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矩形菱形与正方形
一、选择题
1. （2014?黑龙江龙东,第18题3分）如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为 （ ）21·cn·jy·com
A． 4 B． C． D． 2
考点： 整式的混合运算． 专题： 计算题．
分析： 设正方形CEFH边长为a，根据图形表示出阴影部分面积，去括号合并即可得到结果．
解答： 解：设正方形CEFH的边长为a，
2222
根据题意得：S△BDF=4+a﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2）=2+a﹣a+a﹣a﹣a=2， 故选D
点评： 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. （2014?黑龙江龙东,第20题3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：
①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°． 其中正确的个数是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 分析： 根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可
得AG∥CF；分别求出S△EGC与S△AFE的面积比较即可；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=135°． 解答： 解：①正确． 理由：
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
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②正确． 理由：
EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．
222
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）+4=（x+2）， 解得x=3．
∴BG=3=6﹣3=GC； ③正确． 理由：
∵CG=BG，BG=GF， ∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF， ∴AG∥CF； ④正确． 理由：
∵S△GCE=GC?CE=×3×4=6， ∵S△AFE=AF?EF=×6×2=6， ∴S△EGC=S△AFE； ⑤错误．
∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE， 又∵∠BAD=90°， ∴∠GAF=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=135°． 故选：C．
点评： 本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
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3. （2014?黑龙江绥化,第18题3分）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF， 其中正确的有（ ）
2A． 个 C． 4个 D． 5个
考点：矩形的性质； 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 分析：根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角
形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确； 再求出∠AHB=67.5°，∠DOH=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
再求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据DH=DC﹣CF整理得到BC﹣2CF=2HE，判断出④错误；
判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误． 解答：解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=AB， ∵AD=AB， ∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°， ∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
B． 3个
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∴∠OHE=∠AED， ∴OE=OH，
∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°， ∴∠DOH=∠ODH， ∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°， ∴∠EBH=∠OHD， 在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵DF=DC﹣CF=
BC﹣CF，
∴BC﹣2CF=2DF，
∴BC﹣2CF=2HE，故④错误；
∵AB=AH，∠BAE=45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选B． 点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的
判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也本题的难点． 4. （2014?湖南衡阳,第12题3分）下列命题是真命题的是（ ） A． 四边形都相等的四边形是矩形 B． 菱形的对角线相等
C． 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D． 对角线相等的梯形是等腰梯形
考点： 命题与定理． 分析： 利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项． 解答： 解：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题； B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题； D、正确，是真命题． 故选D．
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点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题． 5. （2014?广西来宾，第6题3分）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ） 816 A． B． C． D． 4 8
考点：正方形的性质． 分析：根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 解答：解：∵正方形的一条对角线长为4，
∴这个正方形的面积=×4×4=8． 故选A． 点评：本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键． 6．（2014?广西来宾，第9题3分）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） 等A． 腰梯形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形
考点：正方形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质． 分析：根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得． 解答：解：∵E，F是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD， ∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形． 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形． 故选B．
~]
点评：本题主要考查了矩形的判定定理， 正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解
题的关键． 7．（2014?青岛，第7题3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（ ）21教育网
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44.5 5 A． B． C． D． 3
考点：翻折变换（折叠问题） ． 分析：先求出BC′， 再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，
222
运用勾股定理BF+BC′=C′F求解． 解答：解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，
∴BC′=3，
由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，
222
在直角三角形C′BF中，BF+BC′=C′F，
22∴BF+9=（9﹣BF）， 解得，BF=4， 故选：A． 点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求
解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
9. （2014?山西，第10题3分）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）www.21-cn-jy.com
A． a B． a C． a D． a
