多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4
B中，反例：f(x)??x在[1,3]上具有性质P，f(x)??x在[1,3]上不具有性质P。 C中，在[1,3]上，f(2)?f(22x?(4?x)1)?[f(x)?f(4?x)]， 22?f(x)?f(4?x)?2??f(x)?1， ?f(x)?f(x)max?f(2)?1?f(4?x)?f(x)?f(2)?1max?所以，对于任意x1,x2?[1,3],f(x)?1。
D中，f(x1?x2?x3?x4(x?x2)?(x3?x4))?f(1)
22x?x4x?x21[f(1)?f(3)]222111?[(f(x1)?f(x2))?(f(x1)?f(x2))] 2221?[f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)]4?二、填空题
2??a?ab,a?b24.【2012高考福建理15】对于实数a和b，定义运算“﹡”：a?b??2，
??b?ab,a?b设f(x)?(2x?1)?(x?1)，且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________. 【答案】(1?3,0)． 16【命题立意】本题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和基本推理与计算能力，难度较大．
?(2x?1)2?(2x?1)(x?1),2x?1?x?1?2x2?x,x?0??2【解析】法1：由新定义得f(x)??，所以可22x?1?2x?1(x?1)?(2x?1)(x?1),?x?x,x?0??红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 11 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4
以画出草图
，若方程f(x)?m有三个根，则0?m?1，且当x?0时方程可化为41?1?8m，所4?x2?x?m?0，易知x2x3?m；当x?0时方程可化为2x2?x?m?0，可解得x1?以x1x2x3?m?1?1?8m1?1?8m1，又易知当m?时m?有最小值，所以
4441?311?31?1?8m?x1x2x3?0. ??m??0，即
16444法2：由题可得，f(x)???x(2x?1),x?0
??x(x?1),x?011(,)24x?x1(0,0)x?x2 可得m?(0,),x2?x3? 且m?y?m(1,0)
x?x3141,x1?0， 21,x2x3?,|x1|? 411?3时，|x1x2x3|max?，
1641?3,0)。 16 所以m?所以m?(
|x?a|25.【2012高考上海理7】已知函数f(x)?e（a为常数）。若f(x)在区间[1,??)上是增函数，则a的取值范围是 。 【答案】(??,1]
t【解析】令t?x?a，则t?x?a在区间[a,??)上单调递增，而y?e为增函数，所以要是函数
f(x)?ex?a在[1,??)单调递增，则有a?1，所以a的取值范围是(??,1]。
红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 12 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 26.【2012高考上海理9】已知y?f(x)?x是奇函数，且f(1)?1，若g(x)?f(x)?2，则g(?1)? 。 【答案】-1
【解析】因为y?f(x)?x为奇函数，所以f(?x)?x??f(x)?x，所以f(?x)??f(x)?2x，
22222g(1)?f(1)?2?3，
所以g(?1)?f(?1)?2??f(1)?2?2??f(1)??1。
【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y?f(x)为奇函数，所以有
f(?x)??f(x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.
