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二次函数应用题专题复习
（一）平均增长（下降）率问题
变化前后关系式：变化前数量×（1?x）＝变化后数量
例1 ：长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
举一反三：
1.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
n
（二）传播问题
例2：.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（三）比赛问题
例3.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？
（四）商品销售问题
售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额 例4、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
例5、某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时， 未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
举一反三
1、某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
3、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y?kx?b，且x?65时，y?55；x?75时，y?45． （1）求一次函数y?kx?b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．
（五）几何图形
例6、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
举一反三
1、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积随S出发时间如何变化？写出函数关系式及t的取值范围.
（六）建立坐标系解决问题
例7、在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
举一反三
1、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，
，由A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物
线路线落下，为使水流形状较为漂亮， 要求设计成水流离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m． （1）以O为坐标轴原点，OA为y轴建立直角坐标系，求抛物线ACB的函数表达式； （2）水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？ （3）若水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流高度应达多少米（精确到0.1m）？
（七）文字理解题
例8、心理学家研究发现，一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想状态，随后学生的注意力开始分散，经过试验分析可知，学生的注意力 y 随时间x 的变化规律有如下关系式：
y?
?t2?24t?100(0?t?10) 240(10?t?20)
?7t?380(20?t?40)
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ （2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中，能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
变式训练
1、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系y??50x?2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：
月份 销售量
1月 3.9万台
5月 4.3万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）． （参考数据：34≈5.831，35≈5.916，37≈6.083，38≈6.164）
二次函数应用题答案
1、解：(1) （130-100）×80=2400（元）
（2）设应将售价定为x元，则销售利润 y?(x?100)(80?130?x?20) 5??4x2?1000x?60000??4(x?125)2?2500.
当x?125时，y有最大值2500. ∴应将售价定为125元,最大销售利润是2500元.
2、解：（1）y?(2400?2000?x)?8?4?（2）由题意，得???22x?y??x?24x?3200． ，即?2550?22x?24x?3200?4800．整理，得x2?300x?20000?0． 25得x1?100，x2?200．要使百姓得到实惠，取x?200．所以，每台冰箱应降价200元． （3）对于y??22x?24x?3200，当x??2524?150时， 2??2?????25?150??y最大值?(2400?2000?150)?8?4???250?20?5000．
50??所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元． 3、
4、解：（1）设p与x的函数关系为p?kx?b(k?0)，根据题意，得
?k?b?3.9，?k?0.1，解得所以，p?0.1x?3.8． ???b?3.8.?5k?b?4.3.设月销售金额为w万元，则w?py?(0.1x?3.8)(?50x?2600)． 化简，得w??5x2?70x?9800，所以，w??5(x?7)2?10125．
当x?7时，w取得最大值，最大值为10125．
答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元． （2）去年12月份每台的售价为?50?12?2600?2000（元）， 去年12月份的销售量为0.1?12?3.8?5（万台），
根据题意，得2000(1?m%)?[5(1?1.5m%)?1.5]?13%?3?936． 令m%?t，原方程可化为7.5t2?14t?5.3?0．
14?(?14)2?4?7.5?5.314?37．?t1≈0.528，t2≈1.339（舍去） ?t??2?7.515答：m的值约为52.8．
?65k?b?55，5、解：（1）根据题意得?解得k??1，b?120．
?75k?b?45.所求一次函数的表达式为y??x?120．
（2）W?(x?60)(?x?120) ??x?180x?7200 ??(x?90)2?900， 抛物线的开口向下，?当x?90时，W随x的增大而增大，而60≤x≤87，
2?当x?87时，W??(87?90)2?900?891．
?当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
2（3）由W?500，得500??x?180x?7200，
2整理得，x?180x?7700?0，解得，x1?70，x2?110．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，所以，销售单价x的范围是70≤x≤87．
?20?2(x?1)?2x?18(1?x?6)(x为整数)......(2分)y?6、 解：（1） ?30 (6?x?11)(x为整数)......(4分)?
（2）设利润为w
112?2y?z?20?2(x?1)?(x?8)?12?x?14(1?x?6)(x为整数)......（6分）??88w??
?y?z?30?1(x?8)2?12?1(x?8)2?18(6?x?11)(x为整数)......（8分）?88?
121x?14 当x?5 时，w最大＝17（元）....(9分) 88111 w?(x?8)2?18 当x?11 时，w最大＝?9?18＝19（元）....（10分）8881综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件19元?(10分
8w?7．解： （1）依题意得：y1?(2100?800?200)x?1100x， y2?(2400?110?01x0?0)20?000x?120，0 20000（2）设该月生产甲种塑料x吨，则乙种塑料(700?x)吨，总利润为W元，依题意得： W?1100x?1200(7?0x0?)20?0?00x?100．
∵??x≤400，解得：300≤x≤400．
?700?x≤400，∵?100?0，∴W随着x的增大而减小，∴当x?300时，W最大=790000（元） 此时，700?x?400（吨）．
因此，生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大，最大利润为790000元．
127??25??3?3b?cb??1????888、解：（1）由题意：?解得?
?24?1?42?4b?c?c?291??8?2?（2）y?y1?y2??（3）y??∵a??1313151??1x?36??x2?x?29???x2?x?6；
822882??812311111x?x?6??(x2?12x?36)?4?6??(x?6)2?11 82282281?0，∴抛物线开口向下．在对称轴x?6左侧y随x的增大而增大． 8由题意x?5，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大．
112最大利润??(4?6)?11?10（元）．
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二次函数应用题课后练习
1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
2、用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2xm．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．
3、如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?
4、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；
（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为
1z??(x?8)2?12， 1≤ x ≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每
8件获得利润最大？并求最大利润为多少？
5、行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号的汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速0 10 20 30 40 50 60 /km·h－1 刹车距离/m 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8 (1)以车速为x轴，以刹车距离为y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出函数的大致图象；
(2)观察图象．估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式；
(3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，推测刹车时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
6、某科技开发公司研制出一种新型的产品,每件产品的成本为2400元, 销售单价定为3000元 某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元． （1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
