m为正整数?的分数之和”问题。为
了便于表述，引入记号：??xx1n?1m?1?n?1?m?11111?1??1???2?3?4?????2?3?4??????
2233?2??3????1?111????????，写出你对此问题的研究结论：（用数学符号表示） ???1 。??n?1?2?n?1?3?n?1?4?n?1m?1?n?1?m?1??二、选择题：
13、集合P??1,3,5,7,9,?,2n?1,??n?N?*?，若a?P,b?P时，a?c?P，则运算?可能是 （ D ）
（A）加法 （B）除法 （C）减法 （D）乘法
14、如图，四棱锥P?ABCD中，ABCD是正方形，PA?底面ABCD，PA?AB,M、N分别是PC、PD的中点，则异面直线BM与CN所成角的大小为 （ C ） （A）
?? （B） 2322 （D）??arccos 33（C）arccos15、在直角坐标平面xoy中，过定点?0,1?的直线l与圆x2?y2?4交于A、B两点，若动点P?x,y?，满足 OP?OA?OB，则点P的轨迹方程为 （ B ） （A）?x?1??y2?1 （B）x2??y?1??1 （C）x2?y2?2 （D）x2?2y
2216、已知n元集合M?? 1,2,3,?,n?，设M中所有含3个元素的子集的元集之和为Sn，则Sn? （ C ） （A）3?2n?2?n?3?（B）3n2?n?10?n?3?（C）三、解答题：
17、如图，图（1）是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线。 （1）请在图（2）的正方体中画出MN和PQ；并求此时MN与PQ所成角的大小； （2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比。
（说明：求角与体积时若需画辅助图，请分别画在图（3）、（4）中。）
解:
(1)在正方体中画出MN、PQ (如图2)，连PN1、N1Q（如图3），则N1Q∥NM，
∴?PQN1即为异面直线MN与PQ所成的角，易知?PQN1为等边三角形，∴MN与PQ所成角的大小为60?。
??1?n?2??n?1?n?n?1??n?3?（D）?n?2??n?1?n?n?3? 4（2）连四面体MNPQ的各棱（如图4），设正方体的棱长为a，则
VQ?MNPV正方体13a1?63?。
6a
18、已知复数z1?sinxx?i，z2?cos?2i?x?R?,f?x??z1?z2222,设集合A??x??2???x??，
3??6B?xf?x??m?3，若A?B，求实数m的取值范围。
解：f?x??z1?z22??xx????sin?cos??1?sinx?2，f?x??m?3?m?5?sinx?m?1，
2??221?1??2???m?5??11?A?B??sinx?1 A??x?x?，∵，∴?m?2???0,2?。 263??????m?1?119、政府决定用“对社会贡献率”对企业进行评价，用an表示某企业第n年投入的治理污染费用，用bn表示该企业第n年的产值。设a1?a（万元），且以后治理污染费用每年都比上一年增加3a（万元）；又设b1?b（万元），且企业的产值每年均比上一年增长10%，用Pn?anbn表示企业第n年“对社会贡献率”。
100ab（1）求该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”；
（2）试问：从第几年起该企业“对社会贡献率”不低于30%？
ab4.4ab?1%，P2??4.4%，
100ab100ab 即该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”分别为1%和4.4%。
解：（1）∵a1?a,a2?4a,b1?b,b2?1.1b，∴P1? （2）∵an??3n?2?a,bn?1.1n?1b，?n?N?，∴Pn*?3n?2??1.1n?1?，
100 ∵
Pn?13n?1??1.1?1，即?Pn?为递增数列， Pn3n?219?1.1616?1.15?33.66%?30%，P6??25.77%?30%， 又P7?100100∴从第7年起该企业“对社会贡献率”不低于30%。
20、以O为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系。若OA?AG?1，点A的坐标为?t,0?,t??0,???，点G的坐标为?m,3?。
（1）若以O为中心，A为顶点的双曲线经过点G，
求当OG取最小值时双曲线C的方程；
（2）过点N?0,1?能否作出直线l，使l与双曲线C交于S,T两点，
且OS?OT？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。 解：（1）AG??m?t,3?,OA??t,0?，OA?AG?t?m?t??1?m?t?1?2，t??0,??? t2y2 即t?1时，OG取最小值，此时G?2,3?，设双曲线C的方程为x?2?1，
b