27.【2012高考江苏5】（5分）函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ▲ ．
6?【答案】0，?。
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
??x>0?x>0?x>0?????0 【解析】根据g(x)?2?2?0，可解得x?1。由于题目中第一个条件的限制?x?R，f(x)?0或 xxg(x)?0成立的限制，导致(x)在x?1时必须是f(x)?0的。当m?0时，f(x)?0不能做到f(x)在 所以舍掉。因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m?0，且此时两个根为x1?2m，x?1时f(x)?0， 1?x?2m?1??m?x2??m?3。为保证此条件成立，需要?1??2，和大前提m?0取交集结果为 x??m?3?1?2?m??4?又由于条件2：要求x?(??,?4)，f(x)g(x)?0的限制，可分析得出在x?(??,?4)时，f(x)?4?m?0； 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 13 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即?4应该比x1,x2两根中小的那个大，当解得，交集为空，舍。当m??1时，两个根同为?2??4，舍。当m?(?4,?1)?m?3??4，m?(?1,0)时， 时，2m??4，解得m??2，综上所述m?(?4,?2)． 29.【2012高考天津理14】已知函数y?的取值范围是_________. x2?1x?1的图象与函数y?kx?2的图象恰有两个交点，则实数k 【答案】0?k?1或1?k?4 【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围. 【解析】函数y?x2?1x?1?(x?1)(x?1)x?1，当x?1时，y?x2?1x?1?x?1?x?1，当x?1时， ?x?1，x?1??x?1,?1?x?1????x?1,?1?x?1，做出函数的图y???x?1??，综上函数y?x?1?x?1?x?1,x??1?x?1,x??1x2?1x2?1象(蓝线)，要使函数y与y?kx?2有两个不同的交点，则直线y?kx?2必须在四边形区域ABCD内(和 直线y?x?1平行的直线除外，如图，则此时当直线经过B(1,2)， k?2?(?2)?4，综上实数的取值范围是0?k?4且k?1，即0?k?1或1?k?4。 1?030.【2012高考江苏10】（5分）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1，1]上， ?1≤x?0，?ax?1，?f(x)??bx?2其中a，b?R．若 ，0≤x≤1，??x?1则a?3b的值为 ▲ ． 【答案】?10。 【考点】周期函数的性质。 ?1??3?f???f??， ?2??2?红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 14 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数，∴f??1??f?1?，即?a?1=b?2①。 21?3??1? 又∵f???f???=?a?1， 2?2??2? ∴?a?1=?1??3?f???f??， ?2??2?12b?4②。 3 联立①②，解得，a=2. b=?4。∴a?3b=?10。 三、解答题 31.【2012高考江西理21】 （本小题满分14分） 若函数h(x)满足 （1）h(0)=1，h(1)=0； （2）对任意a??0,1?，有h(h(a))=a； （3）在（0,1）上单调递减。 则称h(x)为补函数。已知函数 （1）判函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论； （2）若存在m??0,1?，使得h(m)=m，若m是函数h(x)的中介元，记 时h(x)的中介元 为xn，且 ，若对任意的n?N?，都有Sn< 1,求?的取值范围； 2（3）当?=0，x??0,1?时，函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。 解：（1）函数h(x)是补函数。证明如下： 1?0p1?1p)?1,h(1)?()?0； ①h(0)?(1?01???1?a1??p1?a1??a②h(h(a))?h(())??p1??ap?1??1?a?1??ap?pp11?1?(1??)app)?a； ??(1?????1p?pxp?1(1??xp)?(1?xp)?pxp?1?p(1??)xp?1?③令g(x)?(h(x))，有g?(x)?， p2p2(1??x)(1??x)p因为???1,p?0，所以当x?(0,1)时，g?(x)?0，所以g(x)在（0，1）上单调递减，故函数h(x)在（0，1）上单调递减。 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 15 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 2012年高考真题理科数学解析分类汇编2 函数与方程 一、选择题 1.【2012高考重庆理7】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的 （A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 【答案】D 【解析】因为f(x)为偶函数，所以当f(x)在[0,1]上是增函数，则f(x)在[?1,0]上则为减函数，又函数所以在区间[3,4]也为减函数.若f(x)在区间[3,4]为减函数，根据函数的周期可知f(x)f(x)的周期是4， 在[?1,0]上则为减函数，又函数f(x)为偶函数，根据对称性可知，f(x)在[0,1]上是增函数，综上可知，“f(x)在[0,1]上是增函数”是“f(x)为区间[3,4]上的减函数”成立的充要条件，选D. 2.【2012高考北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。m值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C 【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。 