2012年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷 （函数部分练习
3）
本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一、 填空题（本大题满分56分）
1、函数y?log2(x?1)的定义域是 2、若集合A??x|x|?1?，集合B??x0?x?2?，则A?B? .
??????????sin????? . ?3??6?3、化简：cos?4、方程log3(2x?1)?1的解x? .
5、已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，f(x)?x?x4， 则 当x?(0,??)时，f(x)? .
6、在△ABC中，已知BC?8,AC?5，三角形面积为12，则cos2C? .
7、已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(?x)?f(x). 若方程f(x)?0有2013个实数解， 则这2013个实数解之和为 . 8、 若曲线y?2?1与直线y?b没有公共点，则b的取值范围是_____.
x
9、已知函数f(x)?x|x|?px?q,(x?R)，给出下列四个命题：
①f(x)为奇函数的充要条件是q?0；②f(x)的图象关于点(0,q)对称；
③当p?0时，方程f(x)?0的解集一定非空；
④方程f(x)?0的解的个数一定不超过两个。其中所有正确命题的序号是 10、若存在实数x?[1,2]满足2x?a?．．11、若函数f(x)?x?2222x，则实数a的取值范围是
256x2?a?b的零点都在???,?2???2,???内，
则a?b的最小值为
12、设集合A?R，如果x0?R满足：对任意a?0，都存在x?A，使得0?|x?x0|?a，
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那么称x0为集合A的一个聚点，则在下列集合中： （① Z?Z ②R?R ③?x|x???????1n?*?*?,n?N? ④?x|x?,n?N? nn?1??? 以0为聚点的集合有 （写出所有你认为正确结论的序号）
13、已知等差数列{an}（公差不为零）和等差数列{bn}，如果关于x的方程
9x?(a1?a2??a9)x?b1?b2??b9?0有解，那么以下九个方程x?a1x?b1?0，
22 x2?a2x?b2?0,x2?a3x?b3?0??,x2?a9x?b9?0中，无解的方程最多有 个 14、动点P(x,y)在直角坐标平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北?(0???方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定。假定P(x,y)速度 为10米/分钟，则P(x,y)行走2分钟时的可能落点区域的面积是 二、选择题（本大题满分20分）
?3x?1,x?0,15、已知函数f(x)??若f?x0?log2x,x?0.?2)
??3，则x0的取值范围是 ( )
（A）x0?8. （B）x0?0或x0?8. （C）0?x0?8. （D）x0?0或0?x0?8. 16、函数y?1?1?x2(?1?x?0)的反函数图像是 ( )
?1 y 1 y 1 y y 1 ?1 O x ?1O x O 1 （B） x O ?1 （C） x （D） （A） 14?2x17、已知函数f(x)?（A）(2,)；
21的图像关于点P对称，则点P的坐标是 （
1 ）
（B）(2,)；
4 （C）(2,)；
81 （D）（0，0）
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18、若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y?f(x)的图像上；②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y?f(x)的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）. ??2x2?4x?1?已知函数f(x)??2x???3x?0, 则此函数的“友好点对”有( ) 对. x?0 A、1 B、2 C、3 D、4
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、(本题满分12分)已知cos???
20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数f(x)?log2?2x?1?.（1）求证：函数f(x)在(??,??)内单调递增； （2）记f?123,???2cos??的值. ?,??，求
sin2?sin??2???(x)为函数f(x)的反函数. 若关于x的方程f?1(x)?m?f(x)在[1,2]上有
解，
求m的取值范围.
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 若函数y?f?x?，如果存在给定的实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b 恒成立，则称y?f?x?为“?函数” .
1. 判断下列函数，是否为“?函数”，并说明理由；①f?x??x ② f?x??2
3x????2. 已知函数fx?tanx是一个“?函数”，求出所有的有序实数对a,b.
[来源学|
22、（本题满分16分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） 设m为实数，函数f(x)?2x2?f(x)??(x?m)x?m，h(x)??x?0?
x?0x?0.
（1）若f(1)≥4，求m的取值范围；
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（2）当m＞0时，求证h(x)在?m,???上是单调递增函数；
（3）若h(x)对于一切x??1,2?，不等式h(x)?1恒成立，求实数m的取值范围.
23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分. 设函数fn(?)?sinn??(?1)ncosn?,0????4，其中n为正整数.
（1）判断函数f1(?)、f3(?)的单调性，并就f1(?)的情形证明你的结论； （2）证明：2f6(?)?f4(?)??cos4??sin4???cos2??sin?2?；
（3）对于任意给定的正整数n，求函数fn(?)的最大值和最小值.