考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 分析： 作EM⊥BC于点M，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积求解．2·1·c·n·j·y 解答： 解：作EM⊥BC于点M，EQ⊥CD于点Q，
2222
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°， ∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
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∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°， ∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EN，四边形MCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN=S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC=a， ∵EC=2AE， ∴EC=
a，
∴EP=PC=a，
2
∴正方形MCQE的面积=a×a=a，
2
∴四边形EMCN的面积=a， 故选：D． 点评： 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN．
10. （2014?攀枝花，第9题3分）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电
子甲虫，从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（ ）
A． F B． 点E C． 点A D． 点C 点
考点：菱形的性质；规律型：图形的变化类． 分析：观察图形不难发现，每移动8cm为一个循环组依次循环，用2014除以8，根据商和
余数的情况确定最后停的位置所在的点即可． 解答：解：∵两个菱形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A， ∵2014÷8=251余6，
∴移动2014cm为第252个循环组的第6cm，在点F处． 故选A． 点评：本题是对图形变化规律的考查， 观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解
题的关键．
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11. （2014?丽水，第7题3分）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：
分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（ ）21cnjy.com
矩A． 形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形
考点：菱形的判定；作图—基本作图． 分析：根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形． 解答：解：∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC一定是菱形， 故选：B． 点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及菱形的判定， 得出四边形四边关系是解决
问题的关键．
12．(2014年黑龙江牡丹江) (2014?黑龙江牡丹江, 第8题3分)如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（ ）
第1题图
A． 3 B． 4 C． 1 D． 2
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质．
分析： 首先连接BD，易证得△ADE≌△△BDF，然后可证得DE=DF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF． 解答： 解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD， ∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°， 同理：∠DBF=60°，
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即∠A=∠DBF，
∴△ABD是等边三角形， ∴AD=BD，
∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°， ∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△△BDF（ASA）， ∴DE=DF， ∵∠EDF=60°，
∴△EDF是等边三角形， ∴②正确； ∴∠DEF=60°，
∴∠AED+∠BEF=120°，
∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=120°， ∴∠ADE=∠BEF； 故④正确．
∵∠ADE=∠BDF， 同理：∠BDE=∠CDF，
但∠ADE不一定等于∠BDE， ∴AE不一定等于BE， 故①错误；
∵△ADE≌△△BDF， ∴AE=BF， 同理：BE=CF，
但BE不一定等于BF． 故③错误． 故选D．
点评： 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
13. (2014年湖北黄石) （2014?湖北黄石,第5题3分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
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第2题图
A． 30° B． 60° C． 90° D． 120°
考点： 直角三角形的性质．
分析： 根据直角三角形两锐角互余解答．
解答： 解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形， 所以，∠1+∠2=90°． 故选C．
点评： 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
14. (2014年湖北黄石) （2014?湖北黄石,第8题3分）以下命题是真命题的是（ ） A． 梯形是轴对称图形
B． 对角线相等的四边形是矩形 C． 四边相等的四边形是正方形
D． 有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形
考点： 命题与定理
分析： 根据等腰图形的性质对A矩形判断；根据矩形、正方形和菱形的判定方法分别对B、C、D矩形判断．
解答： 解：A、等腰梯形是轴对称图形，所以A选项错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、四边相等且有一个角为90°的四边形是正方形，所以C选项错误； D、有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形，所以D选项正确． 故选D．
点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
15. (2014年湖北黄石) （2014?湖北黄石,第9题3分）正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（ ）
第4题图
A． （2，0） （2，1）
考点： 坐标与图形变化-旋转．
B． （3，0）
C． （2，﹣1）
D．
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分析： 正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解． 解答： 解：AC=2，
则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2， 则OC′=3，
故C′的坐标是（3，0）． 故选B．
点评： 本题考查了旋转的性质，理解C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点是关键．
16．(2014?陕西,第9题3分)如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（ ）
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A．
4 B．
C．
D． 5
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考点： 菱形的性质．
分析： 连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC?AE=AC?BD可得答案． 解答： 解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO， ∴∠AOB=90°， ∵AC=6， ∴AO=3，
∴B0==4，
∴DB=8，
∴菱形ABCD的面积是×AC?DB=×6×8=24 ∴BC?AE=24， AE=
，
故选：C．
点评： 此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．
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16．（2014?四川绵阳,第9题3分）下列命题中正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 对角线互相垂直的四边形是菱形 B． 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C． D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
考点：命 题与定理． 分析：根 据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 解答：解 ：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误． 故选C． 点评：本 题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命