3.【2012高考安徽理2】下列函数中，不满足：f(2x)?2f(x)的是（ ） (A)f(x)?x (B)f(x)?x?x (C)f(x)?x?? 【答案】C 【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。 (D)f(x)??x 【解析】f(x)?kx与f(x)?kx均满足：f(2x)?2f(x)得：A,B,D满足条件． 4.【2012高考天津理4】函数f(x)?2?x?2在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力. 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 1 x3 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 【解析】解法1：因为函数f(x)?2?x?2的导数为f'(x)?2ln2?3x?0，所以函数 3又f(0)=1+0?2=?1，f(1)=2+2?2=8，即f(0)?f(1)<0且函数f(x)f(x)?2x?x3?2单调递增，x3x2在(0,1)内连续不断，故根据根的存在定理可知f(x)在(0,1)内的零点个数是1. 解法2：设y1=2x，y2=2?x3，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确. 425102 ?125.【20124高考全国卷理9】已知x=lnπ，y=log52，z?e，则 (A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x 【答案】6D 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用，采用中间值大小比较方法。 ?11111【解析】x?ln??1，y?log52?，??1，所以y?z?x，选?，z?e2?log2522ee81D. 6.【2012高考新课标理10】 已知函数f(x)?1；则y?f(x)的图像大致为（ ） ln(x?1)?x 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用。要是函数图像与x轴有两个不同的交点，则需要满足极佳中一个为零即可。 【解析】法1：因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求。而f?(x)?3x?3?3(x?)(x?1)，当x??1时取得极值 2红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 2 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 由f(1)?0或f(?1)?0可得c?2?0或c?2?0，即c??2。 法2：排除法，因为f(2)?11?0，排除A.f(?)?ln2?2211??0，排除C,D，选B. 11eln?ln2227.【2012高考陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. y?x?1 B. y??x C. y?21 D. y?x|x| x【答案】D. 【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数且是减函数；C ?x2,x?0是奇函数且在(??,0)，(0,??)上是减函数；D中函数可化为y??2易知是奇函数且是增函数. ??x,x?0故选D. 8.【2012高考重庆理10】设平面点集A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)?(y?1)?1， ??1x???22?则A?B所表示的平面图形的面积为 （A）? （B）? （C）? （D） 【答案】D 【解析】法 1：由对称性： 343547? 21y?x,y?,(x?1)2?(y?1)2?1围成的面积与 x1y?x,y?,(x?1)2?(y?1)2?1围成的面积相等 得：A?B所表示的平面图形的面积为 x，1?y?x,(x?1)2?(y?1)2?1，围成的面积既??R2? 22。 ?y?x?0?y?x?01??法2：由(y?x)(y?)?0可知?或者，在同一坐标系中做出平面区域如图：11?xy??0y??0??xx??，由图象可知A?B的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之 和为圆面积的一半，所以面积为 ?，选D. 2x39.【2012高考山东理3】设a?0且a?1，则“函数f(x)?a在R上是减函数 ”，是“函数g(x)?(2?a)x红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 3 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 在R上是增函数”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若函数f(x)?a在R上为减函数，则有0?a?1。函数g(x)?(2?a)x为增函数，则有 x32?a?0，所以a?2，所以“函数f(x)?ax在R上为减函数”是“函数g(x)?(2?a)x3为增函数” 的充分不必要条件，选A. ?x2?9,x?3?10.【2012高考四川理3】函数f(x)??x?3在x?3处的极限是（ ） ?ln(x?2),x?3?A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0 【答案】A. ?x2?9?x?3,x?3,x?3?【解析】f(x)??x?3即为f(x)??，故其在x?3处的极限不存在，选A. ln(x?2),x?3??ln(x?2),x?3? [点评] 分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。 11.【2012高考四川理5】函数y?ax?1(a?0,a?1)的图象可能是（ ） a 【答案】D 【解析】当a?1时单调递增，?因为y?ax?1?0，故A不正确； a1恒不过点(1,1)，所以B不正确； a1当0?a?1时单调递减，??0，故C不正确 ；D正确. a[点评]函数大致图像问题，解决方法多样，其中特殊值验证、排除法比较常用，且简单易用. 