绵阳市高中2015级第三次诊断性考试
数学（理工类） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z满足
1?i?i（i是虚数单位），则z=（ ） z?iA．1 B．-1 C．i D．?i
2.已知集合A??2,0,?2?，B?xx?2x?3?0，集合P?A2??B，则集合P的子集个数
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y??0.7x?a?，则（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程y??（ ） a
A． 0.25 B．0.35 C．0.45
D． 0.55
?2x?y?4?4.已知实数x,y满足?x?2y?4，则z?3x?2y的最小值是（ ）
?y?0?A．4 B．5 C. 6 D．7
5.执行如图所示的程序框图，若输入t???1,3?，则输出s的取值范围是（ ）
?2?2??e,1eA．? B． C. D．1,e01，???????,e??
- 1 -
6.甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（ ）
A．吉利，奇瑞 B．吉利，传祺 C. 奇瑞，吉利 D．奇瑞，传祺
PD?底面ABCD，M是侧棱PD7.如图1，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
上靠近点P的四等分点，PD?4.该四棱锥的俯视图如图2所示，则?PMA的大小是（ ） A．
2?3?5?7? B． C. D． 346128.在区间[?是（ ） A．
??，]上随机取一个实数x，则事件“?1?3sinx?cosx?2”发生的概率221751 B． C. D．
312124x2y29.双曲线E：2?2?1(a?0，b?0）的离心率是5，过右焦点F作渐近线l的垂线，垂足
ab为M，若?OFM的面积是1，则双曲线E的实轴长是（ ） A． 2 B． 22 C. 1 D．2
10.已知圆C1:x2?y2?r2，圆C2:(x?a)2?(y?b)2(r?0)交于不同的A(x1,y1)，
B(x2,y2)两点，给出下列结论：①a(x1?x2)?b(y1?y2)?0；②2ax1?2by1?a2?b2；③x1?x2?a，y1?y2?b.其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B． 1 C. 2 D．3
11.?ABC中，AB?5，AC?10，AB?AC?25，点P是?ABC内（包括边界）的一动点，且AP?32AB??AC（??R），则AP的最大值是（ ） 55
- 2 -
A．
33 B．37 C. 39 D．41 212.对于任意的实数x?[1,e]，总存在三个不同的实数y?[?1,4]，使得y2xe1?y?ax?lnx?0成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[1631616231621,](0,][,e?)[,e?) B． C. D．e3ee3e3ee3e第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.(2?x)(x?1)4的展开式中，x2的系数是 ．
14.奇函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，f(3)?2，则f(1)? ．
15.已知圆锥的高为3，侧面积为20?，若此圆锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为 ．
16.如图，在?ABC中，BC?2，?ABC??3，AC的垂直平分线DE与AB,AC分别交于
D，E两点，且DE?62，则BE? ． 2
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列?an?的前n项和Sn满足：a1an?S1?Sn. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）若an?0，数列{log2值.
18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量
an}的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小32X（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：
- 3 -
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立. （Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量X??270，310?的概率；
（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当X??230，270?时，没有影响；当
X??270.310?时，经济损失为10万元；当X??310,350?时，经济损失为60万元.为减少
损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施.
试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.
19. 如图，在五面体ABCDPN中，棱PA?底面ABCD，AB?AP?2PN.底面ABCD是菱形，?BAD?2?. 3
（Ⅰ）求证：PN∥AB；
（Ⅱ）求二面角B?DN?C的余弦值.
x2y220. 如图，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，MF2?x轴，直线
abMF1交y轴于H点，OH?2，Q为椭圆E上的动点，?F1F2Q的面积的最大值为1. 4
- 4 -
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A、B、C、D，且使AD?x轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
21. 已知函数f(x)?ax?自然对数的底数.
（Ⅰ）求实数a的取值范围； （Ⅱ）求f(x2)?f(x1)的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取
2相同的长度单位.曲线C的极坐标方程是??a?4lnx的两个极值点x1,x2满足x1?x2，且e?x2?3，其中e为x16.
1?3cos2?（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点M,N，在第一象限内曲线C上任取一点
P，求四边形OMPN面积的最大值.
23.选修4-5：
设函数f(x)?x?a?x?3a.
（Ⅰ）若f(x)的最小值是4，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的实数x?R，总存在a???2,3?，使得m?4m?f(x)?0成立，求实
2数m的取值范围.
- 5 -
试卷答案
一、选择题
1-5: ABBCC 6-10: ACBDD 11、12：BA 二、填空题
13. 16 14. 2 15.三、解答题
17.解：（Ⅰ）由已知a1an?S1?Sn，可得
当n?1时，a12?a1?a1，可解得a1?0，或a1?2，
当n?2时，由已知可得a1an?1?S1?Sn?1，两式相减得a1(an?an?1)?an. 若a1?0，则an?0，此时数列?an?的通项公式为an?0. 若a1?2，则2(an?an?1)?an，化简得an?2an?1，
即此时数列?an?是以2为首项，2为公比的等比数列，故an?2n. ∴综上所述，数列?an?的通项公式为an?0或an?2n. （Ⅱ）因为an?0，故an?2n. 设bn?log2256?5 16.?3 812an，则bn?n?5，显然?bn?是等比数列， 32- 6 -
试卷答案
一、选择题
1-5: ABBCC 6-10: ACBDD 11、12：BA 二、填空题
13. 16 14. 2 15.三、解答题
17.解：（Ⅰ）由已知a1an?S1?Sn，可得
当n?1时，a12?a1?a1，可解得a1?0，或a1?2，
当n?2时，由已知可得a1an?1?S1?Sn?1，两式相减得a1(an?an?1)?an. 若a1?0，则an?0，此时数列?an?的通项公式为an?0. 若a1?2，则2(an?an?1)?an，化简得an?2an?1，
即此时数列?an?是以2为首项，2为公比的等比数列，故an?2n. ∴综上所述，数列?an?的通项公式为an?0或an?2n. （Ⅱ）因为an?0，故an?2n. 设bn?log2256?5 16.?3 812an，则bn?n?5，显然?bn?是等比数列， 32- 6 -