2012年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷（函数部分练习3）答案
1、(1,??) 2、?x1?x?2? 3、cos?. 4、2 5、?x?x46、
7257、0 8、－1 9、①，②，③ 10、a<3 11、162 12、 ②,③ 13、 4 个14、100?-200 。 15、A 16、C 17、C 18 、 B19 、 解 原 式 ?22s?i?c?ocn? o?sssin第4页 ?1?cos?sin?cos?2?sin?cos?. 又 cos???23,??????,???2?，?sin??1?29?73， ?2sin?2?co?s??s?in14 2x1x220、 证明：（1）任取x1?x2，则f(x1)?f(x2)?log2?2?1??log2?222x1x2?1??log221?12x2x?1， x1?x2,?0?2x1?1?2x2?1，?0??1?1?1,log222x1x2?1?1?0， ?(2) f(x1)?f(x2)，即函数f(x)在(??,??)内单调递增. f?1(x)?log2?2?1?(x?0)x， x(3) 解法一：?m?f(?1)x? (f)x?log2?2?1??log2?2?1??log2xx2???log1?2??， 当1?x?2时，xx2?12?1??2?125?22?1x?32,?31?1?2?1x2?5，?3??1??3??m的取值范围是?log2??,log2???. ?3??5??? 解法二： 解方程log2?2x?1??m?log2?2x?1?， ?2m?1??2m?1??2， 得x?log2?， 1?x?2,?1?log2?m?m??1?2??1?2?解得 log2??1??3??m?log2???. ?35??????1??3??m的取值范围是?log2??,log2???. ?3??5???321、（1）解：①若f?x??x是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b， 3即?a2?x2??b时，对x?R恒成立 而x2?a2?3b最多有两个解，矛盾，因此f?x??x3不是“?函数” ②对一切x都成立，存在实数对?a,b?，使得2a?x?2a?x?22a?b 即存在常数对?a,22a?满足f?a?x??f?a?x??b，故f?x??2x是“?函数”． 第5页 （2）解：函数f?x??tanx是一个“?函数”设有序实数对?a,b?满足，则tan?a?x??tan?a?x??bt恒 2成立当 ZXXK]a?k???2,k?Z时， ?aa?x??nt?aa?x?n??c?2,m?Z时， xo，不t是常数；因此a?k???2,k?Z，当 x?m??则有 tana?tanx1?tanatanx?tana?tanx1?tanatanx?tana?tan1?tanatan2222xx?b， 即?btan2a?1?tan2x?(tan2a?b)?0恒成立， ??2??tan2a?1?b?tana?1?0?a?k??????4所以?2??b?1?b?1?tana?b?0?k?Z 当x?m???2,m?Z,a?k???4时，tan?a?x??tan?a?x???cot?a??1 ?????a,b?k??,1?,k?Z ??fx?tanx?满足是一个“?函数”的实数对 4??22、解：（1）f(1)?2?(1?m)1?m?4当m?1时，(1?m)(m?1)?2，无解； 当m?1时，(1?m)(1?m)?2，解得m?1?mx22. 所以m?1?2. （2）由于m?0,x?m.所以h(x)?3x??2m. 2任取m?x1?x2，h(x2)?h(x1)?(x2?x1)(2223x1x2?m)x1x2 x2?x1?0,3x1x2?m?3m?m?0,x1x2?0 所以 h(x2)?h(x1)?0 即：h(x)在?m,???为单调递增函数. 第6页 解二：由（2）结论得：h(x)，x?[1，所以只要1?hmin(x)?h(1)?f(1)， 2]是单调递增函数，得(1?m)1?m??1，当m?1时不等式显然成立；当m?1时，解得：1?m?2，综上得： m?2． ?23、解:（1）f1(?)、f3(?)在?0,上均为单调递增的函数. 对于函数 4???f1(?)?sin??cos?f1(?1)?f1(?2)??s?f1??1??f1??2?,??， ?1?is?设 ?1??2,????1、?2??0,4???，则 ???cn?2o?n?c2i???，?ssin?1?sin?2,?s1ocos?2?cos?1， 函数f1(?)在?0,??上单调递增.（2）? 原式左边 4?? ?2?sin6??cos6????sin4??cos4?? ?2sin??cos?22?22??sin??sin??cos??cos????sin??cos??422444?1?sin2??cos2? 又原式右边??cos2??sin2??2?cos2?. 2第7页 ?2f6(?)?f4(?)?cos??sin??44??cos4?22??sin?. ?（3）当n?1时，函数f1(?)在?0,?????上单调递增， ?f1(?)