第5章 参数估计与假设检验练习题
1、设随机变量 X 的数学期望为 ? ，方差为 ?2 ，（X1 ，X2 ，···，Xn ）为X的一个样本，
1n1n2试比较 E(?(Xi??)) 与 E(?(Xi?X)2) 的大小。
ni?1ni?1
（ 前者大于后者 ）
2、设随机变量 X与Y相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = ?2 ，试问：k 取何值时，Z = k ( X 2 ? Y 2 ) + Y 2 是 ?2 的无偏估计 。
（ 16 / 7 ）
3、设正态总体 X ~ N ( ? , ?2 ) ，参数 ? ，?2 均未知，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）（ n ? 2 ）
??C?(Xi?1?Xi)2 为 ?2 的无偏估计。 为简单随机样本，试确定 C，使得 ?2i?1n?1 （
4、假设总体 X 的数学期望为 ? ，方差为 ? 2 ，(X1,X2,...,Xn) 为来自总体 X 的一个样本，
X、S2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 X2?cS2 为 ? 2 的无偏估计量.
1 ）
2(n?1)
（ 1 / n ）
5、设 X1 ，X2 是取自总体 N ( ? , ?2 ) （ ? 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量
?1??131111?2?X1?X2 ，??3?X1?X2 中哪个最有效。 X1?X2 ，?442232
?2 ） （ ?
?3x2?6、设某总体 X 的密度函数为：f(x,?)???3??00?x??其它 ，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为该
总体的样本， Yn = max ( X1 , X2 , … , Xn ) ，试比较未知参数 ? 的估计量 个更有效？
（ n > 1 时，
7、从某正态总体取出容量为10的样本，计算出
?2 。 ? 和 ?方差的矩估计 ?3n?1Yn 更有效 ） 3n43n?1Yn 哪X 与
3n3?xi?110i?150 ，?xi2?2720 。求总体期望与
i?110
（ 15 ；47 ）
11?(1?)??1??8、设总体 X 具有密度 f(x;?)??C?x?0?x?C ，其中参数 0 < ? < 1，C 为已知常数，x?C且C > 0，从中抽得一样本 X1 ，X2 ，… ，Xn ，求参数 ? 的矩估计量。
1n（ 1 ? C /?X ，其中 X??Xi ）
ni?1
9、设总体 X 服从（ 0，? ）上的均匀分布，其中 ? > 0 是未知参数，（ X1 ，X2 ，… ，
? ，并判断 ?? 是否为 ? 的无偏估计量。 Xn ）为简单随机样本，求出 ? 的矩估计量 ?
1n（ 2?X ，其中 X??Xi ；是 ）
ni?1
10、设（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：
2???1??1?xf(x;?)????1?0?0?x?1 ， 其中 ? > 1 且未知。试求该总体未知参数 ? 的极大似然估计量。 其它
n1?（ ??lnXi ） MLE?1?ni?1
??(1?x)??1,x?(0,1)11、设总体 X 的概率密度为 f(x;?)?? ，其中 ? > 0 是未知参数，
0,x?(0,1)?（X1 ，X2 ，…… ，X n ）是取自总体X的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值和最大似然估计量。
?（ ?MLE??ln1(?x)ii?1n?ln1(?x)?nii?1n? ；?MLE???ln(1?Xi?1ni)?ln(1?Xi?1n ）
i)?n
12、设样本 X1 ，X2 ，… ，Xn 为取自分布密度为 f ( x ) 的总体，其中
??(?x)r?1e??xf(x)??0?x?0 （ r 已知），? > 0，求参数 ? 的极大似然估计。 x?0
rr1n1n??（ ?MLE? ，其中 x??xi ； ?MLE? ，其中 X??Xi ）
xXni?1ni?1
13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。若死亡人数X服从参数为 ? 的Poisson 分布，求：（1）? 的极大似然估计值；（2）利用（1）的结果求 P ( X > 2 ) 。
?（ （1）?MLE?2.5 ； （2）0.4562 ）
1??xe14、设（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为： f(x;?)? 2?1（ 参数 ? 未知，且 ? > 0 ），（1）试求未知参数 ? 的极大似然估计量；（2）检验其无偏性。
?MLE （ （1）?1n（2）无偏估计量 ） ??Xi ；
ni?1
?x?x22??15、设总体 X 密度函数为：f(x;?)???2e?0?2x?0， （参数 ? > 0 且未知）， 取样本 其它（X1 ，X2 ，… ，Xn ） ，求总体未知参数 ? 的最大似然估计量和矩估计量。
?（ ?MLE?
