考点二十九：尺规作图
聚焦考点☆温习理解 1．尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺 2．基本作图
(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和﹑差； (2)作一个角等于已知角，以及角的和﹑差； (3)作角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过一点作已知直线的垂线． 3．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； (2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型 6．作图的一般步骤 尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹； (4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有
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解；
(6)结论：对所作图形下结论． 名师点睛☆典例分类 考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图
【例1】（2017四川自贡第22题）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
【答案】作图见解析． 【解析】
试题分析：根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠DCE的角平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；
根据中垂线的性质可得：到A、B的距离相等的点在AB的垂直平分线上，所以第二步作线段AB的垂直平分线MN，其交点就是P点.
试题解析：作法：①作∠ECD的平分线CF， ②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．
考点：作图设计．
【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应
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用． 【举一反三】
（2017黑龙江绥化第22题）如图，A,B,C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离．请用直尺和圆规在所给的图中作出点P．(不写作法和证明，只保留作图痕迹)
【答案】作图见解析. 【解析】
考点：作图—应用与设计作图．
考点典例二、画已知直线的平行线，垂线
【例2】（北京市燕山区2017届九年级一模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.
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请回答：该作图依据是__________________________________________________． 【答案】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线 【解析】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线。
【点睛】尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的平行线，实际上就是基本作图：作一个角等于已知角． 【例3】（北京市海淀区2017-2018学年九年级上学期期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程. 已知： ?ABC.
求作： BC边上的高AD 作法：如图，
(1)分别以点A和点C为圆心，大于(2)作直线PQ，交AC于点O；
(3)以O为圆心， OA为半径⊙O,与CB的延长线交于点D，连接AD，线段AD即为所作的高. 请回答；该尺规作图的依据是___________________________________________________
【答案】①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线.
1AC的长为半径作弧，两弧相交于P， Q两点； 2 4
【解析】由（1）（2）（3）可得OA=OC=OD，所以A、D、C在以O为圆心，AC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADC=90°，即AD为BC边上的高.
故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线.
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图时在五种基本作图的基础上你进行作图，一般是几何了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作. 【举一反三】
（2017浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C.
考点：基本作图. 考点典例三、画三角形
【例4】（2017江苏无锡第24题）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）： （1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
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【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形． 试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．
【点睛】(1)作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形；
(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形． 【举一反三】
已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．
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【答案】作图见解析. 【解析】
试题分析：先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可． 试题解析：
考点：作图—基本作图． 考点典例四、通过画图确定圆心
【例5】（2017浙江嘉兴同学19题）如图，已知?ABC，?B?40?．
（1）在图中，用尺规作出?ABC的内切圆O，并标出O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接EF，DF，求?EFD的度数． 【答案】（1）作图见解析；（2）70°． 【解析】
试题分析：（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论． 试题解析：（1）如图1，
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⊙O即为所求． （2）如图2，
连接OD，OE， ∴OD⊥AB，OE⊥BC， ∴∠ODB=∠OEB=90°， ∵∠B=40°， ∴∠DOE=140°， ∴∠EFD=70°．
考点：1.作图—复杂作图；2.三角形的内切圆与内心．
【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆． 【举一反三】
(浙江省杭州市余杭区2017届九年级上学期期中) 如图，（1）作△ABC的外接⊙O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求⊙O的半径．
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【答案】（1）（1）作图见解析；（2）
25 8【解析】试题分析：（1）作线段AB于BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为圆心，OA为半径，作△ABC的外接圆即可；
（2）先根据勾股定理求出CD的长，设OC=OA=r，则OD=CD-r，在Rt△AOD中，利用勾股定理求出r的值即可．
试题解析：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）∵AB=6cm，AC=BC=5cm， ∴AD=∴CD=1AB=3cm， 2AC2?AD2=52?32=4cm．
设OC=OA=r，则OD=4-r， 在Rt△AOD中，
∵AD+OD=OA，即3+（4-r）=r，解得r=课时作业☆能力提升
1．（2017广西四市）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
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25． 8
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC 【答案】D． 【解析】
试题分析：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，∴AE∥BC，故C选项正确，∴∠EAC=∠C，故B选项正确，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，故选D．
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考点：作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
2．（2016-2017学年江苏盐城东台市第二教育联盟初二上10月考）用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）.
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角 C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边 【答案】B．
考点：作图——复杂作图．
3．（河南省驻马店市确山县2017-2018学年八年级上学期期中）如图，已知钝角?ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是（ ）
A. AC平分∠BAD B. BH垂直平分线段AD C. 【答案】B
【解析】解：①、错误．CA不一定平分∠BAD．
D. AB=AD
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②、正确．如图连接CD、BD．∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．
③、错误．应该是S△ABC=?BC?AH． ④、错误．根据条件AB不一定等于AD． 故选B．
点睛：本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法．
4．（福建省晋江市2017年初中学业质量检查）已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA?PB 的值最小，则下列作法正确的是( ).
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
如图，由作图可知，B，B＇关于直线对称，所以BP= B＇P,此时AP +PB＇=AP+PB值最小.
5．（2017湖北随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）
A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧 B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧 C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧 D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧 【答案】D
【解析】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、
OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．
6．（浙江省温州市鹿城区第二十三中学2017学年H上八年级期中）如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为?D?O?C???DOC,所以?D?O?C???DOC.由这种作图方法得到的?D?O?C?和
?DOC全等的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A
【解析】根据作图方法可知：D' O' =DO， O' C'=OC，D'C'=DC，根据SSS即可得?D?O?C???DOC，故选A.