题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 17．（2014衡阳，第12题3分）下列命题是真命题的是【 】
A．四条边都相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形
18．
二、填空题
1. （2014?黑龙江龙东,第9题3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是 5 ．
考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
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分析： 作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
解答： 解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP， 即Q在AB上， ∵MQ⊥BD， ∴AC∥MQ， ∵M为BC中点， ∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形， ∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形， ∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形， ∴CP=AC=3，BP=BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5， 即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5， 故答案为：5．
点评： 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
2. （2014?黑龙江绥化,第11题3分）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为 3或6 ．
考点：翻折变换（折叠问题） ． 专题：分类讨论． 分析：分①∠EFC=90°时，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设
BE=x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF=AB，EF=BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②∠CEF=90°时，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE=AB． 解答：解：①∠EFC=90°时，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°， ∴点A、F、C共线，
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∵矩形ABCD的边AD=8， ∴BC=AD=8， 在Rt△ABC中，AC=
=
=10，
设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，
由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x， ∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4，
在Rt△CEF中，EF+CF=CE，
222即x+4=（8﹣x）， 解得x=3， 即BE=3；
②∠CEF=90°时，如图2，
由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=×90°=45°， ∴四边形ABEF是正方形， ∴BE=AB=6，
综上所述，BE的长为3或6． 故答案为：3或6．
2
2
2
点评：本题考查了翻折变化的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，此类题目，利用勾股
定理列出方程求解是常用的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 3. （2014?湖南衡阳,第15题3分）如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为 10 ．
考点： 矩形的性质． 分析： 根据矩形性质求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出BO=AB，即可求出答案． 解答： 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD， ∴OA=OB，
∵∠BOC=120°， ∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形， ∴OB=AB=5，
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∴BD=2BO=10， 故答案为：10． 点评： 本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分． 4. （2014?莱芜，第17题4分）如图在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为 （1342，0） ．
考点：规律型：点的坐标；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 专题：规律型． 分析：连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易
发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2014=335×6+4，因此点B4向右平移1340（即335×4）即可到达点B2014，根据点B4的坐标就可求出点B2014的坐标． 解答：解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形， ∴OA=AB=BC=OC． ∵∠ABC=90°，
∴△ABC是等边三角形． ∴AC=AB． ∴AC=OA． ∵OA=1， ∴AC=1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转6次，图形向右平移4． ∵2014=335×6+4，
∴点B4向右平移1340（即335×4）到点B2014． ∵B4的坐标为（2，0），
∴B2014的坐标为（2+1340，0）， ∴B2014的坐标为（1342，0）．
点评：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现
规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．
5. （2014?乐山，第15题3分）如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半
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径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2=
﹣9 ．
考点：整式的加减．. 分析：先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A为圆心，2为半径作圆弧．以
D为圆心，3为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可． 解答：解：∵S正方形=3× 3=9，
S扇形ADC==，
S扇形EAF==π，
）=
﹣9．
∴S1﹣S2=π﹣（S正方形﹣S扇形ADC）=π﹣（9﹣故答案为：
﹣9．
点评：本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键． 6. （2014?乐山，第15题3分）如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2=
﹣9 ．
考点：整式的加减．.
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分析：先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A为圆心，2为半径作圆弧．以
D为圆心，3为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可． 解答：解：∵S正方形=3× 3=9，
S扇形ADC==，
S扇形EAF==π，
）=
﹣9．
∴S1﹣S2=π﹣（S正方形﹣S扇形ADC）=π﹣（9﹣故答案为：
﹣9．
点评：本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
7．（3分）（2014?贵州黔西南州, 第19题3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、
CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF= 45 °．
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第1题图
考点： 角的计算；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，再
根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC， ∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°， ∴∠EBD+∠DBF=45°， 即∠EBF=45°，
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故答案为：45°．
点评： 此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，
再进行计算，是一道基础题．