的最大值为f1??????0， ?4?最小值为f1?0???1. 当n?2时，f2????1，? 函数f2(?)的最大、最小值均为1. 当n?3时，函数f3(?)在?0,????4??上为单调递增.? f3(?)的最大值为f3?122?????0， ?4?最小值为f3?0???1.当n?4时，函数f4(?)?1?sin???2?在?0,?上单调递减， 4?????1? f4(?)的最大值为f4?0??1，最小值为f4???. 下面讨论正整数n?5的情形： ?4?2当n为奇数时，对任意?1、?2??0,? 4??且?1??2, 以 n???fn(?1)?fn(?2)?sin?1?sin?2?nn???cosnn?2?cos?1， ?及 n 0?sin?1?sin?2?1,0?cos?2?cos?1?1， ? sin?1?sin?2,???nn上为单调cos?2?cos?1，从而 fn(?1)?fn(?2).? fn(?)在?0,4????????0， 4??递增，则fn(?)的最大值为fn?最小值为f4?0???1. 当n为偶数时， 一方面有 fn(?)?sinn??cosn??sin2??cos2??1?fn(0).另一方面，由于对任意正整数 l?22f2l(?)?f2l?2(?)?cos?2l?2??sin2l?2???cos2??sin??02??fn(?)?12fn?2(?)???1n22?1f2(?)?1n22?1????fn??.? 函数fn(?)的最大值为 ?4?fn(0)?1， ????1?最小值为fn???2???4??2?n. 综上所述，当n为奇数时，函数fn(?)的最大值为0，最小值 n?1?为?1. 当n为偶数时，函数fn(?)的最大值为1，最小值为2???2? 2012年上海市复兴高级中学高三年级第一学期数学试卷（函数部分练 习） 第8页 本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一、 填空题（本大题满分56分） 1、函数y?log2(x?1)的定义域是 (1,??) 2、若集合A??x|x|?1?，集合B??x0?x?2?，则A?B? . ?x1?x?2? 3、化简：cos???????????sin????? . cos?. ?3??6?4、方程log3(2x?1)?1的解x? 2 . 5、已知函数f(x)是定义在(??,??)上的偶函数. 当x?(??,0)时，f(x)?x?x4， 则 当x?(0,??)时，f(x)? . ?x?x4 6、在△ABC中，已知BC?8,AC?5，三角形面积为12，则cos2C? . 725 7、已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(?x)?f(x). 若方程f(x)?0有2013个实数解， 则这2013个实数解之和为 .0 8、 若曲线y?2?1与直线y?b没有公共点，则b的取值范围是_____.－1 空；④方程f(x)?0的解的个数一定不超过两个。其中所有正确命题的序号是 ①，②，③ 10、若存在实数x?[1,2]满足2x?a?．．11、若函数f(x)?x?222x2x，则实数a的取值范围是 a<3 256x2?a?b的零点都在???,?2???2,???内， 则a?b的最小值为 162 12、设集合A?R，如果x0?R满足：对任意a?0，都存在x?A，使得0?|x?x0|?a， 那么称x0为集合A的一个聚点，则在下列集合中： （①Z?Z②R?R③?x|x???????1n?*?*?,n?N?④?x|x?,n?N? nn?1??? 以0为聚点的集合有 ②,③ （写出所有你认为正确结论的序号） 第9页 13、已知等差数列{an}（公差不为零）和等差数列{bn}，如果关于x的方程 9x?(a1?a2??a9)x?b1?b2??b9?0有解，那么以下九个方程x?a1x?b1?0， 22 x2?a2x?b2?0,x2?a3x?b3?0??,x2?a9x?b9?0中，无解的方程最多有 4 个。 14、动点P(x,y)在直角坐标平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北?(0???方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定。假定P(x,y)速度 为10米/分钟，则P(x,y)行走2分钟时的可能落点区域的面积是 100?-200 。 二、选择题（本大题满分20分） ?3x?1,x?0,15、已知函数f(x)??若f?x0?log2x,x?0.?2) ??3，则x0的取值范围是 ( A ) （A）x0?8. （B）x0?0或x0?8. （C）0?x0?8. （D）x0?0或0?x0?8. 16、函数y?1?1?x2(?1?x?0)的反函数图像是 ( C ) 17、已知函数f(x)?