21n1n2? ，其中 X??Xi ） Xi ； ?ME?X?ni?1?2ni?1???x16、设总体 X 具有密度函数 f(x;?)???0???10?x?1其它 （ 其中 ? 为未知参数，且
? > 0 ） ，取自总体 X 的一组样本（ X1 ，X2 ，… ，Xn ），求 ? 的矩估计量和极大似然估计量。
2?（ ?ME?X???1?X??1n??? ， 其中 X?n?Xi ； ?MLE?i?1??n??n???lnXi?i?1??? ） ???2
??xe??x17、设随机变量X ~ f(x)???0x?0 （ 未知参数 ? > 0 ），且 EX = ? 。取样本（ X1 ，x?0X2 ，… ，Xn ），求总体期望 ? 的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。
?（ ?MEn1n12?Xi， ?X ，其中 X??Xi ，无偏； ??MLE?2X ，其中 X?ni?1ni?12?E??MLE?2EX6???，有偏 ） n?
18、作 n 次独立重复试验，观察到事件A 发生了m 次，试证明 P ( A ) = p 的矩估计和极大
似然估计均为 m / n 。
19、方差 ? 2 已知，置信度为 1 ? ? ，为使正态总体均值 ? 的置信区间长度不大于 L ，样本容量至少为多少？
4?22（ 不小于 2u?/2 的最小正整数 ）
L
20、设总体 X ~ N ( ? , 102 ) （ ? 未知），若要使 ? 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的长度为4，求样本容量n 最小应为多少？
（ 97 ）
21、由总体 X ~ N ( ? , ?2 ) （ ?2 未知）取得一个样本 X1 ，X2 ，… ，X9 ，计算出?x = 10，
192。 (x?10)?2 ，试求 ? 的双侧置信区间（ ? = 0.05 ）?i9i?1
（ （ 8.847 , 11.153 ） ）
22、从一批钉子中随机抽取16枚，测得平均长度为 2.125 cm ，样本标准差为 0.01713 cm ，假设钉子的长度X服从方差为 0.012 的正态分布，求总体X 的均值 ? 的置信度为90% 的置信区间（计算结果保留小数点后三位有效数字）。
（ （ 2.121 , 2.129 ） ）
23、从一大批电子元件中随机抽取100只，测得元件的平均寿命为 1000小时，如果电子元件的寿命服从正态分布，且均方差 ? = 40 小时，求 ? = 0.05时，电子元件平均寿命的置信区间。
（ （ 992.16 , 1007.84 ） ）
24、设总体X容量为4的样本为 0.5，1.25，0.8，2.0，已知 Y = lnX 服从正态分布 N ( ? , 1 )，（1）求总体X的数学期望；（2）求 ? 的置信度为95%的置信区间。
（ （1）e
25、假设钢珠的直径服从正态分布，现从钢珠的生产线中抽取容量为9的样本（单位：mm），测的直径的平均值?x = 31.05，s2 = 0.252 ，试求：总体 ? 和 ?2 的双侧置信区间（? = 0.05；
222t 0. 025 ( 8 ) = 2.306，t 0. 05 ( 9 ) = 1.8333，?0.95(9)?3.325，?0.05(9)?16.919，?0.025(8)?17.535，2。 ?0.975(8)?2.18）
??12 ； （2）（ ? 0.98 , 0.98 ） ）
（ （ 30.858 , 31.242 ） ； （ 0.0285 , 0.2294 ） ）
26、设总体 X ~ N ( ? , ?2 ) ，参数 ? ，?2 均未知，（X1 ，X2 ，···，Xn ）为简单随机样本，
n1n2X??Xi，W??(Xi?X)2，若假设 H0 ：? = 0，H1 ：? ? 0。试写出假设检验时使用的统
ni?1i?1计量的表达式。
n1n2（ T?，其中 X??Xi，W??(Xi?X)2 ）
ni?1W/n(n?1)i?1X