8. （2014?黑龙江哈尔滨,第17题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为 5或6 ．
第2题图
考点：矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理． 专题：分类讨论． 分析：需要分类讨论：PB=PC和PB=BC两种情况． 解答：解：如图，在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=6．
如图1，当PB=PC时，点P是BC的中垂线与AD的交点，则AP=DP=AD=3．
在Rt△ABP中，由勾股定理得 PB=
=
=5；
如图2，当BP=BC=6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形． 综上所述，PB的长度是5或6．
点评：本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理．解题时，要分类讨论，以防
漏解．
9. （2014?黑龙江哈尔滨,第19题3分）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为 5 ．
第3题图
考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形． 分析：由四边形ABCD是正方形，AC为对角线，得出∠AFE=45°，又因为EF⊥AC，得到
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∠AFE=90°得出EF=AF=3，由△EFC的周长为12，得出线段FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC，在RT△EFC中，运用勾股定理EC=EF+FC，求出EC=5． 解答：解：∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠AFE=45°， 又∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，∠AEF=45°， ∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12， ∴FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC，
222
在RT△EFC中，EC=EF+FC，
22∴EC=9+（9﹣EC）， 解得EC=5． 故答案为：5． 点评：本题主要考查了正方形的性质及等腰直角三角形，解题的关键是找出线段的关系．运
用勾股定理列出方程． 10． (2014?黑龙江牡丹江, 第20题3分)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是
．
2
2
2
第4题图
考点： 全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质． 分析： 根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为
=
，根据相似三角形的性
质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第2014个正方形和第2014个正方形的边长，进一步得到点A2014到x轴的距离．
解答： 解：如图，∵点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△1CE1D1，…， ∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…， ∴B2014E4016=
，
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作A1E⊥x轴，延长A1D1交x轴于F， 则△C1D1F∽△C1D1E1， ∴
=
，
在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1， 正方形A1B1C1D1的边长为为∴D1F=∴A1F=
， ，
=
，
∵A1E∥D1E1， ∴
=
，
∴A1E=3，∴
=，
×=
∴点A2014到x轴的距离是
点评： 此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键．
11. （2014?湖北黄冈,第15题3分）如图，在一张长为8cm，宽为6cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上）．则剪下的等腰三角形的面积为
，5
，10 cm．
2
第5题图
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AC2(23)2性质可知AO⊥CO。在Rt△AOC中，根据勾股定理求出AO=CO=??6，从而求出22Rt△AOC的面积，再减去△ACD的面积得阴影部分AOCD面积，一共有四个这样的面积，乘以4即得解。21教育名师原创作品 【解答】 解：连接BD、AC，相交于点E，连接AO、CO。 ∵因为四边形ABCD是菱形， ∴AC ⊥BD，AB＝AD＝2。 ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形，BD＝AB＝2， ∴∠BAE＝111∠BAD＝30°，AE＝AC，BE=DE=BD=1， 222AB2?BE2?22?12?3， 在Rt△ABE中，AE＝∴AC＝23。 ∵菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°， ∴∠AOC＝1×360°＝90°，即AO⊥CO，AO＝CO 422在Rt△AOC中，AO=CO=AC?(23)?6。 22∵S△AOC=1111AO·CO=×6×6=3，S△ADC=AC·DE＝×23×1＝3, 2222∴S阴影＝S△AOC －S△ADC=4×（3－3）＝12－43 所以图中阴影部分的面积为12－43。 18、（2014?宁夏，第10题3分）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长
AB= 5 cm．
考点：菱形的性质；勾股定理 专题：常规题型． 分析：根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线一半的长度， 然后利用勾股定理列式计算
即可得解． 解答：解：如图，∵菱形ABCD中，对角线长AC=8cm，BD=6cm，
∴AO=AC=4cm，BO=BD=3cm， ∵菱形的对角线互相垂直，
∴在Rt△AOB中，AB=故答案为：5．
=
=5cm．
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点评：本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质， 作出图形更形象直观且有助于理
解． 19、（2014?宁夏，第15题3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分线交BC于点E，且AE∥CD，则四边形ABCD的面积为 ．
考点：平行四边形的判定与性质；等边三角形的判定与性质 分析：根据题意可以判定△ABE是等边三角形，求得该三角形的高即为等腰梯形ABCD的
高．所以利用梯形的面积公式进行解答． 解答：解：如图，过点A作AF⊥BC于点F．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB， 又∵∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∵AE∥CD， ∴∠AEB=∠C，
∵AD∥BC，AB=CD=2， ∴四边形是等腰梯形， ∴∠B=∠C，
∴△ABE是等边三角形， ∴AB=AE=BE=2，∠B=60°，
∴AF=AB?sin60°=2×
=
，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD=EC=BC﹣BE=5﹣2=3，
∴梯形的面积=（AD+BC）×AF=×（3+5）×
=4．
点评：本题考查了等边三角形的判定和性质， 平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质等． 20．
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三、解答题
1. （2014?海南,第23题13分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BH⊥AF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：△OAE≌△OBG；
（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）试求：
的值（结果保留根号）．
考点：四边形综合题． 分析：（1）通过全等三角形的判定定理ASA证得：△OAE≌△OBG；
（2）四边形BFGE是菱形．欲证明四边形BFGE是菱形，只需证得EG=EB=FB=FG，即四条边都相等的四边形是菱形；
（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEBF的边长为b．由该菱形的性质CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）；然后在Rt△GOE
中，由勾股定理可得a=到：
=
=
b，通过相似三角形△CGP∽△AGB的对应边成比例得
=
=
﹣
﹣1；最后由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，故
1． 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°． ∵BH⊥AF， ∴∠AHG=90°，
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH， ∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．
∴在△OAE与△OBG中，
∴△OAE≌△OBG（ASA）；
（2）四边形BFGE是菱形，理由如下： ∵在△AHG与△AHB中，
，
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