12.【2012高考山东理8】定义在R上的函数f(x)满足f(x?6)?f(x.)当?3?x??1时， f(x)??(x?22)，当?1?x?3时，f(x)?x。则f(1)?f(2)?f(3)????f(2012)? （A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012 【答案】B 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 4 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 【解析】由f(x?6)?f(x)，可知函数的周期为6，所以f(?3)?f(3)??1，f(?2)?f(4)?0， f(?1)?f(5)??1，f(0)?f(6)?0，f(1)?1，f(2)?2，所以在一个周期内有f(1)?f(2)???f(6)?1?2?1?0?1?0?1， 所 以 f(1)?f(2)???f(2012)?f(1)?f(2)?335?1?335?3?338，选B. 13.【2012高考山东理9】函数y?cos6x的图像大致为 2x?2?x 【答案】D 【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令y?0得cos6x?0，所以6x??2?k?， k???，函数零点有无穷多个，排除C,且y轴右侧第一个零点为(,0)，又函数y?2x?2?x为12612?cos6xx?x增函数，当0?x?时，y?2?2?0，cos6x?0，所以函数y?x?0，排除B，选D. ?x122?21214.【2012高考山东理12】设函数f(x)?,g(x)?ax，若y?f(x)的图象与?bx(a,b?R,a?0)xx??y?g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0 B. 当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0 C. 当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0 D. 当a?0时，x1?x2?0,y1?y2?0 【答案】B 【解析】法1：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当a?0时，要想满足条件，则有如图 ，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(?x1,?y1)，由图象知 ?x1?x2,?y1?y2,即x1?x2?0,y1?y2?0，同理当a?0时，则有x1?x2?0,y1?y2?0，故答案选 B. 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 5 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 法2：F(x)?x3?bx2?1，则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解，故其有且仅有两个不同零点x1,x2.由F?(x)?0222得x?0或x?b.这样，必须且只须F(0)?0或F(b)?0，因为F(0)?1，故必有F(b)?0由此得 333b?332322)，比较系数得?x134?1，故2.不妨设x1?x2，则x2?b?32.所以F(x)?(x?x1)(x?23x1??11x?x2131?0，故答案为B. 2.x1?x2?32?0，由此知y1?y2???1x1x2x1x2221?ax2?bx，则1?ax3?bx2(x?0)，设F(x)?ax3?bx2，F?(x)?3ax2?2bx x2b2令F?(x)?3ax?2bx?0，则x??，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只 3a?2b2b2b需F()?a(?)3?b(?)2?1，整理得4b3?27a2，于是可取a??2,b?3来研究，当 3a3a3a1a?2,b?3时，2x3?3x2?1，解得x1??1,x2?，此时y1??1,y2?2，此时 21x1?x2?0,y1?y2?0；当a??2,b?3时，?2x3?3x2?1，解得x1?1,x2??，此时 2法3:令 y1?1,y2??2，此时x1?x2?0,y1?y2?0.答案应选B。 法4：令f(x)?g(x)可得设y??1?ax?b。 2x1,y???ax?b 2xy???ax?b (a?0)yy不妨设x1?x2，结合图形可知， 当a?0时如右图，此时x1?x2， 即?x1?x2?0，此时x1?x2?0，y2?x1x2x x1x2y???ax?b (a?0)x 11????y1，即y1?y2?0；同理可由图形经过推理可x2x1得当a?0时x1?x2?0,y1?y2?0.答案应选B。 15.【2012高考辽宁理11】设函数f(x)(x?R)满足f(?x)=f(x)，f(x)=f(2?x)，且当x?[0,1]时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(?x)|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在[?13,]上的零点个数为 22(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 【答案】B 【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识，是难题. 【解析】 法1：因为当x?[0,1]时，f(x)=x3. 所以当x?[1,2]时，(2-x)?[0,1]，f(x)=f(2?x)=(2?x)3， 当x?[0,]时，g(x)=xcos(?x)；当x?[,]时，g(x)= ?xcos(?x)，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数， 121322红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 6 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，g()?g()?0，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间[?,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一个零点，共有6个零点，故选B 法2：由f(?x)?f?x?