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反比例函数
知识梳理
知识点l. 反比例函数的概念
重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y?k-1
或y=kx（k为常数，k?0）x的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k是常数，且k不为零；（2）
2k中分母x的指数为1，如y?2不是反比例函数。
xx（3）自变量x的取值范围是x?0一切实数.（4）自变量y的取值范围是y?0一切实数。 知识点2. 反比例函数的图象及性质
重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 反比例函数y?k的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限x或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；
（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是x?0，因此不能把两个分支连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的性质
y?k(k?0)的变形形式为xy?k（常数）所以： x（1）其图象的位置是：
当k?0时，x、y同号，图象在第一、三象限； 当k?0时，x、y异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数y?函数的图象关于原点对称。
（3）当k?0时，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k?0时，在每个象限内，y随x的增大而增大；
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k
的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例x
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知识点3. 反比例函数解析式的确定。
重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 （1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式y?k中，x只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y?
k
中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。 x
（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y?
k
（k?0）； ②根据已知条件，列出含k的方程； x
k
中。 x
③解出待定系数k的值； ④把k值代入函数关系式y?知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：
①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。
②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。
知识点5.反比例函数综合
最新考题
综观2009年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。” 2010年中考反比例函数复习策略： 1． 抓实双基，掌握常见题型； 2． 重视函数的开放性试题； 考查目标一.反比例函数的基本题 例1在函数y?1中，自变量x的取值范围是（ ）。 x?26图象上一个点的坐标是 。 xA、x≠0 B、x≥2 C、x≤2 D、x≠2 例2．反比例函数y??考查目标二. 反比例函数的图象
例1．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(pa)与它的体积v(m3)的乘积是一个常数k，即pv＝k(k为常数，k＞0)，下列图象能正确反
。 p p p 映p与v之间函数关系的是（ p）
v O v O v O v O A B C DD
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例2已知反比例函数y?k(k?0)的图像上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1?x2，x则y1?y2的值是 （ ）
A 、正数 B、 负数 C 、非正数 D 、不能确定 考查目标三、反比例函数图象的面积与k问题
例1、反比例函数y?k（k?0）在第一象限内的图象如图1所示，P为该图象上任一x点，PQ⊥x轴，设△POQ的面积为S，则S与k之间的关系是（ ）
kk B．S? C．S=k D．S?k 424例2．设P是函数p?在第一象限的图像上任意一点，点P关于原点
x A．S?的对称点为P’，过P作PA平行于y轴，过P’作P’A平行于x轴，PA与P’A交于A点，则△PAP?的面积（ ）
A．等于2 B．等于4 C．等于8 D．随P点的变化而变化 考查目标四.利用图象，比较大小 例1．已知三点
P，y1)，P2(x2，y2)，P3(1，?2)都在反比例函数1(x1y?kx的图象上，若
x1?0，x2?0，则下列式子正确的是（ ）
y?y2?0 B．y1?0?y2C．y1?y2?0 A．1例1．如图，A、B是反比例函数y＝
D．1考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系
y?0?y2
2的图象上的两点。AC、BDx都垂直于x轴，垂足分别为C、D。AB的延长线交x轴于点E。若C、D的坐标分别为（1，0）、（4，0），则ΔBDE的面积与ΔACE的面积的比值是（ ）
1111A．2 B．4 Ｃ．8 D．16
1my?x2?(?1)x?m44例2．如图，二次函数（m<4）的图
象与x轴相交于点A、B两点．（1）求点A、B的坐标（可用含