（A）(2,)； 2114?2xy 1 y 1 y y 1?1 ?1 O x ?1O x O 1 （B） x O ?1 （C） x （D） （A） 的图像关于点P对称，则点P的坐标是 （ 1C ） （B）(2,)； 4 （C）(2,)； 81 （D）（0，0） 18、若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件： ①P、Q都在函数y?f(x)的图像上；②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y?f(x)的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）. 第10页 ??2x2?4x?1?已知函数f(x)??2x???3x?0, 则此函数的“友好点对”有( ) 对. B x?0 A、1 B、2 C、3 D、4 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、(本题满分12分)已知cos???23,???2cos??的值. ?,??，求 sin2?sin??2??? 19、 解 原式?22sin?cos??cos?sin? ?1?cos?sin?2?c?os29s?in. ?cos73又 cos???23,??????,??，??2?sin??1??， ?2sin2??cos?sin???142 20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数f(x)?log2?2x?1?.（1）求证：函数f(x)在(??,??)内单调递增； （2）记f?1(x)为函数f(x)的反函数. 若关于x的方程f?1(x)?m?f(x)在[1,2]上有 解， 求m的取值范围. 20、 证明：（1）任取x1?x2，则f(x1)?f(x2)?log2?2?1??log2?2x1x2?1??log221?12x2x?1， x1?x2,?0?2x1?1?2x2?1，?0?22x1x2?1?1?1,log222x1x2?1?1?0， ?(2) ff(x1)?f(x2)，即函数f(x)在(??,??)内单调递增. ?1(x)?log2?2?1?(x?0)， x?1(3) 解法一：?m?f2?1x(x)?f(x) ?log2?2?1??log2?2?1? xx?log22???log1?2??xx2?12?1??， 当1?x?2时， 第11页 25??22?1x?23,?13?1?22?1x?35， ??1??3??m的取值范围是?log2??,log2???. ?3??5??? 解法二： 解方程log2?2x?1??m?log2?2x?1?， ?2m?1??2m?1??2， 得x?log2?， 1?x?2,?1?log2?m?m??1?2??1?2?解得 log2??1??3??m?log2???. ?35??????1??3??m的取值范围是?log2??,log2???. ?3??5???21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 若函数y?f?x?，如果存在给定的实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b 恒成立，则称y?f?x?为“?函数” . 1. 判断下列函数，是否为“?函数”，并说明理由；①f?x??x3 ② f?x??2x 2. 已知函数f?x??tanx是一个“?函数”，求出所有的有序实数对?a,b?. [来源学|21、（1）解：①若f?x??x3是“?函数”，则存在实数对?a,b?，使得f?a?x??f?a?x??b， 3即?a2?x2??b时，对x?R恒成立 而x2?a2?3b最多有两个解，矛盾，因此f?x??x3不是“?函数” 2a②对一切x都成立，存在实数对?a,b?，使得2a?x?2a?x?22a?b 即存在常数对?a,2?x满足f?a?x??f?a?x??b，故f?x??2是“?函数”． （2）解：函数f?x??tanx是一个“?函数”设有序实数对?a,b?满足， 则tan?a?x??tan?a?x??b恒成立 当a?k???2,k?Z时，tan?a?x??tan?a?x???cot2x，不是常数； ZXXK]因此a?k???2,k?Z，当x?m???2,m?Z时， 第12页 则有 tana?tanx1?tanatanx?tana?tanx1?tanatanx?tana?tan1?tanatan2222xx?b， 即?btan2a?1?tan2x?(tan2a?b)?0恒成立， ??22?b?tana?1?0?a?k??tana?1??????4所以?2b?1?tana?b?0??b?1??k?Z 当x?m???2,m?Z,a?k???4时，tan?a?x??tan?a?x???cot?a??1 ??满足f?x??tanx是一个“?函数”的实数对?a,b???k????,1?,k?Z 4?22、（本题满分16分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分） 设m为实数，函数f(x)?2x2?f(x)??(x?m)x?m，h(x)??x?0? x?0x?0. （1）若f(1)≥4，求m的取值范围； （2）当m＞0时，求证h(x)在?m,???上是单调递增函数； （3）若h(x)对于一切x??1,2?