知,所以函数f(x)为偶函数，所以f?x?=f?2-x?=f?x-2?，所以函数f(x)为周期为2的周期函数，且f?0?=0,f?1?=1，而g?x?=xcos??x?为 偶函数，且数则 函 在数 123212121232?1??1??3?g?0?=g??=g?-?=g??=0，在同一坐标系下作出两函 ?2??2??2??13??13?上的图像，发现在-,-,?内图像共有6个公共点，????22??22??13?h?x?=g?x?-f?x?在?-,?上的零点个数为6，故选B. ?22?【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。 16.【2012高考江西理2】下列函数中，与函数y?1定义域相同的函数为 3xA．y?1lnxsinx B. y? C.y=xex D. y? sinxxx【答案】D 【命题立意】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 【解析】函数y?11{xx?0}的定义域为。的定义域为{xsinx?0}?{xx?k?,k?Z},y?3sinxxy?lnxsinx的定义域为{xx?0}，函数y?的定义域为{xx?0}，所以定义域相同的是D,选D. xx【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1) 分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. ?x2?1,x?117.【2012高考江西理3】若函数f(x)??，则f(f(10)= ?lgx,x?1A.lg101 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【命题立意】本题考查分段函数的概念和求值。 【解析】f(10)?lg10?1，所以f(f(10))?f(1)?1?1?2，选B. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 18.【2012高考江西理10】如右图，已知正四棱锥S?ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE?x(0?x?1),截面下面部分的体积为 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 7 2 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 V(x),则函数y?V(x)的图像大致为 【答案】A 【命题立意】本题综合考查了棱锥的体积公式，线面垂直，同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法. 【解析】（定性法）当0?x?越快；当 1时，随着x的增大，观察图形可知，V?x?单调递减，且递减的速度越来21?x?1时，随着x的增大，观察图形可知，V?x?单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察2各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A. 【点评】对于函数图象的识别问题，若函数y?f?x?的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间. 19．【2012高考湖南理8】已知两条直线l1 ：y=m 和l2： y= 8(m＞0)，l1与函数y?log2x的图像 2m?1从左至右相交于点A，B ，l2与函数y?log2x的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时， b的最小值为 aA．162 B.82 C.84 D.44 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出y=m，y= 8(m＞0)，y?log2x图像如下图， 2m?188?82m?1由log2x= m，得x1?2,x2?2，log2x= ，得x3?22m?1,x4?2. 2m?1?mm红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 8 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 依照题意得a?2?m?28?2m?1,b?2?2m82m?1b,?a2m?22?m?282m?18?2m?1?22m82m?1?2m?82m?1. ?m?b814111?m????4??3，?()min?82. a2m?12m?12222y?log2xCDy?82m?1AOB1y?mx 【点评】在同一坐标系中作出y=m，y= 8(m＞0)，y?log2x图像，结合图像可解得. 2m?1 20.【2012高考湖北理9】函数f(x)?xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为 A．4 C．6 【答案】C 考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念. 【解析】f(x)?0，则x?0或cosx?0，x?k??22B．5 D．7 ?2,k?Z，又x??0,4?，k?0,1,2,3,4 所以共有6个解.选C. 21.【2012高考广东理4】下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln（x+2） B.y=-x?1 C.y=（【答案】A 【解析】函数y=ln（x+2）在区间（0，+∞）上为增函数；函数y=-x?1在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=（A． 22.【2012高考福建理7】设函数D(x)??A.D（x）的值域为{0,1} B. D（x）是偶函数 C. D（x）不是周期函数D. D（x）不是单调函数 【答案】Ｃ． 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 9 1x1） D.y=x+ 2x1x1）在区间（0，+∞）上为减函数；函数y=x+在区间（0，+∞）上为先减后增函数．