9y222?1。 则4?2?1?b?3，∴OG取最小值时双曲线C的方程为x?b3 （2）若存在满足条件的直线l：y?kx?1?k?0?，设S?x1,y1?,T?x2,y2?，OS?OT?x1x2?y1y2?0， 即x1x2??kx1?1??kx2?1??1?k2x1x2?k?x1?x2??1?0，
???y?kx?12k?422?3?kx?2kx?4?0?x?x?,xx? 由?2， 12122223?k3?k?3x?y?3?0???41?k22k212??1?0?k???k??，即不存在满足条件的直线l。 ∴2233?k3?k21、已知函数f?x??2x?a（x?R，a为正整数），数列?an?满足：a1??a,an?1?an?f?n?。 （1）求数列?an?的通项公式；
（2）当a5与a6这两项中至少有一项为?an?中的最小项时，求a的值；
（3）若数列?bn?满足对任意的正整数n，都有b1?2b2?22b3???2n?1bn?an?1成立，求数列?bn?中的最大项。
???a1??a?a?a?f?1?21???an??a?f?1??f?2????f?n?1???na?2?1?2???n?1? 解：（1）?a3?a2?f?2???????an?an?1?f?n?1? ∴an??na?n?n?1??n2??a?1?n。
（2）∵an?n2??a?1?n，a5与a6这两项中至少有一项为?an?中的最小项， ∴
9a?113??，即8?a?12，∵a为正整数，∴a??8,9,10,11,12?。 222 （3）由b1?2b2?22b3???2n?1bn?an?1，得b1?2b2?22b3???2n?2bn?1?an，
?2?2a,n?1? 两式相减，得2n?1bn?an?1?an?2n?a?n?2?，又b1?a2?2?2a，∴bn??2n?a 。
,n?2??2n?1?bn?bn?1?bn?bn?1a?2n?a2n?2?a??n?1????2n?1?2n2???? ，∵a为正整数， ?2n?a?2n?2?a?n?2?a??2?2n?2?2n?1aa?1?或n?2?，此时，ba?ba???1?2?22?2?22a?12 当bn最大时，? ∴若a为偶数，则取n?1?，
∵b1?2?2a?0，∴数列?bn?中的最大项为b1?a2?b2?a2?1?????2?a?12。
a?12 若a为奇数，n??1???3a?1aa??1?，此时，ba?1?a?1?3???,2??，则取n?1?1?222??2?22232a?12，
∵b1?2?2a?0，∴数列?bn?中的最大项为b1?a?12??1??3????2?a?12 。
22、min?s1,s2,?sn?、max?s1,s2,?sn?分别表示实数s1,s2,?sn中的最小者和最大者。 （1）作出函数f?x??x?3?2x?1?2x?2?x?R?的图像；
（2）在求函数f?x??x?3?2x?1?2x?2?x?R?的最小值时，有如下结论；
fmin?x??min?f??3?,f??1?,f?2????1。请说明此结论成立的理由；
（3）仿照（2）中的结论，讨论当a1,a2,?an为实数时，函数
f?x??a1x?x1?a2x?x2???anx?xn?x?R,x1?x2???xn?R?的最值。
解：（1）
（2）∵f?x?的图象是由一些折线（段）组成，
它的最值只可能在图象的转折点处取得，
∴fmin?x??min?f??3?,f??1?,f?2???min?6,8,?1???1。
（3）
ⅰ）若a1?a2???an?0，
当x?x1时，f?x?递减，∴f?x??f?x1?；
当x1?x?x2时，f?x?为一次函数或常数函数，∴f?x??min?f?x1?,f?x2??； 当xn?1?x?xn时，f?x?为一次函数或常数函数，∴f?x??min?f?xn?1?,f?xn??；
当x?xn时, f?x?递增，∴f?x??f?xn?。
∴当x?R时，函数f?x?有最小值，无最大值，fmin?x??min?f?x1?,f?x2?,?,f?xn?? ⅱ）若a1?a2???an?0，
同理可得，当x?R时，函数f?x?有最大值，无最小值，fmax?x??max?f?x1?,f?x2?,?,f?xn?? ⅲ）若a1?a2???an?0，
当x?x1或x?xn时，f?x?为常数函数；
当x在其它区间内时，f?x?为一次函数或常数函数。 ∴函数f?x?既有最大值，又有最小值，
fmin?x??min?f?x1?,f?x2?,?,f?xn??，fmax?x??max?f?x1?,f?x2?,?,f?xn??。
当x?xn时, f?x?递增，∴f?x??f?xn?。
∴当x?R时，函数f?x?有最小值，无最大值，fmin?x??min?f?x1?,f?x2?,?,f?xn?? ⅱ）若a1?a2???an?0，
同理可得，当x?R时，函数f?x?有最大值，无最小值，fmax?x??max?f?x1?,f?x2?,?,f?xn?? ⅲ）若a1?a2???an?0，
当x?x1或x?xn时，f?x?为常数函数；
当x在其它区间内时，f?x?为一次函数或常数函数。 ∴函数f?x?既有最大值，又有最小值，
fmin?x??min?f?x1?,f?x2?,?,f?xn??，fmax?x??max?f?x1?,f?x2?,?,f?xn??。