，不等式h(x)?1恒成立，求实数m的取值范围. 22、解：（1）f(1)?2?(1?m)1?m?4当m?1时，(1?m)(m?1)?2，无解； 当m?1时，(1?m)(1?m)?2，解得m?1?mx22. 所以m?1?2. （2）由于m?0,x?m.所以h(x)?3x??2m. 2任取m?x1?x2，h(x2)?h(x1)?(x2?x1)(2223x1x2?m)x1x2 x2?x1?0,3x1x2?m?3m?m?0,x1x2?0 所以h(x2)?h(x1)?0 即：h(x)在?m,???为单调递增函数. 第13页 解二：由（2）结论得：h(x)，x?[1，所以只要1?hmin(x)?h(1)?f(1)， 2]是单调递增函数，得(1?m)1?m??1，当m?1时不等式显然成立；当m?1时，解得：1?m?2， 综上得：m?2． 23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分. 设函数fn(?)?sinn??(?1)ncosn?,0????4，其中n为正整数. （1）判断函数f1(?)、f3(?)的单调性，并就f1(?)的情形证明你的结论； （2）证明：2f6(?)?f4(?)??cos4??sin4???cos2??sin?2?； （3）对于任意给定的正整数n，求函数fn(?)的最大值和最小值. 第14页 23、解:（1）f?1(?)、f3(?)在?0,??4?上均为单调递增的函数. ?? 对于函数f)?sin??cos?，设 ??1(?1??2,?1、?2????0,?， ?4?则 f1(?1)?f1(?2)??sin?1?sin?2???cos?2?cos?1??sin?1?sin?2,cos?2?cos?1， ?f1??1??f1??2?,?函数f???1(?)在?0,4?上单调递增.（2）? 原式左边?? ?2?sin6??cos6????sin4??cos4?? ?2?sin2??cos2???sin4??sin2??cos2??cos4????sin4??cos4???1?sin22??cos22? 又原式右边??cos2??sin2??2?cos22?. ?2f)?fs4??sin4226(?4(?)??co???cos??sin??. （3）当n?1时，函数f???1(?)在?0,?4?上单调递增， ? ? f???1(?)的最大值为f1???0，最小值为f1?0???1. ?4? 当n?2时，f2????1，? 函数f2(?)的最大、最小值均为1. 当n?3时，函数f3(?)在????0,4?上为单调递增. ?? ? f3(?)的最大值为f???3???0，最小值为f3?0???1. ?4? 当n?4时，函数f?)?1?14(2sin22?在????0,?上单调递减， ?4?? f)的最大值为f???14(?4?0??1，最小值为f4???2. ?4? 下面讨论正整数n?5的情形： 当n为奇数时，对任意????1、?2??0,?且?1??2, ?4? ? fnn(?1)?fn(?2)??sinn?1?sinn?2???cos?n2?cos?1?， 以及 0?sin?1?sin?2?1,0?cos?2?cos?1?1， ， 第15页 ? sinn?1?sinn?2, ? fn(?)在?0,??nncos?2?cos?1，从而 fn(?1)?fn(?2). ??上为单调递增，则 4???????0，最小值为f4?0???1. 4?? fn(?)的最大值为fn? 当n为偶数时，一方面有 fn(?)?sinn??cosn??sin2??cos2??1?fn(0). 另一方面，由于对任意正整数l?2，有 2f?)?f2l?22l?222l(2l?2(?)??cos??sin???cos??sin2???0， ?fn(?)?12fn?2(?)???1nf1?f???2(?)?n?1n4?. 22?22?1??? 函数ff????1?nn(?)的最大值为n(0)?1，最小值为fn???2? ?4??2?. ? 综上所述，当n为奇数时，函数fn(?)的最大值为0，最小值为?1. n 当n为偶数时，函数f?1?n(?)的最大值为1，最小值为2?? ?2? 第16页 ? sinn?1?sinn?2, ? fn(?)在?0,??nncos?2?cos?1，从而 fn(?1)?fn(?2). ??上为单调递增，则 4???????0，最小值为f4?0???1. 4?? fn(?)的最大值为fn? 当n为偶数时，一方面有 fn(?)?sinn??cosn??sin2??cos2??1?fn(0). 另一方面，由于对任意正整数l?2，有 2f?)?f2l?22l?222l(2l?2(?)??cos??sin???cos??sin2???0， ?fn(?)?12fn?2(?)???1nf1?f???2(?)?n?1n4?. 22?22?1??? 函数ff????1?nn(?)的最大值为n(0)?1，最小值为fn???2? ?4??2?. ? 综上所述，当n为奇数时，函数fn(?)的最大值为0，最小值为?1. n 当n为偶数时，函数f?1?n(?)的最大值为1，最小值为2?? ?2? 第16页