字母m的代数式表示）； （2）如果这个二次函数的图象与反比例函数y?交于点C，且∠BAC的余弦值为
过关测试
一、选择题：
1、若反比例函数y?(2m?1)xm29的图象相x4，求这个二次函数的解析式． 5?2的图像在第二、四象限，则m的值是（ ）
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1 的任意实数 C、－1 Ｄ、不能确定 2k2、正比例函数y?kx和反比例函数y?在同一坐标系内的图象为（ ）
xA、－1或1 B、小于A B
y o
3、在函数y=
x y o x y o x C
y o x D
k(k<0)的图像上有A(1,y1)、B(－1,y2)、C(－2,y3)三个点，则下列各式中x正确的是（ ）
(A) y1
B k1>0，k2<0
C k1、k2同号
D k1、k2异号
k2没有交点，那么k1和k2的x5、若点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数y??1的图象上的点，并且x1＜x2＜，则下列x各式中正确的是 （ ）
A、y1＜y2 B、y1 >y2 C、y1= y2 D、不能确定 二、填空题：
k?k?0?在第一象限内的图象如图，点M是图像上一点， y xMP垂直x轴于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值是 ； M 2、已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为 ； 1、反比例函数y?3、在体积为20的圆柱体中，底面积S关于高h的函数关系式是 ； O P 2
4、对于函数y?，当x?2时，y的取值范围是______?y?______；当x?2时且x?0x x
时，y的取值范围是y ______1，或y ______。（提示：利用图像解答） 三解答题
1、如图，一次函数y?kx?b的图象与反比例函数y?（1）根据图象，分别写出A、B的坐标； （2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当x为何值时，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
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m的图象相交于A、B两点 x亿库教育网 http://www.eku.cc
2、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y?AB⊥x轴于B且S△ABO=
k与直线y??x?(k?1)在第二象限的交点， xy A x B O C 3 2（1）求这两个函数的解析式
（2）A，C的坐标分别为（-，3）和（3，1）求△AOC的面积。
3、如图，已知反比例函数y =
m的图象经过点A（1，- 3），一次函数y = kx + b的图象x经过点A与点C（0，- 4），且与反比例函数的图象相交于另一点B. 试确定这两个函数的表达式；
4、如图，已知点A（4，ｍ），B（－1，ｎ）在反比例函数y?交于点C， （1）求n值
（2）如果点D在x轴上，且DA＝DC，求点D的坐标.
5、如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数y?象上，点P(m,n)是函数y?8的图象上，直线AB与ｘ轴xy-1OBAC4xk（k﹤0,x﹤0）的图xk（k﹤0,x﹤0）的图象上异于B的任意一点，过点P分别作xx轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F。
（1）设长方形OEPF的面积为S1，判断S1与点P的位置是否有关（不必说理由）
（2）从长方形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余的面积为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围。
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答 案
一、1、B 2、A 3、C 4、C 5、B 6、B 7、A 8、D 9、B 10、B 11、D 12、C
B 320?2 5、S?（ h﹥0） 6、0 1 ≥ ﹤ xh12三、1、（1）A（-6，-2） B（4，3）（2）y＝0.5x＋１，y＝（3）－６
x32、（1）y?? y=-x+2 （2）4
x?33、y? y?x?4
x?2 4、（1）y? y??x?1 （2）x﹤-2或0﹤x﹤1
x二、1、﹥ 2、6 3、2 4、y??5、（1） n=-8 (2) D(4,0) 6、（1）没有关系
（2）由题意OC=OA=2 B（-2，2）函数关系式为y?? ∵P（m,n）在y??4 x44的图象上 ∴n?? xm① P点在B点的上方时
s2??4?(?m)?2?(?m)?4?2m（-2﹤m﹤0） m448)?2?(?)?4?（ m﹤-2） mmm② P点在B点的下方时
s2??m?(?
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答 案
一、1、B 2、A 3、C 4、C 5、B 6、B 7、A 8、D 9、B 10、B 11、D 12、C
B 320?2 5、S?（ h﹥0） 6、0 1 ≥ ﹤ xh12三、1、（1）A（-6，-2） B（4，3）（2）y＝0.5x＋１，y＝（3）－６
x32、（1）y?? y=-x+2 （2）4
x?33、y? y?x?4
x?2 4、（1）y? y??x?1 （2）x﹤-2或0﹤x﹤1
x二、1、﹥ 2、6 3、2 4、y??5、（1） n=-8 (2) D(4,0) 6、（1）没有关系
（2）由题意OC=OA=2 B（-2，2）函数关系式为y?? ∵P（m,n）在y??4 x44的图象上 ∴n?? xm① P点在B点的上方时
s2??4?(?m)?2?(?m)?4?2m（-2﹤m﹤0） m448)?2?(?)?4?（ m﹤-2） mmm② P点在B点的下方时
s2??m?(?
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