故选2x?1，x为有理数,则下列结论错误的是 0，x为无理数? 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 考点：分段函数的解析式及其图像的作法。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为分段函数的定义，单调性、奇偶性和周期性的定义和判定。 解答：A中，D(x)由定义直接可得，D(x)的值域为{0,1}。 B中，D(x)定义域为R，D(?x)???1,x为有理数?0,x为无理数?D(x)，所以D(x)为偶函数。 C中，D(x?1)???1,x为有理数?0,x为无理数?D(x)，所以可以找到1为D(x)的一个周期。 D中，D(1)?1,D(2)?0,D(2)?1......，所以不是单调函数。 23.【2012高考福建理10】函数f（x）在[a,b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a,b]，有 则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P，现给出 如下命题： ①f（x）在[1,3]上的图像时连续不断的； ②f（x2）在[1,3]上具有性质P； ③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1,3]； ④对任意x1，x2，x3，x4∈[1,3]，有 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 【答案】D． 考点：演绎推理和函数。 难度：难。 分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要 证明对所有的情况都成立。 【解析】法1：若函数f(x)在x?3时是孤立的点，如图 22，则①可以排除；函数f(x)??x具有性质p，而函数f(x)??x不具有性质p，所以②可以排除；设 x1?x2?2,x1,x2?[1,3]，则211f(2)?[f(x1)?f(x2)]?[f(x1)?f(2)], 22即f(x1)?f(2)?1，又f(x1)?1，所以f(x1)?1，因此③正确； f(x1?x2?x3?x4x?x1x?x1)?[f(12)?f(34)]?[f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)] 42224法2：A中，反例：如图所示的函数f(x)的是满足性质P的，但f(x)不是连续不断的。 所以④正确.故选D. 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 10 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 211?（2） 当p?(n?N)，由h(x)?x，得：?xn?2xn?1?0 ??(?) n①当??0时，中介元xn?()n； 111②当???1且??0时，由（*）可得x??(0,1)或xn??(0,1)； 1???11?1??1n12得中介元xn?(11)n，综上有对任意的???1，中介元xn?()n（n?N?） 1???11???1于是，当???1时，有Sn??xi=?(i?1nni?11111 (1?()n)?)i?1??1???11??1???1当n无限增大时， (111，故对任意的n?N?，Sn?成)n无限接近于， Sn无限接近于21???11??立等价于11?，即 ??[3,??)； 1??21pp11（3） 当??0时， h(x)?(1?x)，中介元是xp?()p 2111①当0?p?1时， ?1，中介元为xp?()p?，所以点(xp,h(xp))不在直线y=1-x的上方，不符 22p合条件； ②当p?1时，依题意只须(1?x)?1?x在x?(0,1)时恒成立，也即x?(1?x)?1在x?(0,1)时恒成立，设?(x)?x?(1?x)，x?[0,1]，则??(x)?p[x由??(x)?0可得x?ppp?111pppp?(1?x)p?1]， 111，且当x?(0,)时，??(x)?0，当x?(,1)时，??(x)?0，又因为?(0)??(1)222=1，所以当x?(0,1)时， ?(x)?1恒成立。 综上：p的取值范围为（1，+?）。 【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义，函数与不等式的综合应用以及分类讨论，数形结合的数学思想. 高考中，导数解答题一般有以下几种考查方向：一、导数的几何意义，求函数的单调区间；二、用导数研究函数的极值，最值；三、用导数求最值的方法证明不等式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查. 32.【2012高考上海理20】（6+8=14分）已知函数f(x)?lg(x?1)． （1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围； （2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数y?g(x)（x?[1,2]） 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 16 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 的反函数. 【解析】已知函数f(x)?lg(x?1). （1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分） （2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数 y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分） ?2?2x?0[解]（1）由?，得?1?x?1. x?1?0?2x?1得1? 由0?lg(2?2x)?lg(x?1)?lg2x??12?2xx?1?10. ……3分 23 因为x?1?0，所以x?1?2?2x?10x?10，? 由??x?1. 3??1?x?1?x?1得?2. ……6分 3321??x?3?3 （2）当x?[1,2]时，2-x?[0,1]，因此 y?g(x)?g(x?2)?g(2?x)?f(2?x)?lg(3?x). ……10分 由单调性可得y?