27、设某批产品的某项质量指标服从正态分布，并且方差根为150，从该批产品中抽取容量为25的一组样本，并测得该项指标的平均值为1645（单位），问是否可以认为这批产品得该项指标值为1600（单位）？（ ? = 0.05 ； t ? / 2 ( 24 ) = 2.064 ，? 0 ( 1.96 ) = 0.975 ，t ? ( 25 ) = 1.708 ）
（ U - 检验法，双侧，接受 H0 ，可以 ）
28、某灯泡厂所生产的灯泡的使用寿命 ? ~ N ( ? , ?2 ) ，如果生产正常时，? = 2000（小时），现在抽检25个灯泡后，得?x = 1832，s = 498，试问生产是否正常（ ? = 0.05 ）？
（ t - 检验法，双侧，接受 H0 ，正常 ）
29、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定当标准重量为250克，标准差不超过3克时，机器工作正常。每天定时检查机器情况。现抽取16罐，测的平均重量为252克，样本标准差为4克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机工作是否正常（ ? = 0.05 ）？
（ 不正常 ）
30、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为81.5分，标准差为15分。试问：在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为85分？并写出检验过程。
（ t - 检验法，双侧，接受 H0 ，可以 ）
31、设某校高中二年级的数学考试成绩服从正态分布，第一学期全年级数学考试平均分为80分，第二学期进行了教改，随机抽取25名学生的数学成绩，算得平均分为85分，标准差为10分。问：教改是否有效果（ ? = 0.05 ）？
（ t - 检验法，右侧，否定H0 ，接受 H1 ，有效果 ）
32、某工厂生产一种金属线，抗拉强度的测量值 X ~ N ( ? , ?2 ) ，且知 ? = 105.6 kg / mm2 ，现经过改进生产了一批新的金属线，从中随机地取10根作实验，测出抗拉强度值，并计算得均值?x = 106.3 kg / mm2 ，标准差 s = 0.8 kg / mm2 ，问这批新线的抗拉强度是否比原来金属线的抗拉强度高（ ? = 0.05 ）？
（ t - 检验法，右侧，否定H0 ，接受 H1 ，是 ）
33、某工厂采用一种新的方法处理废水。对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度X （~ N ( ? , ?2 ) ），测量10个水样，得到以下数据：?x = 17.10 ，s2 = 2.902 。而以往用老方法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19。问新方法是否比老方法好（ ? = 0.05 ，计算结果保留小数点后一位有效数字即可）？
（ t - 检验法，左侧，否定H0 ，接受 H1 ，是 ）
34、某厂生产的电子元件寿命服从方差为 ?02 =10 000 ( 小时2 ) 的正态分布。现采用一种能提高元件效率的新工艺进行生产，并从生产线随机抽取26只元件测出其寿命的样本方差为 s2 = l2 000 ( 小时2 ) ，试根据显著性水平 ? = 0.05 ，作如下显著性检验 H0 ：?2 = ?02 ，
2222H1 ：?2 ? ?02 。（附：?0，，，(25)?40.646?(26)?41.923?(26)?13.844?)?13.12，.0250.0250.9750.975(252222?0)?14.611?0)?37.652） .95(25.95(26)?15.379，?0.05(26)?38.885，?0.05(25
（ ?2 - 检验法，双侧，接受 H0 ，可以认为新工艺生产的元件寿命的方差没有显著变化，或：可以认为在 ? = 0.05 下，新工艺生产的元件寿命的波动没有显著变化。 ）