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7．（2017届浙江省杭州市淳安县中考模拟）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分。例如可将圆6等分，如图只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把⊙O六等分。下列可以只用圆规等分的是（ ）
①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分
A. ② B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D
【解析】经过圆心的直径可将圆周两等分；画一条直径，以直径的一个端点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与原有圆有两个交点，这两个交点与直径另一个端点就是圆的三等分点；画两条互相垂直的直径就可以将圆四等分；五等分圆如下图所示：
8．（山东省日照市莒县2016-2017学年期末）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A. 【答案】B
B. C. D.
【解析】试题分析：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B． 考点：作图—基本作图．
9．（浙江省丽水市青田县八校联盟2017届九年级上学期第二次教学效果调研）已知线段AB,下列尺规作图中,PQ与AB的交点O不一定是AB的中点的是( )
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A. A B. B C. C D. D 【答案】C
110．（2017湖北宜昌卷）如图，在?AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的
2长为半径作弧，两弧相交于G,H两点，作直线GH，交EF于点O,连接AO，则下列结论正确的是（ ）
A．AO平分 ?EAF B．AO垂直平分EF C. GH垂直平分EF D．GH平分AF 【答案】C 【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线的作法可得，GH垂直平分线段EF． 故选：C．
考点：1、作图—基本作图；2、线段垂直平分线的性质
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11．（浙江省杭州市青春中学2016-2017学年八年级上学期期中）如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为△DOC≌△DOC，所以∠DOC＝∠DOC。由这种作图方法得到的△DOC和△DOC全等′′′
′′′
′′′
的依据是___（写出全等判定方法的简写）
【答案】SSS
【解析】由题意得，， 得△D′O′C
′
△DOC.
12．（2017年初中毕业升学考试河北卷）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=___°．
【答案】56
【解析】试题分析：如图，根据作图痕迹可知，GH垂直平分AC，AG平分∠CAD. ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ABC=68°。 ∵AG平分∠CAD，∴∠CAG=
∠CAD=34°。
∵GH垂直平分AC，∴∠AHG=90°，∴∠AGH=90°-34°=56°。 ∵∠α=∠AGH，∴∠α=56°。
考点：尺规作图，矩形的性质，角平分的定义，直角三角形的性质.
13．（2017年北京怀柔初三数学二模）下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程.
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如图，直线L1与L2相交于点O，A,B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB=30°，请在图中作出符合条件的点P.
作法：如图，
（1）以AB为边在L2上方作等边△ABC；
（2）以C 为圆心，AB长为半径作⊙C交直线L1于P1，P2两点. 则P1、P2就是所作出的符合条件的点P.
请回答:该作图的依据是______________________________________________________. 【答案】一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半. 【解析】∵△ABC是等边三角形， ∴∠C=60°，
∴∠AP1B=30°，∠AP2B=30°
依据是：一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半.
14.（2017甘肃庆阳第21题）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析 【解析】
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试题分析：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
试题解析：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，
方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．
考点：作图—复杂作图；三角形中位线定理．
15.（2017广西贵港第20题）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： 已知线段a和?AOB，点M 在OB上（如图所示）.
（1）在OA边上作点P，使OP?2a ； （2）作?AOB的平分线； （3）过点M作OB的垂线. 【答案】作图见解析. 【解析】
试题分析：（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置； （2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；
（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线； 试题解析：（1）点P为所求作； （2）OC为所求作； （3）MD为所求作；
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考点：作图—复杂作图．
16.（2017湖北孝感第20题）如图，已知矩形ABCD?AB?AD? . （1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE； ②作?DAE的平分线交CD 于点F； ③连接EF;
（2）在（1）作出的图形中，若AB?8,AD?10，则tan?FEC的值为 .
【答案】（1）画图见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）根据题目要求作图即可；
（2）由（1）知AE=AD=10、∠DAF=∠EAF，可证△DAF≌△EAF得∠D=∠AEF=90°，即可得∠FEC=∠BAE，从而由tan∠FEC=tan∠BAE=
3 . 4BE可得答案． AB试题解析：（1）如图所示；
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考点：1.作图﹣基本作图；2.全等三角形的判定与性质；3.解直角三角形.
17.（2017贵州六盘水第25题）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN的中点，P是直径MN上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当PA+PB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹). (2)求PA+PB的最小值.
【答案】（1）详见解析；(2)22. 试题分析：(1)画出A点关于MN的称点A?,连接A?B,就可以得到P点; (2)利用∠AMN=30°得∠AON=∠
A?ON=60°，又B为弧AN的中点,∴∠BON=30°，所以∠A?ON=90°，再求最小值22．
试题解析：
(1)如图，点P即为所求作的点.
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(2)由（1）可知，PA+PB的最小值为A'B的长， 连接OA',OB、OA
∵A点关于MN的称点A?，∠AMN=30°，
∴?AON??A'ON?2?AMN?2?300?600 又∵B为AN的中点 ∴AB?BN ∴?BON??AOB?11?AON??600?300 22∴?A'OB??A'ON??BON?600?300?900 又∵MN=4 ∴OA'?OB?11MN??4?2 22在Rt△A'OB中，A'B?22?22?22 即PA+PB的最小值为22.
考点：圆，最短路线问题．
18.（2017江苏盐城第24题）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
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