[0,lg2]. xy因为x?3?10，所以所求反函数是y?3?10，x?[0,lg2]. ……14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 33.【2012高考上海理21】（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y?122x；②定位后救援船即刻沿直线49匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t． （1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向； （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）t?0.5时，P的横坐标xP=7t? 由|AP|= 9492 124972，代入抛物线方程y?x2 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 ，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分 72 由tan∠OAP= 3?12?7307，得∠OAP=arctan30，故救援船速度的方向 7 为北偏东arctan30弧度. ……6分 （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t). 由vt?2(7t)2?(12t2?12)2，整理得v2?144(t2?t12)?337.……10分 17 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 因为t2?21t2?2，当且仅当t=1时等号成立， 2 所以v?144?2?337?25，即v?25. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 34.【2012高考陕西理21】 （本小题满分14分） 设函数fn(x)?xn?bx?c（1）设n?2，b?1,(n?N?,b,c?R) ?1?c??1，证明：fn(x)在区间?,1?内存在唯一的零点； ?2?（2）设n?2，若对任意x1,x2?[?1,1]，有|f2(x1)?f2(x2)|?4，求b的取值范围； （3）在（1）的条件下，设xn是fn(x)在??1?,1?内的零点，判断数列x2,x3,?,xn?的增减性。 ?2?n 【解析】（1）b?1,c??1,n?2时，fn(x)?x?x?1 1111内存在零点。 ?fn()fn(1)?(n?)?1?0,?fn(x)在（，1）22221'n?1又当x?(,1)时，fn(x)?nx?1?0, 211 ?fn(x)在（，1）上是单调递增的，?fn(x)在（，1）内存在唯一零点。22 （2）当n=2时，f2(x)?x?bx?c 对任意x1,x2?[?1,1]都有f2(x1)?f2(x2)?4等价于f2(x)在[?1,1]上的最大值与最小值之差 2M?4,据此分类讨论如下： (Ⅰ)当b ?1,即b?2时，2M?f2(1)?f2(?1)?2b?4,与题设矛盾。 b ?0,即0?b?2时，2bbM?f2(1)?f2(?)?(?1)2?4,恒成立。 22b(Ⅲ) 当0?-?1,即-2?b?0时， 2bbM?f2(-1)?f2(?)?(-1)2?4,恒成立。 22(Ⅱ) 当-1?-综上可知，-2?b?2。 注：(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下： 用max{a,b}表示a,b中的较大者 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 18 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 b ?1,即-2?b?2时，2bM?max{f2(1),f2(?1),f2(?)}2f2(?1)?f2(1)f2(?1)?f2(1)b???f2(?)222 2b?1?c?b?(??c)4b?(1?)2?4恒成立。21（3）证法一：设xn是fn(x)在（，， 1）内的唯一零点（n?2）21nn?1fn(xn)?xn?xn?1?0,fn?1(xn?1)?xn?x?1?0,x?(,1) ?1n?1n?12当-1?-n?1于是有fn(xn)?0?fn?1(xn?1)?xn?1?xn?！?1?fn(xn?1)， 又由（1）知fn(x)在（，1）上市递增的，故xn?xn?1(n?2)， 所以，数列x2,x3,....xn,.......是递增数列 证法二：设xn是fn(x)在（，1）内的唯一零点， n?1n?1nfn?1(xn)fn?1(1)?(xn?xn?1)(1n?1?1?1)?xn?xn?1?xn?xn?1?0， 1212）内，故xn?xn?（）, 则fn?1(x)的零点xn?1在（xn,11n?2所以，数列x2,x3,....xn,.......是递增数列 35.【2012高考江苏17】（14分）如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y?kx?上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由． 1(1?k2)x2(k?0)表示的曲线20 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 19 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 【答案】解：（1）在y?kx?11(1?k2)x2(k?0)中，令y?0，得kx?(1?k2)x2=0。 2020 由实际意义和题设条件知x>0，k>0。 ∴x=20k2020=?=10，当且仅当k=1时取等号。 1?k21?k2k ∴炮的最大射程是10千米。 （2）∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k?0，使ka? 即关于k的方程a2k2?20ak?a2?64=0有正根。 由?=??20a??4a2a2?64?0得a?6。 21(1?k2)a2=3.2成立， 20?? 此时，k=20a???20a?2?4a2?a2?64?22a>0（不考虑另一根）。 ∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】（1）求炮的最大射程即求y?kx?解。 （2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。 36．【2012高考湖南理20】（本小题满分13分） 某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）. （１）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间； （２）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【答案】解：（Ⅰ）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 1(1?k2)x2(k?0)与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求20T1(x),T2(x),T3(x),由题设有 T1(x)?2?3000100020001500?,T2(x)?,T3(x)?, 6xxkx200?(1?k)x期中x,kx,200?(1?k)x均为1到200之间的正整数. （Ⅱ）完成订单任务的时间为f(x)?max?T1(x),T2(x),T3(x)?,其定义域为 ?200??x0?x?,x?N??.易知，T1(x),T2(x)为减函数，T3(x)为增函数.注意到 1?k??红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 20 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 2T2(x)?T1(x),于是 k（1）当k?2时，T1(x)?T2(x), 此时 f(x)?max?T1(x),T3(x)??max?由函数T1(x),T3(x)的单调性知，当 ?10001500?,?， x200?3x??10001500时f(x)取得最小值，解得 ?x200?3x400.由于 940025030044??45,而f(44)?T1(44)?,f(45)?T3(45)?,f(44)?f(45). 91113250故当x?44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)?. 11375T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，（2）当k?2时，故k?3，此时T(x)?,?(x)?max?T1(x),T(x)?50?xx?易知T(x)为增函数，则 f(x)?max?T1(x),T3(x)? ?max?T1(x),T(x)? ?1000375???(x)?max?,?. ?x50?x?1000375400时?(x)取得最小值，解得x?.由于?x50?x1140025025037525036??37而,?(3?6T)(?36)??,?T(37)?(3?7) ,1119111311250此时完成订单任务的最短时间大于. 11)单调性知，当由函数T1(x),T(x的 （3）当k?2时，T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，故k?1，此时 ?2000750?f(x)?max?T2(x),T3(x)??max?,?.由函数T2(x),T3(x)的单调性知， ?x100?x?2000750800时f(x)取得最小值，解得x?.类似（1）的讨论.此时 ?x100?x11250250完成订单任务的最短时间为，大于. 911综上所述，当k?2时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 当 分别为44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想. 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 21 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2013-8-4 2T2(x)?T1(x),于是 k（1）当k?2时，T1(x)?T2(x), 此时 f(x)?max?T1(x),T3(x)??max?由函数T1(x),T3(x)的单调性知，当 ?10001500?,?， x200?3x??10001500时f(x)取得最小值，解得 ?x200?3x400.由于 940025030044??45,而f(44)?T1(44)?,f(45)?T3(45)?,f(44)?f(45). 91113250故当x?44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44)?. 11375T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，（2）当k?2时，故k?3，此时T(x)?,?(x)?max?T1(x),T(x)?50?xx?易知T(x)为增函数，则 f(x)?max?T1(x),T3(x)? ?max?T1(x),T(x)? ?1000375???(x)?max?,?. ?x50?x?1000375400时?(x)取得最小值，解得x?.由于?x50?x1140025025037525036??37而,?(3?6T)(?36)??,?T(37)?(3?7) ,1119111311250此时完成订单任务的最短时间大于. 11)单调性知，当由函数T1(x),T(x的 （3）当k?2时，T1(x)?T2(x), 由于k为正整数，故k?1，此时 ?2000750?f(x)?max?T2(x),T3(x)??max?,?.由函数T2(x),T3(x)的单调性知， ?x100?x?2000750800时f(x)取得最小值，解得x?.类似（1）的讨论.此时 ?x100?x11250250完成订单任务的最短时间为，大于. 911综上所述，当k?2时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 当 分别为44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想. 红河谷小区A幢2-202 （银海森林旁） 日新路1161号203室 （日新加油站旁） 世纪半岛馨安苑1幢1-301 电话：13619699191 21
